(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

機(jī)械臂因其獨(dú)特的靈活性，已在農(nóng)業(yè)采摘、安全防爆、醫(yī)療衛(wèi)生等領(lǐng)域得到了普遍的應(yīng)用，但由于機(jī)械臂是一類多輸入多輸出、存在參數(shù)不確定性、外界干擾及未建模動(dòng)態(tài)等不確定性的非線性系統(tǒng)，這些因素增加了精確控制的難度[1-2]。因此，提高機(jī)械臂控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確性有現(xiàn)實(shí)的需求。

滑模變結(jié)構(gòu)方法可以較好地克服系統(tǒng)參數(shù)變化以及外界干擾帶來的影響，實(shí)現(xiàn)對機(jī)械臂的有效控制，但其在控制過程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象會(huì)對機(jī)械臂的安全性、穩(wěn)定性、精確性產(chǎn)生較大影響，因此抖振削弱問題引起眾多學(xué)者的關(guān)注[3-5]。文獻(xiàn)[6]提出一種改進(jìn)的冪次趨近律，對其趨近性能進(jìn)行分析，有效抑制系統(tǒng)抖振，但沒有考慮摩擦與外界干擾的影響。文獻(xiàn)[7]提出一種多冪次滑模趨近律，該趨近律通過3個(gè)冪次項(xiàng)系數(shù)在系統(tǒng)趨近過程的不同階段進(jìn)行針對性調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[8]采用狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)外部的干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，利用模糊控制策略對非線性誤差反饋控制加以改進(jìn)，從而實(shí)現(xiàn)誤差反饋增益的優(yōu)化整定。文獻(xiàn)[9]對引入干擾觀測器的機(jī)械臂系統(tǒng)采用滑模反演法設(shè)計(jì)控制器，提高了跟蹤性能，但設(shè)計(jì)過程略顯復(fù)雜。

本文綜合考慮上述問題，針對存在抖振問題和外部干擾等不確定因素影響下的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，提出了一種改進(jìn)指數(shù)趨近律，并將干擾觀測器與滑?？刂撇呗韵嘟Y(jié)合。改進(jìn)趨近律可以有效削弱抖振；干擾觀測器對系統(tǒng)的不確定因素和外界干擾進(jìn)行觀測和補(bǔ)償；利用滑?？刂破鲗ξ从^測到的干擾進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制策略的有效性和優(yōu)越性。

1 機(jī)械臂數(shù)學(xué)建模

由拉格朗日運(yùn)動(dòng)學(xué)可以建立機(jī)械臂的N關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式(1)所描述的機(jī)械臂系統(tǒng)具有如下動(dòng)力學(xué)特性。

特性2 慣性矩陣M(q)是對稱正定矩陣，其逆M-1(q)存在，并且存在正數(shù)m1、m2滿足如下不等式：

m1‖x‖2≤xTM(q)x≤m2‖x‖2

由于系統(tǒng)存在外部干擾信號，在設(shè)計(jì)過程中為使觀測器能夠較好地跟蹤期望的輸入角度qd，在設(shè)計(jì)時(shí)做出如下假設(shè)：

假設(shè)1 期望角度qd及其n階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

假設(shè)2 外部干擾信號d有界且界在機(jī)械臂系統(tǒng)可承受范圍，即|d|

2 趨近律設(shè)計(jì)

由于指數(shù)趨近律具有參數(shù)可調(diào)節(jié)，趨近速度快，可在有限時(shí)間內(nèi)收斂的優(yōu)點(diǎn)，所以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

指數(shù)趨近律為

(2)

式中，k、ε均為常數(shù)；s為滑模面。

指數(shù)趨近律可以加快趨近滑模面的速度，但是由于其為帶狀，系統(tǒng)在向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，不能趨近于原點(diǎn)，而是在原點(diǎn)兩側(cè)做抖振運(yùn)動(dòng)，會(huì)對機(jī)械臂造成損傷，對系統(tǒng)的跟蹤精度造成一定影響。因此，對指數(shù)趨近律進(jìn)行了改進(jìn)，如式(3)所示：

(3)

由式(3)可以看出，式中加入了s2，在趨近運(yùn)動(dòng)的開始階段，由于離滑模面遠(yuǎn)，運(yùn)動(dòng)速度快，系統(tǒng)誤差較大，但可以快速接近滑模面；隨著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，控制器的調(diào)節(jié)，系統(tǒng)誤差將逐漸變小，s2也隨之減小，系統(tǒng)逐漸趨于平穩(wěn)，抖振有效減小。

由于式(3)中含有符號函數(shù)，符號函數(shù)實(shí)質(zhì)上是分段函數(shù)，其切換具有不連續(xù)性，控制輸出一定會(huì)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象；而飽和函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，可使輸出平滑有界。因此，在改進(jìn)控制律設(shè)計(jì)中采用雙曲正切函數(shù)來取代符號函數(shù)，雙曲正切函數(shù)為

(4)

其中，e為自然常數(shù)。

圖1為sgn(s)與tanh(s)的比較曲線，從圖中可以看出，tanh(s)連續(xù)且平滑，一次性穿越0點(diǎn)，這對趨近過程中的抖振現(xiàn)象有較好的抑制效果。

圖1 雙曲正切曲線與符號函數(shù)曲線比較

因此，改進(jìn)后的趨近律為

(5)

由于

(6)

式(6)滿足趨近律到達(dá)條件，改進(jìn)趨近律可以到達(dá)滑模面。在引入雙曲正弦函數(shù)抑制抖振的同時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤速度會(huì)有所降低，為了保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在系統(tǒng)允許的范圍內(nèi)，增大式(6)中的k值并相應(yīng)減小ε可以使趨近過程變快，同時(shí)有效削弱系統(tǒng)抖振。

3 基于干擾觀測器的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

在機(jī)械臂控制系統(tǒng)中，給定一個(gè)輸入信號qd作為期望角度，輸入期望角度qd與實(shí)際角度q作差輸出誤差信號x，將該信號輸入到滑?？刂破髦校?jīng)過滑?？刂破魈幚頃?huì)輸出一個(gè)控制力矩T0與干擾觀測器經(jīng)調(diào)整增益后輸出的力矩Td作差，產(chǎn)生最終的控制力矩T(即T=T0-Td)，將T輸入機(jī)械臂系統(tǒng)中，從而實(shí)現(xiàn)對整個(gè)系統(tǒng)的控制。

由于存在外部干擾信號d，在控制器具體設(shè)計(jì)中將其分為兩部分：一部分為可觀測部分(如系統(tǒng)摩擦)；另一部分為不可觀測部分(隨機(jī)外部干擾)。在具體設(shè)計(jì)中，可觀測的部分由干擾觀測器進(jìn)行觀測，未觀測到的部分由滑模控制器進(jìn)行補(bǔ)償，系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 基于干擾觀測器的機(jī)械臂滑?？刂瓶驁D

3.1 干擾觀測器的設(shè)計(jì)

根據(jù)機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型，采用如下干擾觀測器：

(7)

(8)

(9)

假設(shè)相對于干擾觀測器的動(dòng)態(tài)特性，干擾的變化是緩慢的，即

(10)

由式(8)、式(10)可得干擾觀測器的動(dòng)態(tài)方程為

(11)

將式(7)和式(8)代入式(11)：

(12)

綜合式(1)和式(7)，可將式(12)變?yōu)?/p>

(13)

因而得到

(14)

干擾觀測器的輸出傳輸?shù)皆鲆嬲{(diào)整模塊，將觀測到的干擾轉(zhuǎn)化成相應(yīng)輸入通道的控制量，結(jié)合式(1)可知增益調(diào)整矩陣為單位陣，則

采取干擾觀測器后，可將式(1)的數(shù)學(xué)模型變?yōu)槿缡?15)所示：

(15)

由式(15)可知，經(jīng)干擾觀測器補(bǔ)償后，外界干擾由d減小為e，有效地減小了外界干擾對系統(tǒng)的影響。

3.2 滑模面設(shè)計(jì)

假設(shè)機(jī)械臂期望關(guān)節(jié)角為qd，x=qd-q為誤差信號。設(shè)計(jì)滑模面為

(16)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)，對于任意給定的初始點(diǎn)x(0)，系統(tǒng)將穩(wěn)定運(yùn)行并在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。此外，通過設(shè)計(jì)常數(shù)矩陣B，可使控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

下面進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)。由于誤差為x=qd-q，滑模面為

(17)

將滑模面求導(dǎo)，可得

(18)

將式(15)帶入式(18)中可得

(19)

由式(5)和式(19)可得控制律為

(20)

4 仿真分析

機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為[10]：

式中，

p=[p1,p2,p3,p4,p5]=[0.29,0.076,0.087,0.304,0.087]

為了驗(yàn)證所提控制策略的正確性和有效性，分別從軌跡跟蹤、位置跟蹤誤差以及干擾觀測結(jié)果3個(gè)方面比較傳統(tǒng)滑?？刂撇呗耘c改進(jìn)趨近律的控制策略。

圖3 傳統(tǒng)滑?？刂栖壽E跟蹤曲線(無干擾觀測器)

圖4 傳統(tǒng)滑模控制軌跡跟蹤曲線(含干擾觀測器)

比較圖3、圖4曲線可以看出，兩曲線在關(guān)節(jié)1處抖振明顯，跟蹤效果差；觀察關(guān)節(jié)2處的跟蹤曲線可以看出圖4中曲線的波動(dòng)較小，可以大致跟蹤給定的軌跡，但其效果并沒有達(dá)到最優(yōu)。說明干擾觀測器有效減小外界干擾對系統(tǒng)的影響，但系統(tǒng)仍然存在抖振現(xiàn)象。

圖5 改進(jìn)趨近律的軌跡跟蹤曲線(含干擾觀測器)

對比圖4、圖5跟蹤曲線可以看出，采用改進(jìn)趨近律的滑?？刂撇呗裕P(guān)節(jié)1處抖振明顯減小，關(guān)節(jié)2處在大約0.3 s時(shí)軌跡基本重合，說明改進(jìn)趨近律可以有效減小抖振。

圖6 傳統(tǒng)滑模控制軌跡跟蹤誤差曲線(無干擾觀測器)

圖7 傳統(tǒng)滑?？刂栖壽E跟蹤誤差曲線(含干擾觀測器)

從圖6、圖7可以進(jìn)一步看出，兩圖都有較大的跟蹤誤差，當(dāng)采用干擾觀測器后，關(guān)節(jié)1在3 s以后誤差波動(dòng)逐漸平穩(wěn)，關(guān)節(jié)2的最大誤差減小到0.057 rad左右，說明干擾觀測器可以削弱外界干擾對系統(tǒng)的影響。

圖8 改進(jìn)趨近律的軌跡跟蹤誤差曲線(含干擾觀測器)

比較圖7、圖8曲線，從圖7曲線可以看出未改進(jìn)趨近律時(shí)跟蹤誤差較大，抖振幅度大，很難進(jìn)行有效跟蹤；圖8曲線可以明顯看出采用改進(jìn)控制律后，在0.6s以后，跟蹤誤差幾乎為0，跟蹤速度快且抖振小。

圖9為干擾觀測器觀測結(jié)果曲線，雖然在關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)折點(diǎn)處難以較好地跟蹤，但在關(guān)節(jié)2處可以實(shí)現(xiàn)對干擾的觀測。曲線表明采用干擾觀測器能夠快速準(zhǔn)確地估計(jì)干擾信號，從而進(jìn)一步對觀測到的干擾進(jìn)行消除，減小干擾對系統(tǒng)的影響。

5 結(jié)束語

針對多關(guān)節(jié)機(jī)械臂滑?？刂拼嬖诙墩衽c外界干擾的問題，設(shè)計(jì)了一種基于干擾觀測器的改進(jìn)趨近律的滑?？刂撇呗?。在設(shè)計(jì)控制器的過程中，趨近律可以有效減小抖振，干擾觀測器對外界可觀測的干擾進(jìn)行觀測，然后采用滑?？刂破鲗ζ溆嗟牟淮_定部分進(jìn)行補(bǔ)償，從而使系統(tǒng)輸出能跟蹤期望軌跡，保證系統(tǒng)的安全性和穩(wěn)定性。仿真分析表明，與傳統(tǒng)滑?？刂撇呗韵啾?，該策略不僅能夠減小外界干擾對系統(tǒng)的影響，而且可以有效削弱抖振，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性。