劉銘麗， 王希云

太原科技大學應用科學學院，山西 太原 030024

去馬賽克問題自提出以來得到了人們的廣泛關注與研究.楊斌等[1]提出的彩色圖像的擴展聯(lián)合稀疏表示模型，有效地減少了傳統(tǒng)模型恢復圖像中出現(xiàn)的鋸齒現(xiàn)象，但不能很好地保留細節(jié)和邊界的信息；劉巧珍等人[2]提出的一種基于殘差平面超分辨重建的CFA插值方法，有效地保持了圖像中的紋理和邊緣信息，但容易出現(xiàn)傳統(tǒng)插值問題中的鋸齒現(xiàn)象；而由Rudin，Osher和Fatemi[3]提出的總變分正則化模型(ROF模型)，由于其正則項具有分段光滑的特性，使得總變分模型能夠在圖像恢復過程中有效保留圖像邊緣，從而得到更好的恢復效果，因此這一模型被廣泛應用于求解彩色圖像的去馬賽克問題.

在ROF模型[3]的基礎上，Laurent Condat[4]將彩色圖像的離散總變分模型表示為

(1)

其中，Ω∈R3n2，A為馬賽克算子即彩色濾波陣(選用BayerCFA[5])，a為觀察到的馬賽克彩色圖像.B為離散梯度算子，x為待求彩色圖像，μ1>0為正則化參數(shù).文獻[4]中，模型的求解算法如下：

其中γ>0,λ>0.

本文考慮到彩色圖像三通道融合的情況，選擇在傳統(tǒng)的總變分模型(1)的基礎上引入彩色圖像的灰度化項作為正則化項第二項.另外由于亮度色度空間中信息的無關性，將彩色圖像由RGB映射到亮度色度空間，利用原始對偶不動點算法(PDFP)在亮度色度空間求解探索彩色圖像去馬賽克質量的情況.數(shù)值實驗表明，本文模型比傳統(tǒng)模型得到了更好的恢復圖像.

1 模型的建立及其求解

傳統(tǒng)的彩色圖像去馬賽克總變分正則化模型，例如模型(1)，僅考慮彩色圖像三通道分離的情形，這樣忽略了三通道間的相關性，顯然會降低圖像復原的效果.而彩色圖像灰度化的加入將三通道融合的情況考慮進去，因此會達到更好的效果.

1.1 彩色圖像的灰度化

灰度化，在RGB模型中，如果R=G=B時，彩色表示一種灰度顏色，其中R=G=B的值叫灰度值，因此，灰度圖像每個像素只需一個字節(jié)存放灰度值，灰度范圍為0～255.一般有分量法、最大值法、平均值法和加權平均法四種方法應用于灰度化彩色圖像.其中，平均值法和加權平均法較為常用.

平均值法.將彩色圖像中的三分量亮度求平均得到一個灰度值，可以按公式[6]:

加權平均法.根據(jù)重要性及其他指標，將R、G、B三個分量以不同的權值進行加權平均,可以得到比較合理的灰度圖像.由于人眼對綠色的敏感度最高，對藍色的敏感度最低，可以按公式[6]:

f(i,j)=0.30×R(i,j)+0.59×G(i,j)+0.11×B(i,j)

1.2 模型的建立

設Sx=f，結合模型(1)可知，本文建立的模型為

(2)

1.3 模型的求解

雖然總變分模型能夠有效保留圖像邊緣，但因其具有非光滑性，直接求解難以獲得最小值，而原始對偶不動點算法是求解圖像非光滑凸優(yōu)化問題的一種有效算法，其變量是全分裂的參數(shù)范圍小，容易選取，因此適用于數(shù)量級較大的模型問題.所以本文考慮用原始對偶不動點算法(PDFP)[7,8]求解該模型.

對于目標函數(shù)

(3)

利用原始對偶不動點算法[7,8]求解式(3)的步驟如下

(1)?。?/p>

則求解模型(1)的原始對偶不動點算法步驟為

(2)?。?/p>

則求解模型(2)的原始對偶不動點算法步驟為

2 數(shù)值實驗

為了驗證本文提出的彩色圖像去馬賽克模型的有效性，以Matlab2015a為編程工具，實驗數(shù)據(jù)采用7幅像素大小為500×500的彩色柯達圖像(Kodak PhotoCD dataset)，分析灰度項參數(shù)μ2不同值對實驗結果的影響，取μ2∈[0.00,0.11]以0.01為步長，從得到的復原結果中選擇最好的結果對應的μ2作為實驗最終取值(圖1)；對比不同的彩色圖像灰度化方法對實驗結果的影響(表1)，選取了對實驗效果更好的灰度化方法.為了更好地比較去馬賽克后的細節(jié)信息，且考慮到篇幅影響，用框選出了2幅彩色圖像的局部作為實驗對比所用的部分(圖2)，并選擇文獻[4]的模型及算法[9]進行對比實驗,分別從圖像恢復的視覺效果以及峰值信噪比(CPSNR)來主客觀地評價所提出模型的性能.

圖1 μ2 值對實驗結果(CPSNR)的影響Fig.1 The effection on experimental results of the value of μ2表1 不同灰度化方法對實驗結果的影響Tab.1 The effection on experimental results of different gray methods

圖2 柯達圖
Fig.2 kodak image

(a) macaws(b)Windows

圖3 實驗結果對比圖
Fig.3 Collation map of experimental results

主觀上，圖3中(a)～(b)從左上角到右下角分別為：原圖、文獻[4]結果圖([4])、文獻[4]利用PDFP算法結果(下文簡稱[4]+PDFP)以及本文模型利用PDFP求解結果(下文簡稱[4]+灰度+PDFP).從圖3可以看出文獻[4]模型的實驗結果出現(xiàn)了色彩失真和邊界模糊的現(xiàn)象，由于此模型只考慮了三通道分離的正則化，沒有充分利用三通道融合的信息從而使得結果失真.而本文的模型在文獻[4]模型的基礎上加進去彩色圖像的灰度化圖像，將三通道融合的信息考慮進去，較好地保留了圖像的細節(jié)信息，從而使得去馬賽克后的圖像細節(jié)部分更接近原圖.并且利用PDFP算法求解文獻[4]模型所得圖像較文獻[4]算法結果更清晰，保留了圖像的細節(jié)信息.從而說明了此模型和算法的有效性.

客觀上，為了檢測圖片還原質量的好壞，采用峰值信噪比(CPSNR)作為圖片質量的評價標準,CPSNR可描述為

表2(黑體表示較好的效果)分別表示文獻[4]與本文模型結果的CPSNR值，從表2比較結果可以看出本模型的每幅圖像的CPSNR值都比文獻[4]高約2 dB.主觀和客觀評價都顯示了本文模型的優(yōu)越性.

3 結語

本文提出了一種改進的彩色圖像去馬賽克總變

表2 圖像恢復結果的信噪比CPSNRTab.2 The CPSNR of image restoration results

分正則化模型.將彩色圖像的灰度化圖像引入傳統(tǒng)模型中，利用原始對偶不動點算法處理該模型.實驗結果表明，與文獻[4]中的模型相比較，用本文提出的模型恢復的彩色圖像有較高的信噪比，能有效地保留圖像邊緣，提高圖像的恢復質量.計算時因矩陣維數(shù)大導致對電腦配置要求較高，效率低，因此對本文所用算法還有待改進的地方，比如降維方面的改進，是當前正在進行的研究工作.