盧治功，賀 鵬，職連杰，陳文建

(1.中電科信息產(chǎn)業(yè)有限公司，河南 鄭州450007；2.中國電子科技集團(tuán)公司 第二十七研究所，河南 鄭州450007；3.南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

引言

光學(xué)三角測(cè)量法是一種古老測(cè)量方法。二十世紀(jì)六十年代以來，隨著激光技術(shù)和光電探測(cè)器件(PSD、CCD)的快速發(fā)展，利用激光器具有光束方向性好、亮度高的特點(diǎn)形成的激光三角測(cè)量法快速發(fā)展。它具有非接觸測(cè)量、測(cè)量范圍大(亞微米～百米量級(jí))、相對(duì)測(cè)量精度高、結(jié)構(gòu)簡單、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等多種優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化、航空航天、生物醫(yī)學(xué)等國民經(jīng)濟(jì)多個(gè)領(lǐng)域。

工程應(yīng)用中雖然激光三角測(cè)量的結(jié)構(gòu)參數(shù)是確定的，但是其具體數(shù)值不具備準(zhǔn)確度量的可能性,例如物方工作距離a、像方工作距離b、發(fā)射和接收光軸夾角θ，難以找到測(cè)量基準(zhǔn)和測(cè)量方法進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量；另外其理論計(jì)算模型也是非線性的。因此激光三角測(cè)量傳感器均需要裝配完成后進(jìn)行模型標(biāo)定。本文根據(jù)激光三角測(cè)量中計(jì)算模型的實(shí)際需要，研究分析了最小二乘法多項(xiàng)式擬合三角測(cè)量計(jì)算模型方法，提出了根據(jù)最大相對(duì)擬合殘差要求、結(jié)合相關(guān)系數(shù)用于控制擬合多項(xiàng)式階數(shù)的評(píng)價(jià)方法，并通過實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 激光三角測(cè)量方法檢測(cè)原理及影響因素

1.1 激光三角測(cè)量方法檢測(cè)原理

激光三角法利用了被測(cè)物體表面對(duì)激光束的漫反射效應(yīng)，是最常用的激光測(cè)位移的方法之一。圖1分別給出單點(diǎn)式激光三角法斜射結(jié)構(gòu)[2-3][11-13]。

其測(cè)量原理是：激光器1發(fā)出光線經(jīng)透鏡2傾斜(或垂直)入射到被測(cè)物體表面3形成光斑，物體表面高度變化導(dǎo)致入射光點(diǎn)沿入射光軸移動(dòng)，光斑透過透鏡4成像在CCD光敏面5上。若光斑點(diǎn)在成像面上的位移為y，像點(diǎn)在被測(cè)面的位移Y，則有(1)式所示關(guān)系存在。

(1)

式中：a為激光束光軸和接收透鏡光軸的交點(diǎn)到透鏡前主面的距離；b為接收透鏡后主面到成像面中心點(diǎn)的距離；θ1為激光束光軸和被測(cè)面法線的夾角；θ2為成像透鏡光軸和被測(cè)面法線的夾角。當(dāng)θ1=0時(shí)，相當(dāng)于直射式三角測(cè)量，關(guān)系式變化為(2)式。

(2)

圖1 激光三角法斜射式結(jié)構(gòu)Fig.1 Laser triangulation oblique structure

在實(shí)際應(yīng)用中，一般采用激光三角法直射結(jié)構(gòu)方案。本文是研究激光三角測(cè)量的模型建立方法，用(1)式作為分析的基礎(chǔ)更具有普遍意義。

1.2 影響激光三角測(cè)量的主要因素

在實(shí)際三角測(cè)量系統(tǒng)中，存在許多影響因素，在文獻(xiàn)[1-3][11]中有詳細(xì)的分析。首先是成像系統(tǒng)誤差；二是光電傳感器、電路處理誤差；三是數(shù)據(jù)處理誤差；四是溫度、濕度等環(huán)境因素誤差；最后是被測(cè)表面引入的誤差。上述影響因素中，最后兩項(xiàng)為外部因素，取決于使用環(huán)境和被測(cè)目標(biāo)。本文主要研究測(cè)量模型的內(nèi)在問題，不考慮這兩項(xiàng)。

本文主要研究的是測(cè)量過程中的系統(tǒng)誤差消除、討論建立數(shù)據(jù)模型的方法。在激光三角測(cè)量中系統(tǒng)誤差的來源包括光學(xué)系統(tǒng)引入的誤差、CCD(PSD)定位的非線性[6]、處理電路引入的誤差。

計(jì)算(1)式是在理想情況下得到的，上述系統(tǒng)誤差在實(shí)際應(yīng)用中難以度量和消除，只有通過標(biāo)定的方法才能建立準(zhǔn)確的測(cè)量模型，消除系統(tǒng)誤差。

1.3 測(cè)量數(shù)學(xué)模型建立的依據(jù)和方法

三角測(cè)量計(jì)算公式(1)雖然在實(shí)際中不能完全通過各種參數(shù)確定，但是根據(jù)光學(xué)成像規(guī)律，在成像范圍內(nèi)物點(diǎn)位移y和像點(diǎn)位移x之間一一對(duì)應(yīng)、無尖角(極限處處存在)、無間斷點(diǎn)，因此一定存在一個(gè)光滑、連續(xù)函數(shù)y=f(x)。根據(jù)泰勒定理，任何一個(gè)光滑函數(shù)均可以展開為一個(gè)無窮多項(xiàng)式：

y=f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a0xn+…

(3)

因此，測(cè)量數(shù)學(xué)模型可以通過測(cè)量一組像點(diǎn)和對(duì)應(yīng)物點(diǎn)的數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，m)，擬合一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(x)來逼近f(x)，求得一個(gè)近似解析表達(dá)式：

y=f(x)≈Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(4)

2 最小二乘法擬合多項(xiàng)式的基本原理

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中[4]，經(jīng)常從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1，2，…，m)出發(fā)，尋求函數(shù)y=f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=p(x)。由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶有一定誤差，一般用曲線擬合的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。文獻(xiàn)[8-9][15]對(duì)數(shù)據(jù)擬合進(jìn)行了詳盡的分析。

通常根據(jù)“使偏差平方和最小”的原則來選取擬合曲線y=p(x)，這種方法稱為最小二乘法。用最小二乘法解決實(shí)際問題有兩個(gè)步驟：第一、根據(jù)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)確定p(x)所具有的形式；第二、按最小二乘法求得最小二乘解。經(jīng)常采用最小二乘曲線擬合y=p(x)具有多項(xiàng)式形式：

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n

(5)

(6)

3 建立實(shí)驗(yàn)光學(xué)系統(tǒng)及數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)計(jì)算模型的評(píng)價(jià)

首先，分析決定系數(shù)r2(相關(guān)系數(shù)r的平方)的計(jì)算方法公式(7)。

(7)

決定系數(shù)r2反映了多項(xiàng)式擬合的置信度。本文采用“3σ原則”，即置信度99.74%。

其次，分析相對(duì)最大殘差的計(jì)算方法。由于測(cè)量數(shù)據(jù)帶有一定的誤差，最小二乘擬合得到的是個(gè)總體評(píng)價(jià)，為了控制特殊點(diǎn)存在較大的偏差，引入一個(gè)相對(duì)最大殘差ε來評(píng)價(jià)擬合結(jié)果。相對(duì)最大殘差計(jì)算方法定義如下：

(8)

式中：|ym-y0|為系統(tǒng)的最大測(cè)量范圍。

一般的測(cè)量儀器給出的指標(biāo)采用相對(duì)誤差的概念，以滿量程的百分比表示。相對(duì)最大殘差與其相當(dāng)，設(shè)計(jì)者可以根據(jù)系統(tǒng)測(cè)量誤差要求選擇合適的相對(duì)最大殘差值控制多項(xiàng)式的階數(shù)，比如選擇0.1%。

3.2 數(shù)據(jù)計(jì)算模型的應(yīng)用

應(yīng)用上述數(shù)據(jù)模型的建立方法，開發(fā)了兩款激光位移傳感器，并在某工業(yè)生產(chǎn)線上得到了應(yīng)用。激光位移傳感器采用垂直入射型激光三角測(cè)量原理，光學(xué)詳細(xì)結(jié)構(gòu)及實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示。

具體光學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)及要求如表1所示。

兩款激光位移傳感器標(biāo)定用的原始數(shù)據(jù)如表2所示。

運(yùn)用最小二乘法構(gòu)建正規(guī)方程、擬合多項(xiàng)式、計(jì)算擬合結(jié)果，按照定義式，求出決定系數(shù)和相對(duì)最大殘差，結(jié)果如表3所示。

圖2 光學(xué)結(jié)構(gòu)及實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.2 Optical structure and experimental device diagram

表1 光學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

表2 實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)

表3 最終計(jì)算結(jié)果

圖3 多項(xiàng)式擬合殘差圖Fig.3 Diagram of polynomial fitting residual

從表3可以看出，基于最小二乘多項(xiàng)式擬合三角測(cè)量模型的方法可以很好地?cái)M合測(cè)量數(shù)據(jù)，在6階多項(xiàng)式擬合時(shí)，決定系數(shù)可以達(dá)到100%，最大相對(duì)殘差ε可以達(dá)到10-7量級(jí)。

同時(shí)從表3可以看出，只考慮決定系數(shù)滿足“3σ原則”時(shí)，線性擬合就可以達(dá)到要求，但是最大相對(duì)殘差ε只能達(dá)到1%；需要3階多項(xiàng)式擬合才能滿足最大相對(duì)殘差0.1%的要求。因此采用相對(duì)殘差來控制多項(xiàng)式的階數(shù)更具有實(shí)際意義。

在兩款激光位移傳感器的原始數(shù)據(jù)中，使用了7組數(shù)據(jù)擬合多項(xiàng)式模型，第4、6兩項(xiàng)數(shù)據(jù)沒有參與擬合運(yùn)算，用于驗(yàn)證模型的可靠性。從圖3可以看出30、50 mm處最大誤差0.021 mm，擬合結(jié)果滿足測(cè)量精度0.03 mm的要求，設(shè)計(jì)達(dá)到了預(yù)期的測(cè)量效果。

4 結(jié)論

本文提出的基于最小二乘多項(xiàng)式擬合三角測(cè)量模型的方法在實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算中取得了很好的效果，擬合3階多項(xiàng)式就可以達(dá)到很高的測(cè)量精度，6階多項(xiàng)式甚至可以達(dá)到10-7量級(jí)的測(cè)量精度。本文提出的運(yùn)用決定系數(shù)、最大相對(duì)殘差綜合評(píng)價(jià)擬合結(jié)果方法來控制擬合多項(xiàng)式的階數(shù)，在滿足設(shè)定測(cè)量要求的情況下，有效減少計(jì)算量。通過兩款激光位移傳感器的實(shí)際應(yīng)用，證明了本方法具備測(cè)量的準(zhǔn)確性、實(shí)際測(cè)量的可行性。