河南省南陽(yáng)師范學(xué)院軟件學(xué)院(473061) 李居之

嵌入不等式最早出現(xiàn)于英國(guó)數(shù)學(xué)家Joseph Wolstenholme在其1867年的著作中,因而有時(shí)也被稱為Wolstenholme 不等式.它被公認(rèn)為是三角形中最重要的不等式之一,還被人們稱之為“三角形母不等式”,因此可由嵌入不等式生成眾多的三角形不等式,代數(shù)不等式等.本文從嵌入不等式出發(fā),先導(dǎo)出一個(gè)結(jié)論,并以此派生出一系列含參的三元代數(shù)不等式.

嵌入不等式對(duì)△ABC和任意的實(shí)數(shù)x,y,z,均有

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC,

在嵌入不等式中,令p=2yz,q=2zx,r=2xy,且p,q,r＞0,即得

引理對(duì)△ABC和正數(shù)p,q,r,均有

引理即為文[1]的題4.由此,再借助一些三角形恒等式,可生成一系列的代數(shù)不等式.

命題1 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足a+b+c=abc,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,因而可令a=tanA,b=tanB,c=tanC,其中A,B,C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角.利用三角函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合引理得

在命題1 中,取p=q=r=1,即得1998年韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題：

已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=abc,求證：

取p=q=1,r=4,即得《數(shù)學(xué)通訊》2019年第2 期問題387：

設(shè)正數(shù)x,y,z且滿足x+y+z=xyz,求證：

命題2 設(shè)a,b,c,p,q,r,為正數(shù),且滿足a+b+c=abc,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有

命題3 設(shè)a,b,c,p,q,r,為正數(shù),且滿足a2+b2+c2+2abc=1,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有

因而可令a=cosA,b=cosB,c=cosC,其中A,B,C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,利用三角函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合引理得

在命題3 中,取p=q=r=1,即得2011年摩洛哥數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題：

已知x,y,z＞0,x2+y2+z2+2xyz=1,求證：2(x+y+z)≤3.

取p=q=r=1,令即得2005年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題：

已知x,y,z＞0,xy+yz+zx+2xyz=1,求證：

命題4 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足a2+b2+c2+2abc=1,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有

命題5 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足ab+bc+ca=1,則有

命題5 即為文[2]中的結(jié)論,這里不再證明.取p=q=2,r=3 即為《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年第9 期數(shù)學(xué)問題2442：

已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且ab+bc+ca=1,試證明：

命題6 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足ab+bc+ca=1,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,因而可令a=cotA,b=cotB,c=cotC,其中A,B,C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角.利用三角函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合引理得

注事實(shí)上,在命題1 中,對(duì)變量作倒代換,并約束其取值范圍,即得命題6.

命題7 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足a+b+c=1,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有

因而可令

其中A,B,C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角.利用三角函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合引理得

在命題7 中,取p=q=r=1,即得文[3]第5 個(gè)優(yōu)美不等式、《數(shù)學(xué)通訊》2010年第1、2 問題5、《數(shù)學(xué)教學(xué)》2010年第2 期問題788、《數(shù)學(xué)通訊》2019年第8 期問題415：

設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),且滿足x+y+z=1,求證：

命題8 設(shè)a,b,c,p,q,r為正數(shù),且滿足a+b+c=1,則有

證明注意到在銳角△ABC中,有

因而可令

其中A,B,C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角.利用三角函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合引理得

在命題8 中,取p=q=r=1,即得2005年法國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題：

已知x,y,z＞0,x+y+z=1,求證：

在以上命題中,由三角形恒等式生成代數(shù)不等式的方法都可以證明其充要性,有興趣的讀者不妨自行嘗試證明.