路瑩昕 韓光信

摘 要：針對(duì)輸入受限的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)控制問題，本文提出了Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID控制器。在輸入受限的倒立擺系統(tǒng)中，對(duì)傳統(tǒng)PID與Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID的兩重算法仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比研究，結(jié)果顯示：Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID不僅可以滿足輸入受限倒立擺系統(tǒng)的控制要求，還具有良好的穩(wěn)態(tài)效果、較短的調(diào)節(jié)時(shí)間和較小的超調(diào)量。

關(guān)鍵詞：倒立擺系統(tǒng);Anti-windup;變結(jié)構(gòu)PID

中圖分類號(hào)：TP13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-5168（2019）16-0037-02

Abstract： For the control problem of linear inverted inverted pendulum system with limited input， this paper proposed an Anti-windup variable structure PID controller.In the input-constrained inverted pendulum system， the simulation experiments of the traditional PID and Anti-windup variable structure PID were compared. The results show that Anti-windup variable structure PID can not only meet the control requirements of the input-constrained inverted pendulum system， but also have good steady-state effect， shorter adjustment time and smaller overshoot.

Keywords： inverted pendulum system;Anti-windup;variable structure PID

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)具有高度非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的固有不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)其的控制是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[1]。作為控制理論的一個(gè)典型應(yīng)用實(shí)例，倒立擺系統(tǒng)具有典型的非線性、多變量、強(qiáng)耦合性的特點(diǎn)。該系統(tǒng)屬于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)，控制輸入量小于系統(tǒng)自由度，使控制任務(wù)更具挑戰(zhàn)性。

Windup（積分飽和）現(xiàn)象指由于輸入限制或者置換的存在，使實(shí)際被控對(duì)象的輸入和控制器的輸出不等，由此引起的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)變差的現(xiàn)象，是一種產(chǎn)生于控制器PI/PID積分部分的不良現(xiàn)象。在實(shí)際過程中，當(dāng)有大信號(hào)輸入或者其他情況，使系統(tǒng)進(jìn)入飽和狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的性能會(huì)大幅度降低，這時(shí)引入適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償環(huán)節(jié)，能夠使系統(tǒng)在飽和狀態(tài)下也達(dá)到其性能指標(biāo)，而Anti-windup（抗積分飽和）技術(shù)就是能實(shí)現(xiàn)這種控制目標(biāo)的技術(shù)。本文考慮了倒立擺系統(tǒng)實(shí)際存在的控制輸入受限情形，研究了基于Anti-windup技術(shù)的倒立擺控制系統(tǒng)的建模與仿真。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)擺桿為剛體，建立坐標(biāo)系，其中[xt]為小車位置，[?t]為垂直向上方向與擺桿間的夾角。根據(jù)牛頓力學(xué)原理分析，系統(tǒng)在x軸方向上的力為：

（1）

其中，球的重心隨時(shí)間的變化由坐標(biāo)（[xG，yG]）如下：

（2）

把式（2）代入式（1），就得到系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：

（3）

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型：

（4）

對(duì)式（4）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：

（5）

令[v=x]，則倒立擺的傳遞函數(shù)為：

（6）

2 Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID控制

在對(duì)倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和控制性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)分析后可知，倒立擺的平衡狀態(tài)是使實(shí)際位置角度達(dá)到的目標(biāo)位置角度。設(shè)定實(shí)際位置角度為[?]，目標(biāo)位置角度為[?d]，為使倒立擺達(dá)到平衡，只需[?d-?=→0]即可。因此，本文設(shè)計(jì)了以角度為目標(biāo)控制量，以角度偏差為調(diào)節(jié)量的單回路控制方案。

Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID控制思想為對(duì)控制輸入飽和誤差[un-us]進(jìn)行積分，并通過自適應(yīng)系數(shù)調(diào)整將其添加到積分項(xiàng)中。

抗飽和的變結(jié)構(gòu)PID控制器控制思想為加入系數(shù)[η]實(shí)現(xiàn)積分項(xiàng)的自適應(yīng)調(diào)整，自適應(yīng)變化率為：

（7）

3 仿真分析

對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中各物理參數(shù)設(shè)定為：

將一級(jí)倒立擺模型的實(shí)際參數(shù)帶入式（6）可以得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

（8）

對(duì)傳統(tǒng)PID控制的直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行Simulink仿真。通過試湊法，得出[Kp=110，KI=200，KD=7.5]時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性好。由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以控制理想階躍響應(yīng)為1，最終通過其達(dá)到理想狀態(tài)的時(shí)間來判斷倒立擺系統(tǒng)的性能。仿真結(jié)果如圖1所示。

由圖1可知，傳統(tǒng)PID控制可以使倒立擺達(dá)到理想的平衡位置，但超調(diào)量較大，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間較長(zhǎng)，所以要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到較為理想的控制，必須采用其他控制方法。通過試湊法尋找PID的參數(shù)值，很難尋找最優(yōu)的參數(shù)，并且需要花費(fèi)大量時(shí)間。對(duì)Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID控制的直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行Simulink仿真，設(shè)控制輸入限制在[-10，10]，且理想的階躍信號(hào)為1，由上述試湊法得到[KP]、[KI]、[KD]分別為110、200、7.5。傳統(tǒng)PID的仿真曲線和Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID仿真曲線如圖2所示。

從仿真結(jié)果圖中可以清晰看到，在加入約束后，傳統(tǒng)PID的仿真曲線在0.2s左右失去控制，遠(yuǎn)遠(yuǎn)脫離理想目標(biāo)曲線，原因在于加入約束后積分飽和系統(tǒng)性能下降，而傳統(tǒng)PID控制器是一種線性控制器，只能對(duì)某個(gè)平衡點(diǎn)及其鄰域使用，如果鄰域很小，一旦超出，系統(tǒng)就會(huì)不穩(wěn)定，所以傳統(tǒng)PID對(duì)于輸入受限的系統(tǒng)的控制具有局限性。為了解決上述問題，引入了Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID，由圖2可以看出，在加入約束后，Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID仿真曲線在0.8s時(shí)達(dá)到理想控制狀態(tài)，調(diào)節(jié)時(shí)間減少，且沒有產(chǎn)生超調(diào)量，穩(wěn)定性變好，控制效果比較理想。

4 結(jié)論

由于輸入受限，實(shí)際倒立擺系統(tǒng)輸入有時(shí)會(huì)和控制器輸出不等，由此引起系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)變差，出現(xiàn)大超調(diào)現(xiàn)象，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因?yàn)閭鹘y(tǒng)PID并不能滿足輸入受限的倒立擺系統(tǒng)的控制要求，所以本文針對(duì)輸入受限的倒立擺系統(tǒng)研究了變結(jié)構(gòu)PID，并對(duì)其進(jìn)行Simulink仿真，仿真結(jié)果顯示，Anti-windup變結(jié)構(gòu)PID不僅可以滿足輸入受限倒立擺系統(tǒng)的控制要求，而且還具有良好的穩(wěn)態(tài)效果、較短的調(diào)節(jié)時(shí)間和較小的超調(diào)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]溫淑煥，朱奇光，王洪瑞.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定機(jī)器人的自適應(yīng)控制[C]//第二十三屆中國(guó)控制會(huì)議論文集（下冊(cè)）.2004.