朱竑禎， 王緯波， 殷學(xué)文， 高存法

(1.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016；2.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082)

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)的概念最早由日本科學(xué)家于1984年提出[1]，是指材料屬性隨空間位置呈連續(xù)梯度變化的新型復(fù)合材料。隨著材料制備工藝的精進(jìn)，功能梯度材料目前已經(jīng)在耐磨損[2]、緩解內(nèi)部熱應(yīng)力及抗斷裂[3]等應(yīng)用中展現(xiàn)出傳統(tǒng)材料難以超越的獨(dú)有優(yōu)勢(shì)。針對(duì)不同的使用需求，功能梯度材料具有很強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性，因此在未來工業(yè)及工程領(lǐng)域具有極大的潛在應(yīng)用前景。

輸流管道作為一種介質(zhì)運(yùn)輸方式，廣泛應(yīng)用于水利、化工、航空及海洋工程等領(lǐng)域中。傳統(tǒng)管道一般采用金屬材料，例如潛艇中布置了大量的金屬管道承載各種低速液體的流動(dòng)，包括海水以及各種機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生的廢水等。經(jīng)過時(shí)間的積累，金屬極易受到這些液體的腐蝕，從而造成金屬管道內(nèi)部的堵塞，因此常常需要斥巨資用于管道的防腐蝕處理和定期維護(hù)以保證其使用年限[4]。此外傳統(tǒng)的金屬材料聲學(xué)阻尼性能差，流體與管壁相互碰撞擠壓不僅引起耦合振動(dòng)，增大噪聲，甚至還可能導(dǎo)致管道的疲勞破壞。新型復(fù)合材料具有優(yōu)良的抗疲勞、阻尼特性以及很強(qiáng)的設(shè)計(jì)性，為工業(yè)設(shè)計(jì)引入新風(fēng)，受到廣泛關(guān)注[5]。目前已有許多國(guó)外學(xué)者研究用新型復(fù)合材料制作水下螺旋槳，既耐腐蝕，且預(yù)期能比傳統(tǒng)材料有更好的聲學(xué)性能[6-8]。但一般復(fù)合材料層間剪切強(qiáng)度和拉伸強(qiáng)度低[9]，而且極易產(chǎn)生分層損壞從而導(dǎo)致復(fù)合材料的失效。而功能梯度材料則由于其材料特性連續(xù)變化，材料組份之間無顯著界面，因此與傳統(tǒng)材料和復(fù)合材料相比在優(yōu)化應(yīng)力分布方面有明顯的優(yōu)勢(shì)。船舶管道系統(tǒng)的可靠性直接影響了其內(nèi)部各儀器的正常運(yùn)作與配合，因而本文考慮用功能梯度材料這種新型材料取代傳統(tǒng)金屬材料和復(fù)合材料用于輸流管道。

在工程中，相對(duì)截面尺寸而言，一般管道長(zhǎng)度較大，因此多采用梁模型描述管道的振動(dòng)。早期的理論中大多將內(nèi)部流體視為附加質(zhì)量，將流速和壓力視為常量，忽略流體與管道的耦合效果[10-12]，對(duì)于輸送液體的管道的描述是不精確的[13]。隨耦合理論的深入發(fā)展，William[14]和Walker等[15]考慮了流體在軸向的可壓縮性，Wiggert等[16]和Lesmez等[17]計(jì)入管道的泊松耦合效應(yīng)影響，Lee等[18]分析了重力作用和流體的黏性，Gorman等[19]引入了管道的徑向變形和初始預(yù)應(yīng)力，傳統(tǒng)材料輸流管道的振動(dòng)理論已經(jīng)發(fā)展得較為成熟。盡管對(duì)于功能梯度材料的理論研究不少，但大多僅限于純結(jié)構(gòu)的研究，如功能梯度梁[20-22]、功能梯度板的數(shù)值分析等[23-25]，而目前對(duì)于功能梯度輸流管道方面的研究主要通過圓柱殼[26]、Euler梁[27-34]或Timoshenko梁[35]模型研究管內(nèi)流速導(dǎo)致管道失穩(wěn)的問題。圓柱殼的模型雖然從三維角度分析管道更詳細(xì)準(zhǔn)確，但是難以模擬復(fù)雜的組裝管道。而Euler梁模型忽略了截面的剪切變形，只能適用于薄壁細(xì)長(zhǎng)管道，難以滿足工程各類計(jì)算需求。此外在處理管道失穩(wěn)問題中，一般只考慮管道的橫向方程，對(duì)于流體的處理是較為簡(jiǎn)單的，未考慮流體在軸向的可壓縮性，甚至只將流體視為附加質(zhì)量。而實(shí)際上對(duì)于管道這種鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)來說，其軸向和流體的運(yùn)動(dòng)影響了管道上下游振動(dòng)與聲的傳遞特性。為了分析功能梯度管道對(duì)于管道結(jié)構(gòu)和流體的影響，將流速和壓力設(shè)為變量，計(jì)入流體在管道軸向的可壓縮性，基于Timoshenko梁模型，綜合考慮了功能梯度材料管壁與流體的相互作用，通過Hamilton原理及流體動(dòng)量、連續(xù)方程得出功能梯度輸流管道的耦合振動(dòng)方程。

功能梯度管道的材料屬性沿厚度方向變化，本文采用離散模型來描述，將管壁均勻劃分若干層，每一層近似為均勻材料，以此模擬連續(xù)梯度變化。動(dòng)剛度法是基于單位內(nèi)控制方程的精確解，與有限元法相比具有較高的計(jì)算效率[36]，因此本文利用動(dòng)剛度法進(jìn)行數(shù)值求解，然后通過算例分析了梯度指數(shù)的變化對(duì)于結(jié)構(gòu)模態(tài)、流體模態(tài)及時(shí)域響應(yīng)的影響，為將來功能梯度材料的工程應(yīng)用提供一定理論依據(jù)。

1 輸流管道振動(dòng)方程

1.1 管道運(yùn)動(dòng)方程

本文計(jì)算的輸流管道為圓形截面，管道徑向坐標(biāo)記為r，截面內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2。材料參數(shù)如楊氏模量、密度及泊松比均沿半徑呈冪律變化[37]。

式中：Q(r)表示沿厚度方向呈連續(xù)梯度變化的材料參數(shù)，包括了楊氏模量E，密度ρ和泊松比μ等。下標(biāo)1和2分別表示內(nèi)界面和外界面的材料參數(shù)，n為梯度指數(shù)，表征材料的體積分布規(guī)律。

本文采用層合近似模型[38-40]，將這種連續(xù)梯度變化的功能梯度材料視為由多層連續(xù)梯度材料疊加成的層合材料。如圖1所示，沿厚度方向把截面均勻劃分為K層，每一層視為均勻材料，以此近似模擬沿半徑方向變化的材料屬性。對(duì)于第m層，該層的材料參數(shù)取為中間位置的值，記為Qm，寫為如下的函數(shù)形式：

(1)

圖1 管道截面徑向分層模型Fig.1 Multi-layered model on the cross section of pipe

式中：rm1和rm2分別為第m層的內(nèi)外半徑。當(dāng)需要考慮阻尼的影響時(shí)，可用復(fù)彈性模量E(1+iη)代替原彈性模量，其中η=2ξ，ξ為阻尼比，i為虛數(shù)單位。

工程上一般采用梁模型來描述管道，在Timoshenko梁模型中需考慮梁的剪切變形。以x和z方向分別表示管道的軸向和橫向，對(duì)于梁上任意一點(diǎn)，軸向位移和橫向位移表示為：

(2)

式中：u和w表示梁的中心面(z=0)的位移，φ(x,t)為截面的法線轉(zhuǎn)角，t為時(shí)間。由幾何方程可得應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(3)

式中：微分符號(hào)(′)=?/?x。

由本構(gòu)方程，應(yīng)力表示為：

(4)

將應(yīng)力式(4)在面內(nèi)積分即可得到橫截面上的軸力、彎矩和剪力：

(5)

在圖2中，管道與水平面的傾斜角為θ，則重力加速度在軸向和橫向的分量分別為gx=gsin(θ)和gz=gcos(θ)。管內(nèi)流體對(duì)于管壁的單位長(zhǎng)度垂直作用力和切向作用力分別為Nf和τ。

圖2 管道微段局部坐標(biāo)系Fig.2 Local coordinate system of an infinitesimal pipe element.

根據(jù)Hamilton原理，對(duì)系統(tǒng)泛函取極值：

(6)

式中：T為動(dòng)能，U為應(yīng)變能，W為非保守力做功，其具體形式為：

(7)

將式(6)代入式(7)中可得管道運(yùn)動(dòng)方程為：

(8)

1.2 流體方程

管道內(nèi)流體的動(dòng)量方程與管壁結(jié)構(gòu)無關(guān)，可參考已有的管道理論，表示為：

(9)

式中：p為流體壓力，Af為流體截面積(對(duì)于充液管道而言，即為內(nèi)徑面積)，c為流速，mw為單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量，微分符號(hào)為(·)=?/?t，(′)=?/?x。

根據(jù)流體力學(xué)[41]，流體與管壁間的摩擦作用力為：

(10)

此外，管道內(nèi)流體的連續(xù)方程為：

(11)

式中：ρw為管道內(nèi)流體的密度，根據(jù)流體狀態(tài)方程有：

(12)

式中：Ev為流體的體積模量。

由于流體對(duì)于管壁的擠壓而造成面積的變化，此外由于泊松比的效應(yīng)，軸向的應(yīng)變也會(huì)引起橫向變形。因此，式中的第二項(xiàng)為[42]：

(13)

式中：ε2為橫向應(yīng)變，ε1為軸向應(yīng)變，μ為泊松比，由于泊松比數(shù)值較小，影響相對(duì)小，因此在該式中取為截面的平均泊松比。

式(13)中的軸向應(yīng)變?yōu)棣?=u′。圖3為圓環(huán)截面的受力圖，其中F為內(nèi)力，p為內(nèi)流體對(duì)于管壁的壓力，根據(jù)受力平衡得：

圖3 圓環(huán)截面受力示意圖Fig.3 Force diagram of annular section.

因此連續(xù)方程化為：

(14)

2 輸流管道振動(dòng)方程求解

為了對(duì)方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化，將流速和流體壓力線性化，表示為：

c(x,t)=c0+cd(x,t),p(x,t)=p0+pd(x,t)

式中：c0和p0表示穩(wěn)態(tài)時(shí)的定常流速和定常壓力，而cd和pd表示微小的擾動(dòng)變量。

當(dāng)管內(nèi)流體在高速高壓下方程中的非線性項(xiàng)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)才有明顯的影響[43]，在此我們主要考慮工程中的低速流動(dòng)情況。因此為便于方程的求解，略去非線性項(xiàng)，由流體方程(9)得到Nfφ=mwgzφ。此外由于擾動(dòng)變量遠(yuǎn)小于常量即cd?c0，pd?0，舍去擾動(dòng)項(xiàng)的高次項(xiàng)，從而消去管道方程式(8)中管壁與流體的相互作用力，結(jié)合連續(xù)方程式(14)可得功能梯度輸流管道的耦合振動(dòng)方程組為：

(15)

將式前四個(gè)方程寫為矩陣形式：

MΦ=0

式中：Φ=[uwφcd]T，M為微分系數(shù)矩陣。

注意到|M|為關(guān)于x的八次微分方程，因此將位移未知量設(shè)為如下形式：

對(duì)于|M|=0求解，可得到八個(gè)根，記為λ1～λ8。假設(shè)橫向位移函數(shù)形式為：

式中：i為虛數(shù)單位(i2=-1)，ω為圓頻率。根據(jù)方程(15)，其他三個(gè)變量與橫向位移的關(guān)系為：

式中：C1～C8為常系數(shù)，fj，huj，hcj可由方程系數(shù)求得，在此不作贅述。然后將軸向位移和流速函數(shù)代入式(15)最后一個(gè)方程中，可求得壓力變量。

對(duì)于一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的管道，將其首末兩端作為單元節(jié)點(diǎn)，位移向量寫為：

d=[u(0)w(0)φ(0)cd(0)u(L)w(L)φ(L)cd(L)]T

相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力向量寫為：

f=[N(0)Q(0)W(0)pd(0)N(L)Q(L)W(L)pd(L)]T

顯然內(nèi)力及壓力函數(shù)都可由位移表示，因此節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力都可以寫成關(guān)于常系數(shù)C1～C8的矩陣形式：

d=K1C，f=K2C

(16)

式中：C=[C1C2C3C4C5C6C7C8]T為常數(shù)矩陣，K1和K2為與ω相關(guān)的系數(shù)矩陣。

由式可直接表示出力向量和位移向量的關(guān)系：

f=KDd

(17)

式中：KD=K2K1-1，即為動(dòng)剛度矩陣。

由前文的推導(dǎo)過程可見，動(dòng)剛度法的精度與劃分單元數(shù)量無關(guān)，因此對(duì)于沿軸向幾何形狀及材料不發(fā)生改變的情況下，任意長(zhǎng)度的管道都僅需要用一個(gè)單元模擬，且對(duì)于計(jì)算頻域沒有特別限制。

3 算例分析與討論

由數(shù)據(jù)對(duì)比可見，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)基本一致。不過本文計(jì)算的橫向模態(tài)數(shù)值略低，因?yàn)楸疚牡睦碚撝锌紤]了梁的剪切變形，而文獻(xiàn)中采用的是Euler梁模型。雖然本例計(jì)算的已為細(xì)長(zhǎng)梁，但隨著模態(tài)階數(shù)升高和流速增大，誤差仍會(huì)略有增加。注意到在流體模態(tài)和軸向模態(tài)中，文獻(xiàn)結(jié)果的實(shí)數(shù)部分變化不明顯，而本文的計(jì)算結(jié)果中考慮到了摩擦因數(shù)隨流速的變化，隨流速增大，固有頻率實(shí)數(shù)部分減小，虛數(shù)部分增大。

表1 不同流速下均質(zhì)輸流管道振動(dòng)固有頻率Tab.1 Natural frequencies(Hz)for the vibration of homogenous pipes conveying fluid with different velocities Hz

(2)本例計(jì)算兩端簡(jiǎn)支的功能梯度充液直管，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=6 m，截面內(nèi)徑為0.2 m，外徑為0.4 m，管壁由鋁-SiC陶瓷材料復(fù)合而成，內(nèi)壁材料為SiC陶瓷，楊氏模量E1=427 GPa，泊松比μ1=0.17，密度ρ1=3 100 kg/m3，外壁材料為鋁，楊氏模量E2=70 GPa，泊松比μ2=0.33，密度ρ2=2 700 kg/m3，在本例中用二十層均勻離散單元。

圖4 在兩端簡(jiǎn)支直管道上施加單位橫向載荷Fig.4 The unit transverse load applied on the simply supported straight pipe.

如圖4所示，在管道的L/12處施加單位橫向載荷，前文建立的方程中，軸向與橫向、流體均是耦合的，因此在結(jié)構(gòu)上只施加了橫向載荷即可同時(shí)引起軸向及流體響應(yīng)。圖5繪制了當(dāng)梯度指數(shù)為n=0時(shí)點(diǎn)L/12處在頻域0～550 Hz的速度響應(yīng)，響應(yīng)曲線的峰值處的頻率對(duì)應(yīng)了固有頻率。軸向及流體響應(yīng)是由耦合項(xiàng)引起的，因此其振動(dòng)的幅值小于橫向單位力引起的橫向振動(dòng)。由圖5可見，流體響應(yīng)曲線包含了所有模態(tài)，而軸向和流體響應(yīng)曲線上比橫向響應(yīng)曲線多出的波峰對(duì)應(yīng)了軸向模態(tài)(A)及流體模態(tài)(F)，以此響應(yīng)曲線即可區(qū)分結(jié)構(gòu)模態(tài)和流體模態(tài)。

圖5 n=0，點(diǎn)L/12處0-550Hz頻域內(nèi)速度響應(yīng)曲線Fig.5 n=0,velocity responses at the point L/12 in frequency domain 0～550 Hz

圖6 不同梯度指數(shù)下速度響應(yīng)曲線Fig.6 Velocity responses with different gradient indexes.

圖6中分別為在不同梯度指數(shù)下橫向、軸向及流體的速度響應(yīng)曲線。由圖線可見，隨n值的增大，結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)曲線均向右移動(dòng)，即橫向和軸向固有頻率均明顯提高，且隨著階數(shù)的升高，改變幅度也變大。而值得注意的是在流速響應(yīng)曲線中，顯然有一些波峰的位置改變幅度很小，幾乎重合，這些峰值對(duì)應(yīng)的是流體模態(tài)，在圖中以F表示。由此可見，管道材料的變化對(duì)于管道結(jié)構(gòu)本身的影響較大，而對(duì)于其內(nèi)部的流體影響很小。

(3)工程中常見的薄壁管道，流速增大情況下固有頻率降低，如算例1所示。當(dāng)?shù)谝浑A固有頻率降低至零時(shí)，則管道發(fā)生失穩(wěn)。而由算例2可見，將功能梯度材料應(yīng)用于管道結(jié)構(gòu)上，能顯著提升固有頻率，因此能有效地延緩因流速導(dǎo)致的管道失穩(wěn)的發(fā)生。圖7展示了將算例2中的功能梯度材料應(yīng)用于算例1的薄壁管道中，在流速增大時(shí)第一階固有頻率的變化情況。由圖7曲線對(duì)比可見，隨n值的增大，失穩(wěn)臨界流速顯著提高，保證了管道在較低流速下的穩(wěn)定性。

圖7 不同梯度指數(shù)下第一階固有頻率隨流速變化曲線Fig.7 Curves of the first natural frequency with the increase of flowing velocities under different gradient indexes.

當(dāng)管內(nèi)流速為10 m/s時(shí)，在管道一端1/10處施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)力sin(2πt)，對(duì)該點(diǎn)的頻域響應(yīng)進(jìn)行傅里葉逆變換可得到時(shí)域響應(yīng)，管道材料取不同n值時(shí)在0～1 s內(nèi)的橫向位移響應(yīng)曲線如圖8所示。隨著n值的增大，管道的振動(dòng)幅度也有了顯著的降低。此外值得注意的是，n值由0增加至0.5，位移降低得非常顯著，而隨著n值的進(jìn)一步增大，尤其在n值增加到2以上，位移的變化幅度逐漸變小。從功能梯度的結(jié)構(gòu)來分析，圖9展示了取不同梯度指數(shù)時(shí)沿半徑方向變化的楊氏模量變化曲線，其他材料參數(shù)也有類似的變化規(guī)律。當(dāng)n增大時(shí)，楊氏模量呈增大趨勢(shì)，從而管道的有效剛度也增大，因此位移振幅減小。管壁的平均楊氏模量值顯然是與曲線下覆蓋的面積呈正比的，當(dāng)梯度值從0增加至0.5時(shí)，楊氏模量的增長(zhǎng)量大，而隨著n值的進(jìn)一步提升，曲線的斜率逐漸降低，材料參數(shù)的增長(zhǎng)逐漸緩慢。

圖8 不同梯度指數(shù)橫向位移時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.8 Transverse displacement responses in time domain with different gradient indexes.

從提高管道的穩(wěn)定性和降低振動(dòng)幅度的角度來說，這種功能梯度材料輸流管道的梯度指數(shù)n越大越好，但是顯然實(shí)際應(yīng)用還要考慮到材料的成本、制作工藝等因素，此外以這種陶瓷-鋁功能梯度材料為例，n值越大，陶瓷的體積率就越高，而雖然陶瓷材料的剛度更大，但其耐沖擊性能低，極易發(fā)生脆性斷裂。以本文的材料參數(shù)變化規(guī)律來說，當(dāng)n>2時(shí)，其對(duì)于管道動(dòng)態(tài)特性的影響并不大，因此對(duì)于本例的功能梯度輸流管道的梯度指數(shù)取為2是比較合適的。未來在工程中若要在管道上應(yīng)用功能梯度材料，在選取梯度指數(shù)時(shí)應(yīng)綜合考慮其對(duì)結(jié)構(gòu)的影響、材料參數(shù)的變化規(guī)律以及成本和材料優(yōu)缺點(diǎn)等實(shí)際因素。

圖9 不同梯度指數(shù)的楊氏模量變化曲線Fig.9 Curves of Young’s modulus with different gradient indexes.

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用離散化的思想，將功能梯度材料沿厚度方向劃分為若干均勻?qū)?，考慮流體與管壁間的相互作用，建立了功能梯度輸流管道的耦合振動(dòng)模型，并應(yīng)用動(dòng)剛度法求解了管道振動(dòng)的固有頻率及頻域、時(shí)域響應(yīng)。當(dāng)材料退化為普通均質(zhì)材料時(shí)，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果完全一致，說明了本文所建立公式及計(jì)算方法的正確性。此外功能梯度管道的算例反映了功能梯度材料梯度指數(shù)的變化在提高結(jié)構(gòu)固有頻率、延緩管道失穩(wěn)方面的積極意義。本文的理論對(duì)于功能梯度材料和層合復(fù)合材料具有普適性，為新型復(fù)合材料在管道上的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。