文諸士金

一元二次方程的復(fù)習(xí)一般可以分為基本概念、解法及相關(guān)知識（根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式）、應(yīng)用等主要模塊。我們通過這樣的模塊復(fù)習(xí)會感覺比較清晰，尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系應(yīng)遵循知識的生長結(jié)構(gòu)。下面和同學(xué)們以模塊復(fù)習(xí)的方式共同梳理一元二次方程的知識。

一、以小題組合梳理概念，利于知識記憶

同學(xué)們都知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能死記硬背，在一元二次方程的學(xué)習(xí)中并不是強(qiáng)行記住方程的概念、根的概念就等于掌握了知識。死記硬背數(shù)學(xué)概念不僅不利于對知識的理解，還會讓同學(xué)們感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過于單調(diào)，容易失去對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此我們在復(fù)習(xí)一元二次方程的概念時(shí)，建議大家以題為載體進(jìn)行復(fù)習(xí)，避免知識的機(jī)械記憶。

例1 （1）一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是_______，二次項(xiàng)系數(shù)為_______，常數(shù)項(xiàng)為_______。

（2）關(guān)于x的方程x2+mx+6=0的一個(gè)根為-2，則另一個(gè)根是________。

（3）請寫出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程________，使它的兩根分別為-2和3。

以上三組小題各有特色，第（1）小題是以具體的題來鞏固我們對一元二次方程一般形式的認(rèn)識。對于這個(gè)認(rèn)識的具體要求，我們切莫以為是簡單地記住ax2+bx+c=0（a≠0）即可，具體分解對這個(gè)概念的認(rèn)識，就是要首先會將其他形式的方程變成這個(gè)“樣子”，這個(gè)同解變形也是所有方程解法的根本所在。我們借助同解變形，可以將一個(gè)不熟悉的“樣子”變成熟悉的“樣子”。需要說明的是，這樣的同解變形一般主要依據(jù)“等式性質(zhì)”。故這個(gè)方程的一般形式是x2+4x-6=0，二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為-6。

第（2）小題和第（3）小題是立足于一元二次方程根的概念進(jìn)行的考查，這樣的小題既可以從根的概念的本質(zhì)（即能使得方程成立的未知數(shù)的值）上去理解完成，也可以從后續(xù)解法學(xué)習(xí)中獲得的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）來完成。第（2）小題的另一個(gè)根是-3，而第（3）小題兩個(gè)根為-2和3，那么其對應(yīng)的方程可以為（x+2）（x-3）=0。

像這樣融基礎(chǔ)知識于小題，便于我們以題為舟，橫渡概念之河。

二、以內(nèi)在聯(lián)系鞏固解法技能，強(qiáng)于題海盲渡

在一元二次方程復(fù)習(xí)中，具體的解法是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。我們往往是以大量的題目來鞏固新課學(xué)習(xí)的解題方法，做錯(cuò)了就訂正，然后繼續(xù)做。茫茫題海，沒有方向。很多時(shí)候，同學(xué)們還是停留在教材梳理出的“直接開方法”“配方法”“求根公式法”“因式分解法”等表層認(rèn)知上，認(rèn)為這些方法都是獨(dú)立并存的，沒有深層次理解解法背后的聯(lián)系。這里我們簡單地梳理一下：

根據(jù)這個(gè)梳理，其實(shí)比較容易理解四種解法之間的關(guān)系，選擇優(yōu)化解法時(shí)，就會有明確的方向。再輔以如例2的典型例題加以鞏固。

例2 解下列方程：

（1）x2+2x-8=0；

（2）x-2=2x-x2；

（3）（2x+1）（x-3）=3。

這三個(gè)小題，在方法選擇上要有側(cè)重，一般有兩個(gè)層次要求，一是要能夠正確解出，不管用什么方法；二是要能夠選擇較好的方法快速解出。這樣既是考查同學(xué)們計(jì)算技能的掌握情況，也有利于同學(xué)們培養(yǎng)思維的敏捷性。下面的解法和答案供參考：

（1）x2+2x-8=0。

解：（x+4）（x-2）=0。

∴x1=-4，x2=2。

（2）x-2=2x-x2

解：x-2=-x（x-2）。

x-2+x（x-2）=0。

（x-2）（1+x）=0。

∴x1=2，x2=-1。

（3）（2x+1）（x-3）=3。

解：2x2-5x-6=0。

a=2，b=-5，c=-6，

b2-4ac=73，

三、以綜合拓展多樣呈現(xiàn)，便于見多識廣

在解法和概念的復(fù)習(xí)過程中有兩個(gè)知識難點(diǎn)，一個(gè)是根的判別式，另一個(gè)是根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）。我們從現(xiàn)有的知識學(xué)習(xí)體系中理解，這兩部分知識可以獨(dú)立地進(jìn)行應(yīng)用，但不可忽視這兩部分知識與一元二次方程本身解法的內(nèi)在聯(lián)系。根的判別式緣起配方法的過程，當(dāng)然這里對根的判別目前是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，到了高中階段會出現(xiàn)虛根的情況。而韋達(dá)定理可以從求根公式來推得，這樣同學(xué)們就可以自己進(jìn)行推演。這兩個(gè)知識點(diǎn)的考查，可以以小綜合形式多樣呈現(xiàn)，避免單獨(dú)考查帶來與實(shí)際考試題型的脫節(jié)。

例3 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（k+1）x+2k-2=0。

（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為3，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值。

（1）證明：

∵Δ=［-（k+1）］2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

（2）解：x2-（k+1）x+2k-2=0，

（x-2）（x-k+1）=0，

解得x1=2，x2=k-1，

當(dāng)k-1=3時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k=4；

當(dāng)k-1=2時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k=3，

所以k的值為4或3。

例3考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根。其第（2）小問融入了三角形三邊關(guān)系、等腰三角形知識，逐步加強(qiáng)對k的條件限制，以確定k的取值。

例4 已知關(guān)于x的方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2。

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若x1-x2=2，求實(shí)數(shù)m的值。

例4的呈現(xiàn)從有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根開始，確定b2-4ac＞0，得到m的范圍，再結(jié)合x1-x2=2，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求m的值。

解：（1）由題意得：Δ=（-2）2-4×1×m=4-4m＞0，

解得：m＜1，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜1。

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=2，

又x1-x2=2，

解得：x1=2，x2=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：m=2×0=0。

這里我們主要是從模塊復(fù)習(xí)的角度梳理了一元二次方程的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查類型，還不夠全面，僅供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考。我們在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中要認(rèn)識到，很多時(shí)候技能方法不是孤立的，高次方程的降次思想、多元方程的消元思想是一以貫之的，是所有模塊知識的內(nèi)在“血脈”。