吳文澤, 黃仁帥，張濤

1.百色學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 百色 533000 ;2. 廣西科技大學理學院，廣西 柳州 545006

為了解決不確定或有限小樣本的問題，Deng[1]提出了灰色預測模型，GM(1,1)模型是灰色預測的核心和基礎(chǔ)部分.作為一種數(shù)學模型，GM(1,1)模型已經(jīng)被廣泛應用到經(jīng)濟、管理和工程等眾多領(lǐng)域[2～6].

模型預測精度與背景值構(gòu)造關(guān)系密切，許多學者提出了背景值優(yōu)化的方法.如：Tang[7]提出了一種近似逼近[k-1,k]區(qū)間的積分面積的背景值構(gòu)造方法；Wang[8]通過對GM(1,1)模型的誤差分析，利用具有非齊次指數(shù)規(guī)律的離散數(shù)據(jù)擬合累積序列，提出了一種優(yōu)化背景值的新方法；Zhang[9]提出了基于粒子群優(yōu)化算法搜尋最優(yōu)背景值的方法；Liu[10]提出一種結(jié)合初始值和背景值優(yōu)化方法以提升模型的預測精度等等.

在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，本文提出一種自適應數(shù)據(jù)的優(yōu)化背景值的方法，極小化預測值和實際值的偏差搜尋最優(yōu)的αopt，構(gòu)造新的背景值，提高GM(1,1)模型的預測性能，該方法便于理解且容易實現(xiàn).數(shù)值模擬結(jié)果表明，所提出的方法能夠提高GM(1,1)模型的預測精度.

1 模型探究

1.1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型

令

1.2 GM(1,1)模型背景值優(yōu)化

對于GM(1,1)模型的實際背景值z(1)(k)，討論其幾何意義[ ].在區(qū)間[k-1,k]區(qū)間內(nèi)對白化微分方程兩邊求積分

(1)

不難發(fā)現(xiàn)，背景值的無偏的準確形式為

(2)

(3)

其中，k=1,2,...,n,αopt為最優(yōu)權(quán)重.

1.3 優(yōu)化GM(1,1)模型的構(gòu)建

(1)白化微分方程的時間響應方程為x(1)(t)=(x(0)(1)-b/a)e-a(t-1)+b/a.

2 數(shù)值模擬

為了驗證所提出方法的有效性，本文采用指數(shù)函數(shù)f(t)=ηeλt生成模擬數(shù)據(jù)序列[11].令η=2和λ=0.4,則指數(shù)函數(shù)為f(t)=2e0.4t，當t=1,2,...,7時，生成建模數(shù)據(jù)如表1所示.為了比較兩種模型的精度，本文選取前五個模擬數(shù)據(jù)作為建模樣本，借助MATLAB軟件，迭代式(3)的過程104次，找出最優(yōu)α為0.533 3，總偏差Q=0.001 3,迭代過程如圖1所示.

建立傳統(tǒng)GM(1,1)模型并得到其參數(shù)及灰色微分方程的時間響應函數(shù)為

建立優(yōu)化GM(1,1)模型得到其參數(shù)及灰色微分方程的時間響應函數(shù)為

通過計算可以得到兩種模型的預測值以及模型產(chǎn)生的相對誤差(表2)，以及兩種預測效果圖(圖2，圖3).從表2不難發(fā)現(xiàn)，兩種模型的預測表現(xiàn)都十分良好，產(chǎn)生的相對誤差均小于經(jīng)驗給出的高精度閾值10 %；優(yōu)化GM(1,1)模型預測產(chǎn)生的相對誤差遠小于傳統(tǒng)GM(1,1)模型預測產(chǎn)生的相對誤差；隨著t的增加，模型預測產(chǎn)生的誤差呈遞增的趨勢.從圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化GM(1,1)模型預測值更接近實際值，且產(chǎn)生的誤差更加趨近于0，表明所提出的方法能夠顯著提高模型的預測性能.

表1 指數(shù)函數(shù)生成的模擬數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data from exponential function

圖1α對Q的影響
Fig.1 effects of parameterαonQ

圖2 兩種模型的預測值Fig.2 Predicted values from the two models圖3 兩種模型產(chǎn)生的相對誤差Fig.3 Relative errors from the two models

表2 兩種模型的預測結(jié)果Tab.2 Prediction performance of the two models

3 結(jié)束語

GM(1,1)模型作為灰色預測模型的基礎(chǔ)和核心，有效解決了不確定、有限樣本預測問題，但仍然存在改進的空間.本文在已有的文獻中，提出一種自適應數(shù)據(jù)的背景值優(yōu)化方法，該方法便于理解和易于實現(xiàn)，同時能提高預測的精度.研究表明，該方法是有效和適用的.