陳永高，鐘振宇,2

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 紹興 312000；2.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

隨著實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的不斷運(yùn)營(yíng)，其自身會(huì)發(fā)生一定的損傷。目前，常在橋梁結(jié)構(gòu)上配置一套健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)[1]，通過(guò)布置在結(jié)構(gòu)上的傳感器采集其振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，再通過(guò)分析響應(yīng)信號(hào)來(lái)掌握結(jié)構(gòu)是否處于正常的運(yùn)營(yíng)狀態(tài)。但在實(shí)際工程中，由于橋梁結(jié)構(gòu)所處的外界環(huán)境一般較為復(fù)雜，以致健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)會(huì)受到各種干擾因素的影響，導(dǎo)致采集的響應(yīng)信號(hào)中含有一定的噪聲[2]?；诖?，需對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，以便最大化地消除噪聲帶來(lái)的影響。

就信號(hào)的降噪處理算法而言，國(guó)內(nèi)外有很多降噪算法，大體上可將這些降噪算法[3]歸為三類(lèi)：時(shí)域法、頻域法和時(shí)頻域法。時(shí)域降噪法是指：直接對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，而無(wú)需考慮該實(shí)測(cè)信號(hào)是否存在一定的規(guī)律性。頻域降噪方法是指：先將實(shí)測(cè)信號(hào)從時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域信號(hào)，再依據(jù)信號(hào)與噪聲之間存在的頻譜差異性來(lái)去除噪聲，進(jìn)而保留有用信號(hào)頻譜，最后再將該頻譜還原為時(shí)域信號(hào)。時(shí)頻分析方法是指：將實(shí)測(cè)信號(hào)分別展開(kāi)到時(shí)域和頻域兩個(gè)空間上，以分析實(shí)測(cè)信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征。

本文將首先分析橋梁響應(yīng)信號(hào)的基本特征[4],以選取最佳的降噪算法，其次針對(duì)該算法存在的弊端提出解決算法，最后將改進(jìn)算法運(yùn)用于信號(hào)分解，對(duì)比分析所得結(jié)果以驗(yàn)證算法的可行性。

1 信號(hào)分解算法的篩選

在對(duì)橋梁響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理之前需了解其存在的基本特征，以便能選擇最佳的降噪算法。其基本特征包括：①Huang等[5]指出的非線性；②非平穩(wěn)性[6]—在時(shí)域和頻域上均會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生一定的變化，即信號(hào)的可預(yù)測(cè)性較差；③時(shí)變性—橋梁結(jié)構(gòu)自身的特性會(huì)發(fā)生變化；④低頻性—主要是指橋梁結(jié)構(gòu)自身的固有頻率較低，以致其響應(yīng)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率值也低。

根據(jù)橋梁響應(yīng)信號(hào)的基本特征，并結(jié)合現(xiàn)有的三大類(lèi)降噪算法，可知時(shí)頻分析方法能夠更加有效地分析橋梁響應(yīng)信號(hào)的時(shí)頻特性。目前，時(shí)頻分析法中常用的有小波(包)類(lèi)和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)，其中小波(包)方法存在小波基和分解尺度的選擇問(wèn)題，EMD是一種自適應(yīng)分解方法，但其依然存在端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊。針對(duì)EMD的弊端，Wu等[7]提出了集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Ensemble Empirical Mode Decomposition,EEMD)。但隨著該降噪算法的普及，其缺陷也逐漸凸顯，雖然已有不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，但模態(tài)混疊現(xiàn)象依然存在，同時(shí)有效IMF分量篩選需人為參與?；诖?，本文針對(duì)這兩方面的問(wèn)題提出了相應(yīng)的解決算法，以便能更好地對(duì)橋梁響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。

2 模態(tài)混疊現(xiàn)象的避免

2.1 模態(tài)混疊現(xiàn)象

模態(tài)混疊現(xiàn)象是指本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions,IMF)間存在相近的特征時(shí)間尺度；該現(xiàn)象的存在會(huì)導(dǎo)致后續(xù)的時(shí)頻分布混淆[8]。究其主要原因如下：

(1)信號(hào)內(nèi)部含有噪聲，導(dǎo)致極值點(diǎn)的分布發(fā)生了變化；

(2)信號(hào)內(nèi)部含有一定的高頻的、間斷性的弱信號(hào)；

(3)信號(hào)的組成分量比較接近，即組合分量對(duì)應(yīng)的頻率值比較接近。

導(dǎo)致該現(xiàn)象發(fā)生的根本原因是模態(tài)分解不滿足全局正交性，只有保證信號(hào)在模態(tài)分解的過(guò)程中始終保證所得結(jié)果間滿足正交性。鑒于此，可通過(guò)引入多元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“解相關(guān)算法”[9]，同時(shí)為了進(jìn)一步避免模態(tài)混疊現(xiàn)象可引入“譜系聚類(lèi)”[10]。

2.2 解相關(guān)算法

解相關(guān)算法的基本原理是通過(guò)計(jì)算向量x和向量y之間的相關(guān)程度Cxy，并通過(guò)相關(guān)程度的大小來(lái)辨識(shí)兩向量之間是否滿足正交性。相關(guān)程度的計(jì)算式為

Cxy=E{(x-ηx)(y-ηy)}=E{xy}-E{x}E{y}
ηx=E{x}
ηy=E{y}

(1)

當(dāng)Cxy=0時(shí)，表明向量x和向量y并不相關(guān)，由于不相關(guān)和正交具有等價(jià)性，所以?xún)上蛄縳和滿足y正交性。

當(dāng)Cxy≠0時(shí)，表明兩向量不滿足正交性，此時(shí)則需要根據(jù)Cxy的數(shù)值大小來(lái)判定是否需要進(jìn)行“解相關(guān)處理”。肖瑛等的研究中指出，當(dāng)Cxy∈[0.1,1]時(shí)則應(yīng)利用式(2)將相關(guān)部分ry(n)從x(n)中剔除，以得到與y(n)不相關(guān)的部分。

v(n)=x(n)-ry(n)

(2)

算法流程如下：

步驟1 信號(hào)EMD分解

EMD處理待分解信號(hào)x(t)，僅需分解得到前兩個(gè)IMF分量IMFi(i=1,2)；

步驟2 求解IMF1分量

求解IMF1和IMF2間的相關(guān)程度，計(jì)算式如下

(3)

(2)當(dāng)r12∈[0,0.1]時(shí)，表明所得IMF1為所求第一個(gè)IMF分量；

步驟3 剩余IMF分量求解

根據(jù)步驟2的算法流程依次求得剩余的所有IMF分量。

2.3 譜系聚類(lèi)算法的運(yùn)用

為進(jìn)一步保證所得IMF分量中任意兩個(gè)分量間不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。鑒于此，可引入“譜系聚類(lèi)”來(lái)解決這一問(wèn)題，以下將詳細(xì)介紹如何在信號(hào)分解過(guò)程中嵌入該算法。

為了將譜系聚類(lèi)與EEMD分解算法進(jìn)行有效結(jié)合，應(yīng)先分析EEMD分解算法的基本流程，流程圖見(jiàn)圖1。根據(jù)圖1可知：

(1)IMFj的求解是直接對(duì)IMFij(i=1,2,…,n)求平均，雖然解相關(guān)處理能夠保證同一列的相鄰兩分量間不存在模態(tài)混疊，卻難以保證同一行的N個(gè)IMFij(i=1,2,…，N)間不發(fā)生混疊現(xiàn)象；

(2)同一列的n-1個(gè)IMFij(j=1,2,…,n-1)也可能發(fā)生混疊現(xiàn)象。

圖1 EEMD流程圖Fig.1 Flow-chart of EEMD

將譜系聚類(lèi)算法嵌入到分解過(guò)程中，思路如下：

(1)為保證圖1中同一列的n-1個(gè)IMFij(j=1,2,…,n-1)間不存在混疊現(xiàn)象，可在每次信號(hào)EMD分解完之后利用譜系聚類(lèi)辨識(shí)所得IMF分量，當(dāng)分量間存在混疊現(xiàn)象時(shí)，則需要重新計(jì)算該組分量，直到所得分量間不存在混疊現(xiàn)象；

(2)在對(duì)同一行的N個(gè)IMFij(i=1,2,…，N)進(jìn)行求平均值之前，可通過(guò)譜系聚類(lèi)算法辨識(shí)這些IMF分量間是否存在混疊現(xiàn)象。假如當(dāng)IMFn1和IMFn2發(fā)生混疊時(shí)，需重新對(duì)信號(hào)添加N次白噪聲進(jìn)行模態(tài)分解。

以下將詳細(xì)介紹譜系聚類(lèi)算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

步驟1 求解分量間的歐式距離

鑒于“歐式距離”能夠描述二維和三維空間中點(diǎn)點(diǎn)之間的實(shí)際距離，所以本文采用譜系聚類(lèi)中的歐式距離定義向量xi和向量xj之間的距離d(xi,xj)，該距離滿足如下條件：

(1)d(xi,xj)≥0,且d(xi,xj)=0?xi=xj

(2)d(xi,xj)=d(xj,xi)

(3)d(xi,xj)≤d(xi,xk)+d(xk,xj)

(4)

基于上述原理，可利用式(5)計(jì)算IMFi和IMFj之間的歐式距離dij

(5)

步驟2 模態(tài)混疊現(xiàn)象的辨識(shí)

基于步驟1可計(jì)算出任意兩IMF分量間的歐式距離，并繪制歐式距離圖，見(jiàn)圖2。辨識(shí)兩分量間是否存在模態(tài)混疊需確定聚類(lèi)的閥值Nn。通過(guò)多次試驗(yàn)，提出可利用式(6)計(jì)算該閥值。

Nn=(dmax-dmin)×0.6
dmax=max(dij)
dmin=min(dij)

(6)

圖2 歐式距離圖Fig.2 Euclidean distance chart

步驟3 譜系聚類(lèi)算法的嵌入

分解過(guò)程中引入“解相關(guān)算法”和“譜系聚類(lèi)算法”，流程圖如圖3所示。

圖3 改進(jìn)EEMD流程圖Fig.3 Flow-chart of improved EEMD

3 智能化篩選有效IMF分量

針對(duì)如何篩選有效IMF分量，已有不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。

(1)林麗等[11]通過(guò)計(jì)算各IMF分量與原始信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)選取有效分量，該算法的缺點(diǎn)在于，由于原始信號(hào)內(nèi)部一般含有噪聲，導(dǎo)致求解出的相關(guān)系數(shù)不具代表性；

(2)張雪等[12]通過(guò)計(jì)算各IMF分量含有的信息熵來(lái)對(duì)IMF分量進(jìn)行區(qū)分，該方法的缺陷在于難以定義高頻成分與低頻成分的分界點(diǎn)；

(3)陳仁祥等[13]通過(guò)計(jì)算各IMF分量自身的能量密度和平均周期來(lái)篩選有效分量；該方法的缺陷在于，信號(hào)內(nèi)部噪聲的大小會(huì)在一定程度上影響能量密度的計(jì)算，以致最終篩選的有效IMF分量并不可信。

上述作者在篩選有效IMF分量時(shí)僅利用了一種算法，以致篩選的結(jié)果可能會(huì)存在偏差。鑒于此，可采用數(shù)學(xué)建模中的“線性加權(quán)算法”以相關(guān)程度、信息熵、能量密度以及平均周期為因子構(gòu)建新的篩選指標(biāo)。

3.1 相關(guān)程度的計(jì)算

考慮到原始信號(hào)x(t)和IMFi(i=1,2,…,n)均為矢量，所以采用夾角余弦來(lái)定義彼此之間的相似性度量Ri，計(jì)算式為

(7)

式中：m為單個(gè)矢量的序列長(zhǎng)度值。

3.2 信息熵的計(jì)算

(3)確定原始信號(hào)的總采樣點(diǎn)數(shù)N以及IMFi(t)落在第i個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)為mi，計(jì)算IMFi(t)落在第i個(gè)區(qū)間的概率P=mi/N，再利用式(8)求解IMFi(i=1,2,…,n)對(duì)應(yīng)的信息熵XSi。

(8)

3.3 能量密度和平均周期的計(jì)算

(1)定義IMFi對(duì)應(yīng)的能量密度為Ei，平均周期為T(mén)i，兩者的乘積為ETi，計(jì)算式為

(9)

式中:l為原始信號(hào)總測(cè)點(diǎn)數(shù)；Fi為IMFi對(duì)應(yīng)的振幅值；Ji為IMFi對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(2)計(jì)算能量系數(shù)Xi

(10)

①Xi越大，則該IMFi為高頻成分的幾率越大，反之亦然；

②當(dāng)Xi>2Xi-1時(shí)，即IMFi能量系數(shù)相比IMFi-1成倍的增加，此時(shí)便認(rèn)定IMFk(k=1,2,…,i-1)為高頻分量。

3.4 線性加權(quán)算法的運(yùn)用

為了實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的智能化篩選，引入了數(shù)學(xué)建模中的“線性加權(quán)算法”，該算法并不是第一次被運(yùn)用到橋梁結(jié)構(gòu)相關(guān)計(jì)算中。周勇軍等[14]用來(lái)計(jì)算沖擊系數(shù)；趙紹東[15]用來(lái)進(jìn)行橋梁評(píng)估。本文將利用其篩選有效IMF分量，步驟如下：

步驟1 為了避免因量綱的不同帶來(lái)的影響，在對(duì)IMFi對(duì)應(yīng)的Ri,XSi以及Xi進(jìn)行線性加權(quán)之前，對(duì)XSi和Xi分別進(jìn)行歸一化處理

(11)

步驟2 鑒于三項(xiàng)指標(biāo)具有相同的重要性，將各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重值均取為1/3，利用式(12)構(gòu)建新指標(biāo)-有效系數(shù)YXi

(12)

YXi的取值大小問(wèn)題，尚未有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究。僅有少量學(xué)者對(duì)類(lèi)似系數(shù)進(jìn)行定義。林旭澤等[16]選取0.9為有效分量的閥值；陳仁祥等[17]認(rèn)為相關(guān)系數(shù)大于0.7時(shí)即可。綜合上述分析，本文將有效系數(shù)的閥值取為0.8。最后對(duì)所有的有效IMF分量進(jìn)行重組得到重構(gòu)信號(hào)x′(t)。

4 有效IMF分量的驗(yàn)證

就所得有效IMF分量是否具有可靠性，還需進(jìn)一步的驗(yàn)證?，F(xiàn)階段，常用的驗(yàn)證指標(biāo)包括信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)，用于表示信號(hào)與噪聲能量大小的關(guān)系；標(biāo)準(zhǔn)誤差(Standard Error,SE)，用于表示重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)在數(shù)據(jù)方面的差異性，該值越小代表重構(gòu)信號(hào)的去噪效果越好；相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient,R )，一般用于描述重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)在形狀方面的差異性。各指標(biāo)的計(jì)算公式為

(13)

5 仿真信號(hào)試驗(yàn)驗(yàn)證

仿真信號(hào)采用正弦信號(hào)、余弦信號(hào)以及噪聲組成。其中正弦信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率為1 Hz和5 Hz；余弦信號(hào)的頻率為2 Hz；噪聲對(duì)應(yīng)的均值為0，方差為1，且含噪水平約為15%。模擬信號(hào)的時(shí)間曲線方程為

x(t)=8sin(10πt+2π/3)+5cos(4πt+π/3)+
1.5sin(2πt)+15rand

信號(hào)持續(xù)時(shí)間為10 s，采樣頻率為100 Hz，即采樣點(diǎn)數(shù)為1 000。疊加信號(hào)及各信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)程曲線見(jiàn)圖4。

圖4 信號(hào)時(shí)程曲線圖Fig.4 Time-step curves of signal

5.1 模態(tài)混疊處理效果

分別運(yùn)用改進(jìn)EEMD算法與EEMD算法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，圖5是為各IMF分量時(shí)程圖；圖6為歐式距離圖。對(duì)比分析圖6可得如下結(jié)論：

(1)根據(jù)式(6)求EEMD和改進(jìn)EEMD對(duì)應(yīng)的聚類(lèi)閥值分別為5.4和4.5；

(2)EEMD分解結(jié)果中IMF5和IMF6間發(fā)生了混疊現(xiàn)象，即兩分量間含有一定的相似信息；改進(jìn)EEMD分解結(jié)果中，各IMF分量均獨(dú)立，無(wú)模態(tài)混疊現(xiàn)象發(fā)生。

圖5 模態(tài)分解結(jié)果Fig.5 Modal decomposition results

(a)歐式距離圖(EEMD)

(b)歐式距離圖(改進(jìn)EEMD)

圖6 歐式距離圖
Fig.6 Euclidean distance chart

5.2 相關(guān)程度的計(jì)算

為驗(yàn)證所提算法分解得到的IMF分量與原始信號(hào)中的疊加信號(hào)更為接近，求得兩分解算法所得各分量與仿真信號(hào)中各疊加信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表1和表2?？傻媒Y(jié)論：

(1)僅根據(jù)相關(guān)系數(shù)選擇有效分量，則EEMD僅能篩選出IMF2，該分量?jī)H能反映疊加信號(hào)中的5 Hz；

(2)改進(jìn)EEMD分解結(jié)果中僅IMF3為有效IMF分量，該分量?jī)H能代表疊加信號(hào)中的5 Hz信號(hào)。

可見(jiàn)僅利用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行有效IMF分量的篩選，則可能會(huì)遺漏部分有效IMF分量。

表1 相關(guān)系數(shù)表(EEMD)Tab.1 Table of the correlation coefficient(EEMD)

表2 相關(guān)系數(shù)表(改進(jìn)EEMD)Tab.2 Table of the correlation coefficient (improved EEMD)

5.3 有效IMF分量的智能化辨識(shí)

求解出兩種分解算法所得IMF分量對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)、信息熵以及能量系數(shù)，并基于3.4節(jié)所提算法計(jì)算用于篩選有效IMF分量的有效系數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表3和表4。分析表中數(shù)據(jù)可知：

(1)EEMD分解結(jié)果中的有效IMF分量分別是IMF2,IMF4和IMF5；

(2)改進(jìn)EEMD分解結(jié)果中的有效IMF分量分別是IMF3,IMF4和IMF5；

(3)本文算法能有效避免人為參與有效IMF分量的篩選，且結(jié)果具有可靠性。

利用式(13)分別計(jì)算兩種分解算法所得重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的信噪比、相關(guān)系數(shù)以及均方誤差，結(jié)果見(jiàn)表5。

表3 有效系數(shù)(改進(jìn)EEMD)Tab.3 Effective coefficient (improved EEMD)

表4 有效系數(shù)(EEMD)Tab.4 Effective coefficient (EEMD)

表5 去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.5 Evaluation of noise removal results

根據(jù)表5可知，本文算法得到的重構(gòu)信號(hào)，其內(nèi)部的有效信號(hào)所占比重更大；與原始信號(hào)更接近。

6 斜拉橋響應(yīng)信號(hào)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提算法能運(yùn)用于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)信號(hào)，以下將分別利用兩種分解算法對(duì)環(huán)境激勵(lì)下的橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，并對(duì)比分析所得結(jié)果。該橋梁為雙塔索面斜拉橋，跨徑布置為(2×100+300+1 088+300+2×100)m，主梁上共布置14個(gè)豎向加速度傳感器，見(jiàn)圖7所示。采樣頻率為20 Hz，圖8是1號(hào)傳感器于白天12點(diǎn)左右采集的加速度響應(yīng)信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖，采樣點(diǎn)數(shù)為4 000，即采樣時(shí)間為200 s。

圖7 加速度傳感器布置圖Fig.7 Acceleration sensor arrangement

圖8 加速度響應(yīng)信號(hào)時(shí)程圖Fig.8 Time-distance chart of acceleration response signal

以前1 000個(gè)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)信號(hào)為研究對(duì)象，分別運(yùn)用所提算法和EEMD對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分解，結(jié)果見(jiàn)圖9。圖10為兩分解結(jié)果各IMF分量對(duì)應(yīng)的歐式距離圖，根據(jù)圖10可知，EEMD分解所得IMF分量間有模態(tài)混疊現(xiàn)象，其中IMF1與IMF2間發(fā)生了混疊現(xiàn)象，同時(shí)IMF4與IMF5間也發(fā)生了混疊現(xiàn)象。

對(duì)兩種分解算法所得IMF分量進(jìn)行有效IMF分量的智能化篩選，并重構(gòu)信號(hào)，圖11為兩重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的Hilbert-Huang譜圖。圖中瞬時(shí)頻率顏色的深淺與該頻率成分能量大小相關(guān)，能量越大顏色越深。根據(jù)該圖可知，相比EEMD所得結(jié)果，本文算法得到的有效IMF分量對(duì)應(yīng)各階頻率的能量更高，即本文算法能更好地保留原始信號(hào)中的有效成分。

圖9 模態(tài)分解結(jié)果Fig.9 Modal decomposition results

圖10 歐式距離圖Fig.10 Euclidean distance chart

圖11 Hilbert-Huang譜Fig.11 Hilbert-Huang spectrum

7 結(jié) 論

針對(duì)EEMD算法存在的弊端，本文提出了相應(yīng)的改進(jìn)算法，并將所提算法運(yùn)用于仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)橋梁振動(dòng)信號(hào)，結(jié)果表明：

(1)為避免模態(tài)混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生，可在信號(hào)分解過(guò)程中引入“解相關(guān)處理”和“譜系聚類(lèi)”來(lái)有效地保證所得IMF分量間滿足全局正交性。

(2)為實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的篩選，可以利用能量密度、平均周期、相關(guān)程度以及信息熵為因子，并結(jié)合多元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“線性加權(quán)算法”來(lái)構(gòu)建新的篩選指標(biāo)，結(jié)果表明所提篩選算法具有可靠性。

(3)本文算法不僅能運(yùn)用于仿真信號(hào)，還能運(yùn)用于實(shí)際橋梁響應(yīng)信號(hào)中，且分解效果較現(xiàn)有EEMD算法而言更好。