苑瑞林,朱志甫,孫 華

(1.鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,河南 鶴壁 458030; 2.東華理工大學(xué) 江西省新能源技術(shù)研究中心,江西 南昌 330013)

無(wú)人機(jī)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于軍事、航空、醫(yī)學(xué)救援、遠(yuǎn)程測(cè)量等多個(gè)領(lǐng)域,目前,雷達(dá)/紅外跟蹤系統(tǒng)由于具有靈活性、冗余性、簡(jiǎn)單性和可靠性而被廣泛使用[1-2].雷達(dá)是一種有源傳感器,它利用無(wú)線電波確定目標(biāo)的距離和方位角.然而,電磁信號(hào)很容易受干擾,這些不想要的信號(hào)可能來(lái)自內(nèi)部和外部源,包括被動(dòng)的和主動(dòng)的[3].紅外傳感器是一種無(wú)源傳感器,對(duì)電磁干擾無(wú)影響,對(duì)大氣環(huán)境敏感[4],利用雷達(dá)和紅外傳感器可以大大提高目標(biāo)跟蹤精度.然而,雷達(dá)和紅外傳感器的測(cè)量都是非線性的,因此，雷達(dá)/紅外無(wú)人機(jī)跟蹤系統(tǒng)需要研究無(wú)人機(jī)跟蹤濾波器.

模型不確定性、測(cè)量噪聲和目標(biāo)未知的轉(zhuǎn)向指令是無(wú)人機(jī)跟蹤系統(tǒng)中具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題[5-6].在文獻(xiàn)[7]中,用一種蟻群估計(jì)器追蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo).在文獻(xiàn)[8]中,目標(biāo)跟蹤問(wèn)題被公式化為零和博弈,并且開(kāi)發(fā)了一個(gè)極大極小值算法估計(jì)目標(biāo)在傳感器網(wǎng)絡(luò)中的位置.在文獻(xiàn)[9]中,將目標(biāo)跟蹤問(wèn)題描述為隨機(jī)對(duì)策,對(duì)線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的h∞最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)濾波器問(wèn)題進(jìn)行了求解.在文獻(xiàn)[10]中,為解決無(wú)人機(jī)跟蹤過(guò)程采用粒子濾波算法存在粒子貧化現(xiàn)象,提出了基于蝙蝠回聲頻率和響度變換定位機(jī)制的群智能啟發(fā)算法.為了擴(kuò)展線性離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)約束狀態(tài)變量的極大濾波器,在文獻(xiàn)[11]中,提出了一種約束狀態(tài)估計(jì)濾波器.所有的算法都假設(shè)測(cè)量矩陣是常數(shù),它們不能用于雷達(dá)/紅外目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中.為了解決這一缺陷,本文采用離散時(shí)間博弈理論.

首先將目標(biāo)跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散時(shí)間零和對(duì)策;然后提出了一種基于博弈的狀態(tài)估計(jì)算法,用于雷達(dá)/紅外目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的同步更新算法.利用代數(shù)方法建立了該問(wèn)題的求解方法,并在三維笛卡爾坐標(biāo)系中開(kāi)發(fā)了一種精確估計(jì)無(wú)人機(jī)位置和速度的迭代算法.該算法是一種魯棒的極大極小值迭代濾波器,通過(guò)最差的轉(zhuǎn)向命令、最小化估計(jì)誤差而獲得.

1 無(wú)人機(jī)跟蹤模型建立

1.1 無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人機(jī)位置的精確估計(jì),首先建立無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,建立離散時(shí)間無(wú)人機(jī)動(dòng)態(tài)模型如下:

(1)

式中:k為時(shí)間指數(shù);xk∈Rn為三維笛卡爾坐標(biāo)中系統(tǒng)在第k步的位置、速度和加速度狀態(tài)向量，R為維度;C為將系統(tǒng)狀態(tài)和無(wú)人機(jī)目標(biāo)轉(zhuǎn)向指令相關(guān)聯(lián)的系數(shù)矩陣；zk∈Rr為測(cè)量向量；vk∈Rm和ωk∈Rr分別為過(guò)程噪聲和零均值高斯序列的測(cè)量噪聲,相應(yīng)的協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk;A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;B為系統(tǒng)噪聲系數(shù)矩陣;μk為未知轉(zhuǎn)向指令向量;f(·)為非線性函數(shù)的測(cè)量模型,并在稍后定義.

1.2 傳感器量測(cè)模型

式(1)中,f(·)取決于傳感器的類型.本文采用雷達(dá)/紅外傳感器組合形式對(duì)無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行跟蹤,其量測(cè)包括目標(biāo)距離、方位角及俯仰角信息.用于量測(cè)機(jī)器人位置的雷達(dá)/紅外傳感器設(shè)置于同一平臺(tái)上,假定兩個(gè)傳感器位于同一位置.建立三維笛卡爾坐標(biāo)下無(wú)人機(jī)與傳感器平臺(tái)的幾何關(guān)系,如圖1所示.

圖1 無(wú)人機(jī)與傳感器平臺(tái)的幾何關(guān)系Fig.1 Geometric relationship between unmanned aerial vehicle and sensor platform

(6)

(7)

考慮到以上所述,f(xk)可寫(xiě)為

(8)

1.3 狀態(tài)估計(jì)方法

狀態(tài)估計(jì)指對(duì)無(wú)人機(jī)過(guò)去的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以平滑,并對(duì)現(xiàn)在的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行濾波以預(yù)測(cè)未來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由于在目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中,偏狀態(tài)估計(jì)濾波器比有偏狀態(tài)估計(jì)更適合.采用無(wú)偏濾波器對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),其濾波器結(jié)構(gòu)具有零值平均初始條件,即

(9)

(10)

為了采用博弈論進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),將式(10)給出的估計(jì)誤差分解如下:

(11)

(12)

式中：Ke為設(shè)計(jì)常數(shù).

2 博弈論濾波算法

在獲得無(wú)人機(jī)位置信息后,引入博弈論的方法對(duì)估計(jì)位置進(jìn)行平滑,以提高位置估計(jì)精度,并實(shí)現(xiàn)目標(biāo)跟蹤.

2.1 離散零和動(dòng)態(tài)博弈

在零和博弈中,采用離散時(shí)間動(dòng)態(tài)博弈.定義成本函數(shù)為

(13)

式中:Wk為正定矩陣;N為時(shí)間范圍.

(14)

2.2 博弈解與狀態(tài)估計(jì)濾波器

式中：M為協(xié)方差權(quán)重矩陣；D為對(duì)角權(quán)重矩陣.

(17)

(18)

式中：Pk為協(xié)方差矩陣.

進(jìn)一步,假定給出了f(xk)的雅可比矩陣Ck,則可以遞歸地利用以下關(guān)系得到狀態(tài)估計(jì):

電動(dòng)汽車市場(chǎng)是我國(guó)最重要的新興產(chǎn)業(yè)之一，是交通行業(yè)發(fā)展的必然結(jié)果。目前中國(guó)電動(dòng)汽車市場(chǎng)處于萌芽階段，朝氣蓬勃，具有較大的潛力，同時(shí)具有較高的風(fēng)險(xiǎn)。但是只要采用了符合市場(chǎng)、符合消費(fèi)者偏好的商業(yè)模式，會(huì)大大降低電動(dòng)汽車行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)。

(19)

為獲得Ck,使用式(6)和式(7)的雅可比矩陣可獲得相應(yīng)測(cè)量矩陣為

(20)

綜合式(19)和式(20),獲得矩陣Ck表達(dá)式為

(21)

可以看出Ck=Jf是一個(gè)時(shí)變矩陣.

3 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于博弈論濾波的雷達(dá)/紅外定位方法對(duì)無(wú)人機(jī)位置的跟蹤效果,在Matlab/Simulink環(huán)境下,對(duì)無(wú)人機(jī)變高度飛行和恒定高度飛行進(jìn)行了跟蹤誤差仿真.

3.1 仿真設(shè)置

雷達(dá)/紅外傳感器均位于笛卡爾坐標(biāo)的原點(diǎn),采樣速率為t=1 s,雷達(dá)傳感器的測(cè)量噪聲向量是標(biāo)準(zhǔn)偏差為30 m、方位角為0.86°的零均值高斯序列,紅外傳感器測(cè)量噪聲向量是方位角和仰角均為0.57°的標(biāo)準(zhǔn)偏差,過(guò)程噪聲為0.08 m/s2的零均值高斯序列.通過(guò)100次蒙特卡洛進(jìn)行仿真測(cè)量,采用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)和累積均方根誤差(Cumulative Root Mean Square Error,CRMSE)作為位置和速度估計(jì)的性能指標(biāo),其表達(dá)式如下:

(22)

(23)

式中：K為采樣點(diǎn)數(shù)；T為采樣時(shí)間.

3.2 變高度飛行跟蹤

3.2.1標(biāo)稱噪聲干擾

假設(shè)無(wú)人機(jī)的初始位置為[3 600 3 600 0],其運(yùn)動(dòng)軌跡為1～10 s,以[-10 10 20]m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng);在10～25 s之間以恒定速度[20 20 20]運(yùn)動(dòng);在25～40 s之間的恒定加速度[2 -2 0]運(yùn)動(dòng),其后在50～60 s之間的保持速度不變.

根據(jù)無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡,對(duì)比博弈論濾波、擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波下,無(wú)人機(jī)位置和速度的均方根誤差,如圖2所示.

圖2 標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)變高度飛行跟蹤誤差Fig.2 Tracking error of unmanned acerial vehicle at variable height under nominal noise

由表1可以看出：雖然博弈論濾波能夠獲得無(wú)人機(jī)更準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果,但結(jié)果表明,所有濾波器均能以合理的精度估計(jì)三維笛卡爾坐標(biāo)系中無(wú)人機(jī)的位置和速度.3種濾波器下的位置均方根誤差分別為20.85,22.63和23.42 m,速度均方根誤差分別為8.6,11.6和11.7 m/s.

3種濾波器下無(wú)人機(jī)CRMSE和運(yùn)行時(shí)間如表1所示.可以看出,對(duì)比累積位置誤差,博弈論濾波的比擴(kuò)展卡爾曼濾波降低了6%,比容積卡爾曼濾波降低了3%.此外,博弈論濾波的累積速度誤差比另外2種濾波方法減小了9%.3種濾波方法中容積卡爾曼濾波運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng).

表1 標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)變高度CRMSE及運(yùn)行時(shí)間Tab.1 CRMSE and running time of unmanned acerial vehicle at variable height under nominal noise

3.2.2非標(biāo)稱噪聲干擾

為進(jìn)一步研究噪聲干擾對(duì)跟蹤精度的影響,采用相同的飛行路徑,設(shè)置雷達(dá)傳感器的測(cè)量噪聲向量是標(biāo)準(zhǔn)偏差為60 m、方位角為1.72°的零均值高斯序列.紅外傳感器測(cè)量噪聲向量是方位角和仰角均為1.15°的標(biāo)準(zhǔn)偏差的零均值高斯序列.獲得無(wú)人機(jī)位置和速度的均方根誤差,如圖3所示.

圖3 非標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)變高度飛行跟蹤誤差Fig.3 Tracking error of unmanned acerial vehicle at variable height under non-nominal noise interference

從圖3可以看出：3種濾波方式下位置均方根誤差分別為25.63,40.71和43.65 m,速度均方根誤差分別為16.36,32.64和32.85 m/s,表明博弈論濾波在非標(biāo)稱噪聲擾動(dòng)下的跟蹤性能同樣優(yōu)與另外兩種濾波方式.進(jìn)一步對(duì)比分析3種濾波器的累積均方根誤差,如表2所示.

表2 非標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)變高度CRMSE及運(yùn)行時(shí)間Tab.2 CRMSE and running time of unmanned acerial vehicle at variable height under non-nominal noise

由表2可以看出：與擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波相比,本文提出的博弈論濾波的位置CRMSE減少了12%,速度CRMSE減少了36%.

基于上述分析可知,當(dāng)噪聲統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)稱時(shí),擴(kuò)展卡爾曼濾波、容積卡爾曼濾波和博弈論濾波均能以合理的精度在三維笛卡爾坐標(biāo)系中估算無(wú)人機(jī)的位置、速度.但是,如果噪聲統(tǒng)計(jì)信息未知,則本文提出的博弈論濾波具有更好的跟蹤效果.

3.3 恒定高度飛行跟蹤

根據(jù)無(wú)人機(jī)的特征,很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)在恒定高度飛行,因此,有必要研究恒定高度飛行下的跟蹤效果.設(shè)定無(wú)人機(jī)的飛行軌跡為

(24)

3.3.1標(biāo)稱噪聲干擾

無(wú)人機(jī)恒定高度飛行過(guò)程中,在標(biāo)稱噪聲干擾下,其位置和速度的均方根誤差如圖4所示.

顯然,與博弈論濾波相比,擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波存在相當(dāng)大的估計(jì)誤差.博弈論濾波導(dǎo)致位置均方根誤差在8.35 m左右,而擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波的平均位置誤差分別為18.25和18.63 m(幾乎是原來(lái)的2倍或更多).3種濾波方式下的平均速度誤差分別為12.63,32.62和32.15 m/s.表3列出了3種過(guò)濾器的CRMSE和運(yùn)行時(shí)間.

由圖3(a)可以看出：博弈論濾波的位置CRMSE對(duì)于擴(kuò)展卡爾曼濾波減少了32%,對(duì)于容積卡爾曼濾波減少了26%.如前所述,容積卡爾曼濾波的運(yùn)行時(shí)間比博弈論濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波長(zhǎng).

圖4 標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)恒定高度飛行跟蹤誤差Fig.4 Flight tracking error of unmanned acerial vehicle at constant heigth under nominal noise interference

表3 標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)恒定高度CRMSE及運(yùn)行時(shí)間Tab.3 CRMSE and running time of unmanned acerial vehicle at constant height under nominal noise

3.3.2非標(biāo)稱噪聲干擾

設(shè)置雷達(dá)傳感器的測(cè)量噪聲向量為零均值高斯序列,標(biāo)準(zhǔn)偏差為60 m,方位角為1.72°,紅外傳感器的測(cè)量噪聲向量為零均值高斯序列,方位角和仰角的標(biāo)準(zhǔn)差為1.43°.模擬非標(biāo)稱噪聲干擾下的跟蹤效果,如圖5所示.

由圖5(a)可以看出：博弈論濾波產(chǎn)生的平均位置誤差在40 m左右,而擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波的平均位置誤差分別為100.35和105.74 m.由圖5(b)可以看出：博弈論濾波平均速度誤差在45.62 m/s左右,而擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波平均速度誤差分別為113.52 m/s和105.26 m/s.另外,3種濾波器的狀態(tài)估計(jì)和運(yùn)行時(shí)間測(cè)試的CRMSE如表4所示.由表4可以看出：對(duì)于擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波,博弈論濾波的CRMSE減少了46%.博弈論濾波的速度CRMSE對(duì)于擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波均減少了53%.

圖5 非標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)恒定高度飛行跟蹤誤差Fig.5 Flight tracking error of unmanned acerial vehicle at constant height under nominal noise interference

表4 標(biāo)稱噪聲干擾下無(wú)人機(jī)恒定高度CRMSE及運(yùn)行時(shí)間Tab.4 CRMSE and running time of unmanned acerial vehicle at constant height under nominal noise

4 結(jié)語(yǔ)

本文將博弈論濾波算法應(yīng)用與雷達(dá)/紅外無(wú)人機(jī)目標(biāo)跟蹤,將其描述為零和博弈,導(dǎo)出了博弈均衡點(diǎn),以獲得三維笛卡爾坐標(biāo)系中無(wú)人機(jī)位置和速度的最佳估計(jì).所提出濾波器增益可通過(guò)假設(shè)目標(biāo)的最可能未知的轉(zhuǎn)向命令來(lái)計(jì)算,使得其對(duì)目標(biāo)的轉(zhuǎn)向命令具有一定的魯棒性.通過(guò)對(duì)變高度飛行和恒定高度飛行進(jìn)行仿真,與擴(kuò)展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波相比,證明了博弈論濾波器的有效性和高精度性能.