文/李宇潔 卿都

由于獲取點(diǎn)云數(shù)據(jù)的傳感器的快速發(fā)展，點(diǎn)云數(shù)據(jù)變得越來越多，而且也越來越容易獲取。點(diǎn)云是物體在三維空間中的一種表達(dá)方式[1]，這些點(diǎn)與二維圖像中的平面像素點(diǎn)不同，是空間中的立體像素點(diǎn)，因此這些點(diǎn)是離散的、獨(dú)立的。如今，在計(jì)算機(jī)可視化中，點(diǎn)云三維模型已經(jīng)越來越受到人們的歡迎，并逐漸成為視覺、機(jī)器人、醫(yī)學(xué)、遙感、虛擬現(xiàn)實(shí)和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)[2]等領(lǐng)域的核心工具。如機(jī)器人需要進(jìn)行物體抓取時(shí)，需要首先獲取物體在某個(gè)坐標(biāo)系中位置與姿態(tài)，因此構(gòu)建物體的自身坐標(biāo)系是非常重要的。構(gòu)建物體的自身坐標(biāo)系最簡(jiǎn)單的方法就是手動(dòng)標(biāo)注，根據(jù)物體的形狀確定物體坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以及X、Y、Z軸的方向。文獻(xiàn)[3]中使用統(tǒng)一機(jī)器人描述格式(URDF)方法，以世界坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，給出旋轉(zhuǎn)向量和平移向量確定物體自身的坐標(biāo)系。文獻(xiàn)[4]使用一種海明碼的格子圖作為視覺標(biāo)志，把這個(gè)標(biāo)志貼在物體上，然后使用攝像頭檢測(cè)視覺標(biāo)志的位置，通過Levenberg-Marquardt算法[5]求得貼在物體上的標(biāo)志在相機(jī)坐標(biāo)系中的位姿，并且可在物體表面構(gòu)建一個(gè)坐標(biāo)系。

前面介紹的方法需要人為參與，或者需要輔助標(biāo)志，不能快速、穩(wěn)定地構(gòu)建物體自身的坐標(biāo)系。本文提出了使用物體點(diǎn)云的三維模型，求得點(diǎn)云的形心坐標(biāo)、以及三個(gè)主成分方向，從而確定物體的坐標(biāo)系。

1 三維空間主成分分析

通過實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)，三維點(diǎn)云在空間中的整體分布具有一定的規(guī)律，一個(gè)物體的三維點(diǎn)云整體上能表現(xiàn)出這個(gè)物體的外形和輪廓，因此這些點(diǎn)云在X軸、Y軸、Z軸上具有一定的相關(guān)性。借鑒PCA(Principal Component Analysis)[6]主成分分析的思想，求取數(shù)據(jù)分布的主成分方向，并且每一個(gè)主成分之間是相互垂直的。PCA能實(shí)現(xiàn)從原始的空間中順序地找一組相互正交的坐標(biāo)軸，新的坐標(biāo)軸的選擇與數(shù)據(jù)本身是密切相關(guān)的。其中，第一個(gè)坐標(biāo)軸是數(shù)據(jù)分布中方差最大的方向，第二個(gè)坐標(biāo)軸是與第一個(gè)坐標(biāo)軸垂直且在該方向上的方差最大，第三個(gè)軸與第一、第二個(gè)軸組成的平面相互垂直，并且第三個(gè)軸所指的方向是方差最大的方向。三維空間主成分分析示意圖,如圖1所示，u、v、w分別是在方差從大到小的方向向量。

2 坐標(biāo)系構(gòu)建方法

圖1：三維空間主成分分析示意圖

圖2：小車點(diǎn)云圖

圖3：小車坐標(biāo)系

點(diǎn)云是物體在三維空間表現(xiàn)的一種方法，這些點(diǎn)不再是二維圖像中的平面像素點(diǎn)，而是空間中的立體像素點(diǎn)，因此這些點(diǎn)是離散的、獨(dú)立的，如圖2所示是一輛玩具小車的點(diǎn)云圖。為了便于描述點(diǎn)云物體相對(duì)于世界坐標(biāo)系的位姿，故需要求得該物體的三維幾何中心，即物體的形心，以及描述物體姿態(tài)的坐標(biāo)系。

已知點(diǎn)云集合中有N個(gè)點(diǎn)，k為某個(gè)點(diǎn)云X= (X,Y,Z)T∈R3的鄰域中包含點(diǎn)的個(gè)數(shù)，k∈N，k個(gè)點(diǎn)云代表一個(gè)物體的點(diǎn)云集合。pi=(xi,yi,zi)，pi∈N,點(diǎn)云的形心坐標(biāo)o=(o0,oy,oz,)。形心坐標(biāo)o可由（1）式求得。

為了能夠描述點(diǎn)云X的局部三維結(jié)構(gòu)，需要求出k個(gè)點(diǎn)在X,Y,Z坐標(biāo)值的協(xié)方差，如式(2)所示，可求得cov(X,X)，cov(X,Y)，cov(X,Z)，cov(Y,Y),cov(Y,Z),cov(Z,Z)，其 中cov(Y,Z)= cov(Z,Y)。

圖4：點(diǎn)云物體坐標(biāo)系

然后得到一個(gè)協(xié)方差矩陣S∈R3×3,如式（3）所示。

因?yàn)槭剑?）是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，故由對(duì)稱正定矩陣的性質(zhì)得到該矩陣的三個(gè)特征值都是大于零的，即λ1≥λ2≥λ3≥0，對(duì)應(yīng)的特征向量為V1、V2、V3。由式(1)可以求得點(diǎn)云的形心坐標(biāo)o=(ox,oy,oz,)，點(diǎn)o作為表達(dá)物體自身坐標(biāo)系的原點(diǎn)，特征向量為V1、V2、V3分別是物體自身坐標(biāo)系的方向向量，由此可確定物體自身坐標(biāo)系的原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸方向。如圖3所示是圖2中小車點(diǎn)云根據(jù)以上方法求得的坐標(biāo)系。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過本文提出的點(diǎn)云坐標(biāo)系構(gòu)建方法，可以求得點(diǎn)云物體的形心坐標(biāo)，以及坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的方向，如圖4所示。紅綠藍(lán)分別表示X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)軸，圖4a)為仙人掌形狀的物體，豎直方向?yàn)閄軸。圖4b)是一個(gè)立方體的點(diǎn)云物體，每一個(gè)坐標(biāo)軸都垂直某一個(gè)物體表面的切平面。圖4c)是一個(gè)空心的點(diǎn)云物體，求得的坐標(biāo)系能很好的反應(yīng)該物體的姿態(tài)。

4 結(jié)論

為了快速、穩(wěn)定地構(gòu)建物體自身的坐標(biāo)系，本文提出了利用主成分分析方法確定坐標(biāo)軸方向的方法。根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，同一個(gè)物體不管在任何時(shí)候或則任何姿態(tài)，求得的坐標(biāo)系都是相對(duì)不變的，能夠很穩(wěn)定地反應(yīng)物體在世界坐標(biāo)系中的姿態(tài)情況。該方法實(shí)現(xiàn)的算法運(yùn)行速度與物體點(diǎn)云個(gè)數(shù)是線性關(guān)系，即時(shí)間復(fù)雜度為Ο(n)。

該方法還有需要改進(jìn)的地方，如需要前期獲得物體的點(diǎn)云形式，當(dāng)點(diǎn)云數(shù)量過大就會(huì)影響算法的運(yùn)算速度。解決點(diǎn)云數(shù)量大的方法就是對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行下采樣，減少點(diǎn)云數(shù)量，從而加快運(yùn)算速度。