劉 強(qiáng)，尹兆京，吳 波，任 元，辛朝軍，樊亞洪

(1.北京石油化工學(xué)院 精密電磁裝備與先進(jìn)測(cè)量技術(shù)研究所，北京 102617；2.航天工程大學(xué) 航天裝備系，北京 101416；3.北京控制工程研究所，北京 100190)

機(jī)械飛輪存在固有的摩擦磨損、機(jī)械振動(dòng)、黏滯力矩等缺點(diǎn)，是航天器平臺(tái)振動(dòng)干擾源之一[1-2]。磁懸浮飛輪采用無接觸磁懸浮支承技術(shù)，消除了機(jī)械摩擦磨損，無需潤(rùn)滑，且具有主動(dòng)振動(dòng)控制和振動(dòng)抑制功能，能夠滿足航天器平臺(tái)高力矩精度和微振動(dòng)的需求[3]。現(xiàn)有磁懸浮飛輪的磁極氣隙均為柱殼狀、薄壁狀或錐殼狀，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)前后，氣隙形狀發(fā)生改變，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子磁極表面磁密不均勻，磁力分布成一定梯度，產(chǎn)生磁拉偏負(fù)力矩，影響了飛輪懸浮精度和控制精度。磁懸浮球形飛輪采用球面磁軸承支承，轉(zhuǎn)子在平衡位置偏轉(zhuǎn)前后，定、轉(zhuǎn)子間的磁極球殼氣隙形狀不會(huì)改變，消除了磁拉偏負(fù)力矩，提高了偏轉(zhuǎn)懸浮精度和控制精度[4]。

由于實(shí)際加工裝配誤差和材料質(zhì)量分布不均等原因，轉(zhuǎn)子存在一定的不平衡量，高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)引起轉(zhuǎn)子較大振動(dòng)，降低轉(zhuǎn)子懸浮精度。針對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。韓邦成等針對(duì)兩端徑向支承的磁懸浮控制力矩陀螺，考慮質(zhì)心偏離旋轉(zhuǎn)軸(與幾何軸重合)引起的離心力，建立轉(zhuǎn)子力學(xué)干擾模型，并對(duì)不同相位偏心距下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)研究。基于此干擾模型，宋騰等采用變極性LMS反饋不平衡補(bǔ)償法，對(duì)高速電機(jī)磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)進(jìn)行抑制。在文獻(xiàn)[5-6]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]以磁懸浮反作用飛輪為對(duì)象，同時(shí)考慮不平衡質(zhì)量矩引起的軸承動(dòng)反力和質(zhì)心偏離旋轉(zhuǎn)軸引起的離心力，對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]所述干擾模型基礎(chǔ)上，采用前饋抑制方法，對(duì)兩種干擾引起的不平衡振動(dòng)進(jìn)行前饋抑制。文獻(xiàn)[5-8]所研究的磁懸浮轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸均不過質(zhì)心，而質(zhì)心偏離旋轉(zhuǎn)軸會(huì)引起干擾離心力。為消除離心力對(duì)轉(zhuǎn)子的干擾，文獻(xiàn)[9]使轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，僅考慮不平衡質(zhì)量矩引起的軸承動(dòng)反力，采用GPM自適應(yīng)控制法，對(duì)磁懸浮控制力矩陀螺轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)進(jìn)行抑制?；诖烁蓴_模型，文獻(xiàn)[10]采用復(fù)數(shù)陷波濾波器和自適應(yīng)補(bǔ)償方法，對(duì)不平衡振動(dòng)進(jìn)行抑制。

為消除磁懸浮球形飛輪因轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)或者平動(dòng)造成的氣隙不均勻而引起的磁拉偏負(fù)力矩，將轉(zhuǎn)子繞幾何中心旋轉(zhuǎn)(過球心)，要求定子球心與轉(zhuǎn)子球心重合。由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均，轉(zhuǎn)子球心與轉(zhuǎn)子質(zhì)心存在一定偏離，高速旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)引起軸承動(dòng)反力和離心力。此外，球形轉(zhuǎn)子所受的電磁懸浮力始終垂直磁極球面并指向球心，質(zhì)心與球心的偏移也會(huì)引起偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩。本文在文獻(xiàn)[5-10]的基礎(chǔ)上，建立磁軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，分析了不平衡質(zhì)量矩、離心力、偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩這三種干擾對(duì)轉(zhuǎn)子的影響，并對(duì)三種干擾進(jìn)行前饋抑制仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)及其工作原理

本文所研究的磁懸浮球形飛輪結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括上/中/下陀螺房(提供真空密封環(huán)境)、徑/軸向位移傳感器(檢測(cè)轉(zhuǎn)子平動(dòng)位移和偏轉(zhuǎn)角度)、飛輪轉(zhuǎn)子(提供轉(zhuǎn)速8 000 r/min，角動(dòng)量15 N·ms)、電機(jī)(維持轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng))、徑/軸向磁軸承(控制轉(zhuǎn)子徑/軸向平動(dòng))和洛倫茲力磁軸承(控制轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn))，具體結(jié)構(gòu)與工作原理在文獻(xiàn)[11-13]中已做詳細(xì)介紹。為消除平動(dòng)懸浮對(duì)偏轉(zhuǎn)懸浮的干擾，徑/軸向磁軸承的磁極面均為球面，當(dāng)轉(zhuǎn)子球心與定子球心重合時(shí)，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)前后，球殼氣隙形狀不會(huì)發(fā)生改變，即消除了磁拉偏負(fù)力矩。根據(jù)F=NBIL(I為線圈電流，B為磁通密度，L為線圈等效長(zhǎng)度，N為線圈匝數(shù))可知，洛倫茲力磁軸承線性度好，控制精度高，可用于轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)懸浮[14-15]。為確保轉(zhuǎn)子上三個(gè)分離球面(內(nèi)轉(zhuǎn)軸上/下球面，外轉(zhuǎn)盤外圓球面)共球心，考慮其加工工藝，將其分為內(nèi)轉(zhuǎn)軸和外轉(zhuǎn)盤兩部分，通過調(diào)心環(huán)調(diào)整質(zhì)心位置使轉(zhuǎn)子質(zhì)心與球心重合。

圖1 磁懸浮球形飛輪結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Construction of magnetic bearing spherical flywheel

2 磁軸承-轉(zhuǎn)子模型

建立磁軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，需要作出以下假設(shè)：①系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)；②不考慮高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下球形轉(zhuǎn)子變形；③徑/軸向平動(dòng)各通道內(nèi)的磁軸承功放及控制性能相同；④不考慮重力對(duì)系統(tǒng)的作用；⑤不考慮外界對(duì)系統(tǒng)的干擾。

磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)坐標(biāo)系定義如圖2所示。圖2中：O(坐標(biāo)系原點(diǎn))為轉(zhuǎn)子球心；OI為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；坐標(biāo)系Z軸與轉(zhuǎn)子幾何軸(旋轉(zhuǎn)軸)重合；按右手定則定義X軸和Y軸；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；α和β分別為轉(zhuǎn)子繞X軸和Y軸的偏轉(zhuǎn)角；lr和la分別為軸向位移傳感器到轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系原點(diǎn)O的徑/軸向距離；R為洛倫茲力磁軸承線圈安裝半徑；lan，lbn分別為轉(zhuǎn)子兩端配重面到XOY面的距離；fx，fy，fz和Px，Py分別為磁軸承作用在轉(zhuǎn)子球心O上的合力和合力矩；Fl為洛倫茲力磁軸承單個(gè)繞組產(chǎn)生的懸浮力。

圖2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamics model of rotor

由牛頓第二定律和陀螺技術(shù)方程，可得轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式(1)寫成矩陣形式為

(2)

其中，

式中：M，q，G，F(xiàn)分別為質(zhì)量陣、廣義坐標(biāo)、陀螺陣和廣義力；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Jx，Jy和Jz分別為轉(zhuǎn)子繞X，Y和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。以F為輸入量，q為輸出量，可將轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)寫成

G0(s)=(Ms2+Gs)-1

(3)

轉(zhuǎn)子各懸浮通道電磁力經(jīng)線性化可得

(4)

式(4)寫成矩陣形式為

Fm=Khqm+Kii

(5)

式中：Fm=[fxpyfypxfz]T為磁軸承作用在轉(zhuǎn)子上的電磁力和力矩；Kh=diag(khx0khy0khz)和Ki=diag(kixkiβkiykiαkiz)分別為磁軸承位移剛度陣和電流剛度陣；qm=[xmβmymαmzm]T為磁軸承坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子位移；I=[ixiβiyiαiz]T為磁軸承控制電流陣。分散PID控制律作用下的磁軸承控制電流為

(6)

式中：Ks、Kw分別為傳感器放大系數(shù)陣和功率放大系數(shù)陣；KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù)陣；qs=[xsβsysαszs]T為傳感器坐標(biāo)位置。磁軸承坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系重合，傳感器坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系間的變換矩陣Ts為

Ts=diag(cos(π/4)1 sin(π/4)1 1)

(7)

式中：θ為位移傳感器與徑向磁軸承在圓周方向的夾角，θ=45°。通過坐標(biāo)變換可得

(8)

3 干擾模型

當(dāng)且僅當(dāng)磁懸浮球形飛輪定、轉(zhuǎn)子球心重合時(shí)，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)前后球殼氣隙形狀保持不變，從而消除磁拉偏負(fù)力矩。在此前提下，存在以下三大干擾：①實(shí)際球形轉(zhuǎn)子因制造裝配誤差，存在一定量不平衡質(zhì)量矩，引起軸承動(dòng)反力[16-17]；②轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何軸(與旋轉(zhuǎn)軸重合，且過轉(zhuǎn)子球心)，產(chǎn)生離心力[18-19]；③轉(zhuǎn)子質(zhì)心與球心存在偏離，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子所受電磁懸浮力(始終垂直磁極表面指向球心)存在繞質(zhì)心的偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩。

3.1 不平衡質(zhì)量矩引起的軸承動(dòng)反力

設(shè)轉(zhuǎn)子A端配重面內(nèi)有不平衡質(zhì)量矩ga=mar(ma為A端不平衡質(zhì)量，r為配重半徑)，忽略外界干擾力，基于達(dá)朗伯原理和劉強(qiáng)等研究中不平衡質(zhì)量矩引起的動(dòng)反力模型，可得轉(zhuǎn)子五個(gè)懸浮控制通道力學(xué)方程為

(9)

式中：Fax，F(xiàn)ay，F(xiàn)az分別為X，Y，Z軸的軸承動(dòng)反力；Fgx，F(xiàn)gy分別為慣性力在X，Y軸的分量；Fagax，F(xiàn)agay分別為A端不平衡質(zhì)量矩引起的慣性力在X，Y軸的分量；Mgx，Mgy分別為慣性力對(duì)固結(jié)于飛輪赤道平面內(nèi)X，Y軸的慣性力偶矩。

由于飛輪轉(zhuǎn)子為關(guān)于慣性軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，慣性力為零(Fgx=Fgy=0)，所以轉(zhuǎn)子A端的軸承動(dòng)反力為

(10)

同理可得轉(zhuǎn)子B端的軸承動(dòng)反力為

(11)

3.2 轉(zhuǎn)子質(zhì)心與球心偏離引起的偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩

由于轉(zhuǎn)子質(zhì)心與轉(zhuǎn)子球心存在一定的偏離量e(e=exi+eyj+ezk，ex，ey和ez分別為e在X，Y和Z軸上的分量)，轉(zhuǎn)子所受電磁懸浮力(始終指向球心，不過質(zhì)心)產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩Pd可表示為

(12)

3.3 轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何軸引起的離心力

球形轉(zhuǎn)子質(zhì)心與轉(zhuǎn)子幾何軸(旋轉(zhuǎn)軸)之間存在一定的徑向偏離量，高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的離心力Fu，其表達(dá)式為

(13)

4 不平衡質(zhì)量前饋控制與仿真

4.1 控制器模型

考慮不平衡質(zhì)量矩、離心力和偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩對(duì)磁軸承-球形轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的干擾，得到三種干擾作用下的轉(zhuǎn)子控制方框圖，如圖3實(shí)線部分所示，系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何軸引起的離心力Fu作用在反饋回路中，不平衡質(zhì)量矩引起的動(dòng)反力(Fa與Fb)和轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)子球心引起的偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩Pd以干擾形式出現(xiàn)。三種干擾的前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)如圖3虛線部分所示，Gf(s)，Gu(s)，Gp(s)分別為不平衡質(zhì)量矩、離心力、偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩的前饋傳遞矩陣，其表達(dá)式分別為

(14)

圖3 加入前饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)控制框圖Fig.3 Control diagram with feedforward compensation

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of rotor system

4.2 仿 真

仿真分析時(shí)，轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡精度等級(jí)為G1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=5.7 kg，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n=8 000 r/min(小于一階臨界轉(zhuǎn)速172 860 r/min)，則磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)允許的偏心距δ為

(15)

兩配重面內(nèi)允許的不平衡質(zhì)量矩Gm為

Gm=me/2≈3.39 g·mm

(16)

基于上述數(shù)學(xué)模型和控制框圖，對(duì)三種干擾進(jìn)行前饋抑制仿真，結(jié)果如圖4所示。由文獻(xiàn)[7-10]可知，轉(zhuǎn)子經(jīng)動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)后，轉(zhuǎn)子兩端的不平衡質(zhì)量矩為同一量級(jí)，且處于對(duì)角位置附近(相位差約為180°)。前饋抑制仿真時(shí)，設(shè)定轉(zhuǎn)子兩端的不平衡質(zhì)量矩均為3.39 g·mm，相位差為180°，偏心距e在X，Y，Z軸三個(gè)方向上的分量相等均為0.69 μm。如圖4(a)所示，僅對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量矩進(jìn)行前饋抑制時(shí)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅從13.8 μm和21.6 μm分別衰減至7.4 μm和11.3 μm。僅對(duì)離心力進(jìn)行前饋抑制可發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅分別降至10.5 μm和18.3 μm，如圖4(b)所示。從圖4(c)可看出，單獨(dú)對(duì)偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩進(jìn)行前饋補(bǔ)償時(shí)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅分別減小至7.2 μm和11.2 μm。顯然，控制系統(tǒng)增加的前饋環(huán)節(jié)，使磁軸承轉(zhuǎn)子獲得了額外的補(bǔ)償力矩，抵消干擾力矩，從而使振幅減小，表現(xiàn)出良好的控制效果。

在三種干擾的前饋環(huán)節(jié)共同作用下的仿真結(jié)果如圖5(a)所示。在0.2 s加入不平衡質(zhì)量矩前饋抑制，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅從最初的13.8 μm和21.6 μm分別降為7.4 μm和11.3 μm，降幅約為46%。在此基礎(chǔ)上，于0.4 s加入離心力前饋抑制環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅繼續(xù)降至5.8 μm和9.1 μm，降幅約為20%。最后，在0.6 s加入偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩前饋抑制環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅最終分別降至3.3 μm和5.6 μm，減小了40%左右，比三種干擾抑制前減少75%左右。三種干擾依次疊加作用之后，前饋抑制下轉(zhuǎn)子幾何軸的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5(b)所示。顯然，三種前饋環(huán)節(jié)的共同作用大幅度降低了轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅，從而可提高系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。

圖4 三種干擾單獨(dú)進(jìn)行前饋抑制效果Fig.4 Single suppression effectiveness of three interferences

圖5 三種干擾共同進(jìn)行前饋抑制效果Fig.5 Co-suppression effectiveness of three interferences

5 實(shí) 驗(yàn)

以本課題組研制的15 N·ms磁懸浮球形飛輪為研究對(duì)象，對(duì)本文提出的前饋抑制方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6(a)所示。在線動(dòng)/靜平衡實(shí)驗(yàn)后，轉(zhuǎn)子兩端配重面內(nèi)不平衡質(zhì)量矩分別為1.43 g·mm和1.33 g·mm，相位差為162°，轉(zhuǎn)子質(zhì)心與球心的徑/軸向偏離量分別為45 μm和40 μm。在額定轉(zhuǎn)速8 000 r/min和真空度≤15 Pa的條件下，對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行前饋抑制，并利用數(shù)字儲(chǔ)存示波器對(duì)轉(zhuǎn)子的位移信號(hào)進(jìn)行采集，結(jié)果如圖6(b)和圖6(c)所示。前饋抑制環(huán)節(jié)加入前，由于三種干擾的存在，致使轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅較大，約為19.9 μm和25.4 μm。在0.2 s加入不平衡質(zhì)量矩前饋抑制環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅分別降至14.4 μm和19.6 μm，降幅約為25%。在0.4 s繼續(xù)加入離心力前饋抑制環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅降至11.7 μm和15.8 μm，降幅約為19%。最后在0.6 s加入偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩前饋抑制環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅最終分別降至6.6 μm和8.9 μm，降幅約為43%。對(duì)三種干擾進(jìn)行前饋抑制后，轉(zhuǎn)子振幅比前饋抑制前，降低了66%，略低于仿真抑制降幅75%。由于轉(zhuǎn)子兩端配重面內(nèi)不平衡質(zhì)量矩處于非對(duì)稱位置(為162°)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子幾何軸實(shí)際運(yùn)行軌跡(見圖6(c))與仿真軌跡(見圖5(b))存在差異。此外，實(shí)際磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的電機(jī)干擾和各通道設(shè)備性能的差異也對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成一定的影響。

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results

6 結(jié) 論

本文以15 N·ms磁懸浮球形飛輪為研究對(duì)象，建立其磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，考慮轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量矩引起的軸承動(dòng)反力、轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何軸引起的離心力和轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)子球心引起的偏轉(zhuǎn)負(fù)力矩三種干擾，并對(duì)三種干擾進(jìn)行前饋抑制仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子兩配重面內(nèi)不平衡質(zhì)量矩大小相等且相位差為180°，轉(zhuǎn)速為8 000 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子徑/軸向振幅從13.8 μm和21.6 μm降至3.3 μm和5.6 μm，降幅為75%左右。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果具有很好的一致性，表明本文所提出的前饋抑制方法能夠有效抑制轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)。