施書(shū)架

摘要：本文通過(guò)運(yùn)用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解釋學(xué)生在學(xué)習(xí)中或者網(wǎng)絡(luò)上遇到的一些所謂的“數(shù)學(xué)悖論”問(wèn)題，例如經(jīng)典的“阿基里斯追龜問(wèn)題”，網(wǎng)絡(luò)上流行的“1=2”，“1元=1分”等問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);悖論;解釋

悖論是指自相矛盾的命題，這個(gè)命題中隱含著兩個(gè)對(duì)立的結(jié)論，而這兩個(gè)結(jié)論都能自圓其說(shuō)。（1）

一、阿基里斯追龜問(wèn)題

悖論自古就有，下面舉一個(gè)大家耳熟能詳?shù)你Ｕ摗鞍⒒锼棺俘敗?，它是古希臘哲學(xué)家芝諾提出的，內(nèi)容如下：“阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，他的速度是烏龜?shù)氖?，烏龜在前?00米跑，他在后面追，但他永遠(yuǎn)也不可能追上烏龜?！?/p>

“什么？阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜？怎么可能，芝諾這個(gè)家伙的數(shù)學(xué)肯定是體育老師教的吧！”這可能是我們第一次看到這個(gè)問(wèn)題的反應(yīng)，我們肯定會(huì)想：這種問(wèn)題小學(xué)生都會(huì)做，芝諾的結(jié)論肯定是荒謬的。那么接下來(lái)我們就試著把這個(gè)問(wèn)題改造成一道小學(xué)數(shù)學(xué)里的題目吧。因?yàn)檫@個(gè)芝諾悖論的實(shí)質(zhì)是說(shuō)：如果慢跑者在快跑者前面一段距離開(kāi)始跑，那么無(wú)論快跑者跑得有多快，都無(wú)法追上前面的慢跑者。于是我們可以把它改編成一道不失其本質(zhì)的小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“甲乙賽跑，甲每秒鐘跑1米，乙每秒鐘跑2米。如果甲在乙前面100米處開(kāi)始跑，那么乙能不能追上甲？如果能，需要多長(zhǎng)時(shí)間？”這道題對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)都太簡(jiǎn)單了，答案肯定是“能”。多長(zhǎng)時(shí)間能追上呢？100÷（2-1）=100（秒），所以在他們開(kāi)跑100秒后乙追上甲。

所謂“我不同意你的觀點(diǎn)，但我誓死捍衛(wèi)你說(shuō)話的權(quán)利”，雖然我們感覺(jué)芝諾的結(jié)論不值一駁，但我們也給他一個(gè)機(jī)會(huì)看看這個(gè)詭辯派是怎么說(shuō)的吧！為了方便理解，我們就利用上面這道題的數(shù)據(jù)，將芝諾的意思闡述如下：因?yàn)榧自谝仪懊?00米，所以乙要追上甲就必須先跑到100米這個(gè)地方，需要100÷2=50秒的時(shí)間，而此時(shí)甲已經(jīng)前進(jìn)了50米;于是乙又要向前跑50米需要25秒的時(shí)間，那么同時(shí)甲還會(huì)前進(jìn)25米;當(dāng)乙再花秒跑到甲剛才的位置的時(shí)候，甲又前進(jìn)了一段距離到達(dá)了新的位置;再接下來(lái)的一次，乙需要花秒的時(shí)間到達(dá)甲剛才的位置……過(guò)程依此反復(fù)進(jìn)行，雖然乙離甲的距離越來(lái)越接近，但是乙永遠(yuǎn)也追上甲。

這么一想，芝諾講得似乎有點(diǎn)道理??！那同一個(gè)問(wèn)題用不同的方法解釋?zhuān)趺磿?huì)出現(xiàn)兩種完全不同的結(jié)論呢？我們用第一種方法算出來(lái)乙只用100秒的時(shí)間就能追上甲了，可用芝諾的方法去做“確實(shí)”永遠(yuǎn)也追不上啊，而且他的方法從邏輯上講好像也沒(méi)有問(wèn)題?。阂飞锨懊娴娜?，總要先跑到他剛才待的位置吧。那問(wèn)題出在哪里呢，這也能用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋嗎？答案是肯定的，我們來(lái)回顧第二種方法的過(guò)程，雖然芝諾將乙追甲的過(guò)程分成了無(wú)數(shù)段，但是每一段所花的時(shí)間是一定的，一共用時(shí)：

50秒+25秒+秒+秒+…

我們用乘法分配律提取100秒，將上式化為100×（++++…）。

看！“++++…”多么熟悉的式子啊，這不就是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)與形”中的知識(shí)嗎，這個(gè)算式的答案就是1，于是我們知道了即便是用芝諾的方法算，乙追上甲的時(shí)間仍然是100×1=100秒。雖然這個(gè)算式的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的，但它們的和卻是有限的。芝諾的錯(cuò)誤在于，他直觀的認(rèn)為在追擊的過(guò)程中如果段數(shù)被分成了無(wú)限份，所用的時(shí)間就是無(wú)限的，而事實(shí)并非如此。

二、“1=2”和“1元=1分”的神奇證明

咋一看，這道題好像計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題，但實(shí)際上這里的推導(dǎo)一開(kāi)始就錯(cuò)了，100分并不是等于“10分×10分”，而是等于“10×10分”。這個(gè)問(wèn)題的迷惑性在于出錯(cuò)的不是數(shù)字而是單位，在數(shù)學(xué)中“10米×10米=100平方米”等是有幾何意義的，而“10分×10分”等于什么呢？是100平方分嗎，那它的意義又是什么呢？所以，有一定小學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)的學(xué)生也知道，解決問(wèn)題時(shí)要時(shí)常注意單位的統(tǒng)一性。“100分≠10分×10分”，因?yàn)樽笥覂蛇厗挝徊灰恢隆?/span>

另外，我們認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，如果能在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引入上述“悖論”式的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，對(duì)我們的教學(xué)應(yīng)當(dāng)是有所助益的。這些問(wèn)題本身有一定的難度，又帶有一定的趣味性，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也能讓學(xué)生感受到用自己所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的快樂(lè)，是數(shù)學(xué)拓展性課程不錯(cuò)的選擇。

注釋?zhuān)?/p>

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