(江南大學(xué) 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122)

永磁同步電機(jī)(PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高和高效節(jié)能等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)制造[1]、國(guó)防軍事[2]、電動(dòng)汽車[3]、航空航天[4]、船舶工業(yè)[5]等領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。高性能的PMSM調(diào)速系統(tǒng)一般都需要獲得準(zhǔn)確的電機(jī)轉(zhuǎn)子速度和位置信息，可以通過加入機(jī)械傳感器直接獲取，但是由于傳感器的安裝，導(dǎo)致電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制，一些特殊場(chǎng)合無法使用，因此電機(jī)的無位置傳感器控制方法受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注[6-9]。

對(duì)于永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)，可從兩方面對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子速度和位置信息進(jìn)行估算。一是以電動(dòng)機(jī)為控制對(duì)象，利用電動(dòng)機(jī)本身的各種可測(cè)量物理量，來估算轉(zhuǎn)子速度和位置的策略，其代表性方法有基波反電動(dòng)勢(shì)檢測(cè)法[10]、定子磁鏈估算法[11]、高頻信號(hào)注入法[12-13]等。文獻(xiàn)[10]采用基波反電動(dòng)勢(shì)檢測(cè)法，利用繞組反電動(dòng)勢(shì)與永磁轉(zhuǎn)子速度的相互關(guān)系進(jìn)行估算，其原理簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)方便，但在低速時(shí)容易失效。文獻(xiàn)[12]采用高頻信號(hào)注入法，通過注入特定形式的高頻電流，從而獲得出線端的負(fù)序電流，來估算轉(zhuǎn)子的位置信息。該方法優(yōu)點(diǎn)在于調(diào)速范圍寬，但對(duì)于電機(jī)的凸極效應(yīng)過于敏感，且對(duì)于高頻信號(hào)的要求過于苛刻，增加了設(shè)計(jì)難度。另一面是將轉(zhuǎn)子速度和位置看成一個(gè)狀態(tài)變量，利用控制理論的各種方法進(jìn)行的轉(zhuǎn)子速度和位置估算策略，其主要方法是狀態(tài)觀測(cè)器法[14-15]。狀態(tài)觀測(cè)法不僅具有動(dòng)態(tài)性能好、穩(wěn)定性高的特點(diǎn)，而且狀態(tài)觀測(cè)器是一個(gè)在物理上易于實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它利用待觀測(cè)的系統(tǒng)可以量測(cè)得到的輸入和輸出信息來估算待觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以便用該組狀態(tài)變量的估計(jì)值來代替待觀測(cè)系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)變量進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)依賴性相對(duì)不高。

LPV方法是將非線性系統(tǒng)近似線性化的一種有效方法，通過在凸集內(nèi)求解Lyapunov穩(wěn)定性條件，能實(shí)現(xiàn)參數(shù)變化時(shí)的全局魯棒穩(wěn)定性。本文結(jié)合LPV線性化方法，首先獲得永磁同步電機(jī)LPV數(shù)學(xué)模型，并以Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式為基礎(chǔ)，獲得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，然后借助奇異值分解，求取永磁同步電機(jī)的LPV觀測(cè)器反饋增益，設(shè)計(jì)LPV觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)電機(jī)的速度跟蹤控制，仿真結(jié)果表明，該觀測(cè)器能夠快速準(zhǔn)確地跟蹤上電機(jī)轉(zhuǎn)速。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 永磁同步電機(jī)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)d-q參考坐標(biāo)系下定子電壓和定子磁鏈方程為

(1)

式中，ud、uq分別為d軸、q軸的定子電壓；id、iq分別為d軸、q軸的電樞電流；Ld、Lq分別為d軸、q軸的電樞電感；ψd、ψq分別為d軸、q軸的定子磁鏈；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機(jī)電角速度，有ω=pωe，其中p為電機(jī)極對(duì)數(shù)，ωe為電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度。

由式(1)可以得出：

(2)

永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)d-q參考坐標(biāo)系下電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=1.5p[(Ld-Lq)id+ψf]iq

(3)

永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

式中，Te為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩；TL為電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為電機(jī)的阻尼系數(shù)；J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

綜上可得，永磁同步電機(jī)在d-q參考坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型方程為[16]

(5)

1.2 永磁同步電機(jī)LPV數(shù)學(xué)模型

選取轉(zhuǎn)子角速度ω為調(diào)度變量，選取狀態(tài)變量x=[id,iq,ω]T，控制輸入u=[ud,uq,TL]T，在表貼式永磁同步電機(jī)中Ld=Lq，則永磁同步電機(jī)的LPV凸多胞形模型可以表示為

(6)

其中，

如果轉(zhuǎn)子角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權(quán)重比系數(shù)，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調(diào)度變量ω的取值邊界為L(zhǎng)PV凸多胞形頂點(diǎn)的PMSM的LPV模型可寫為

(7)

其中，

2 LPV觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮以下LPV系統(tǒng)：

(8)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統(tǒng)的控制輸入和控制輸出；θ為調(diào)度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統(tǒng)矩陣。

假定系統(tǒng)矩陣均在凸集Ω內(nèi)變化，即：

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]},k≥0

(9)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)量不可直接獲取時(shí)，可以選擇以下形式的狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)其狀態(tài)向量：

(10)

圖1為狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖，利用原系矩陣A(θ)、B、C，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)信息的重構(gòu)，并通過增益矩陣L(θ)調(diào)節(jié)輸出誤差，使得觀測(cè)系統(tǒng)與原系統(tǒng)的逐步逼近。

圖1 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖

根據(jù)式(8)和式(10)，則系統(tǒng)的狀態(tài)誤差的動(dòng)態(tài)方程可以描述為

(11)

因此，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)尋找能夠使系統(tǒng)(11)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定收斂于零的參數(shù)L(θ)的問題。

定理1 對(duì)于給定的正可調(diào)參數(shù)γ∈R，如果存在對(duì)稱的正定矩陣P(θ)、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個(gè)正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[17-18]：

P(θ)=PT(θ)，ε>0

(12)

(13)

其中,

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AT(θ)P(θ)-Y(θ)C-CTY(θ)+εγI

則設(shè)計(jì)的LPV觀測(cè)器能夠確保觀測(cè)矩陣A(θ)-L(θ)C穩(wěn)定，同時(shí)具有較快的估計(jì)速度和估計(jì)精度。其中，* 表示矩陣對(duì)稱，從而得到LPV觀測(cè)器增益為

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(14)

證明:根據(jù)式(10)中狀態(tài)誤差表達(dá)式，結(jié)合式(8)，并對(duì)其求導(dǎo)可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(15)

考慮誤差擾動(dòng)φ，式(15)可重寫為

(16)

(17)

將式(16)帶入式(17)，有：

(18)

引理1[19]如果存在適維矩陣M、N和不確定矩陣F，以及正定標(biāo)量ε，且對(duì)于F有FFT≤I，則

(MFN)T+MFN≤ε-1MMT+εNTN

(19)

令φ=γex，γ是正可調(diào)參數(shù)，使用引理1，不等式

(20)

等價(jià)于：

(21)

其中ε>0。

則只要：

AT(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-
P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(22)

3 仿真分析

針對(duì)永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)LPV觀測(cè)器，其觀測(cè)器模型為

(23)

以永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速范圍邊界為工作點(diǎn)的觀測(cè)器LPV頂點(diǎn)模型為

(24)

式中，L1、L2分別為凸多胞頂點(diǎn)ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測(cè)器反饋增益矩陣，ρ1、ρ2表達(dá)式為

永磁同步電機(jī)參數(shù)表如表1所示，根據(jù)表1參數(shù)，帶入式(24)，利用定理1中的不等式條件式(12)和式(13)，分別求得電機(jī)工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)設(shè)置

仿真選取期望轉(zhuǎn)速n=1000 r/min，在t=0.25 s時(shí)跳變?yōu)閚=-1000 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩初始值為1 N·m，在t=0.1 s時(shí)跳變?yōu)? N·m，仿真時(shí)長(zhǎng)0.4 s，并在工作點(diǎn)處設(shè)計(jì)線性觀測(cè)器進(jìn)行比較，對(duì)兩種方法觀測(cè)到的跟蹤曲線進(jìn)行比較分析。其仿真系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 仿真系統(tǒng)框圖

圖3、圖4分別為所設(shè)計(jì)無LPV結(jié)構(gòu)的線性觀測(cè)器的轉(zhuǎn)速跟蹤曲線和誤差曲線，圖5、圖6分別為L(zhǎng)PV觀測(cè)器的轉(zhuǎn)速跟蹤曲線和誤差曲線。

圖3 無LPV結(jié)構(gòu)觀測(cè)器轉(zhuǎn)速跟蹤曲線

圖4 無LPV結(jié)構(gòu)觀測(cè)器轉(zhuǎn)速跟蹤誤差曲線

圖5 LPV觀測(cè)器轉(zhuǎn)速跟蹤曲線

圖6 LPV觀測(cè)器轉(zhuǎn)速跟蹤誤差曲線

由圖3、圖4可以看出，無LPV結(jié)構(gòu)的觀測(cè)器在負(fù)載擾動(dòng)變化時(shí)，觀測(cè)轉(zhuǎn)速誤差峰峰值在4 r/min左右，轉(zhuǎn)速變化時(shí)轉(zhuǎn)速誤差峰峰值可達(dá)10 r/min以上，能較為準(zhǔn)確地觀測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速信息，且恢復(fù)穩(wěn)定時(shí)間較長(zhǎng)。由圖5、圖6可以看出，所設(shè)計(jì)LPV觀測(cè)器觀測(cè)到的轉(zhuǎn)速在負(fù)載擾動(dòng)變化時(shí)轉(zhuǎn)速誤差峰峰值僅在1 r/min，轉(zhuǎn)速變化時(shí)轉(zhuǎn)速誤差峰峰值在4 r/min以內(nèi)，不僅觀測(cè)誤差小，而且在負(fù)載變化和轉(zhuǎn)速變化時(shí)也能快速跟蹤上實(shí)際轉(zhuǎn)速，且超調(diào)小。通過圖7兩種方法的觀測(cè)誤差比較，更能直觀地看出所設(shè)計(jì)LPV觀測(cè)器在t=0.1 s轉(zhuǎn)矩變化和t=0.25 s轉(zhuǎn)速變化時(shí)依然保持對(duì)轉(zhuǎn)速的高精度跟蹤，且調(diào)節(jié)時(shí)間短，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

圖7 轉(zhuǎn)速跟蹤誤差對(duì)比曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)永磁同步電機(jī)無速度傳感器矢量控制，提出了一種基于LPV結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。所提出的基于LPV模型的觀測(cè)器相對(duì)于傳統(tǒng)觀測(cè)器而言，有效解決了系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，提高了抗負(fù)載擾動(dòng)能力，且通過仿真結(jié)果表明，該觀測(cè)器在負(fù)載擾動(dòng)變化、轉(zhuǎn)速變化時(shí)依然能保持系統(tǒng)魯棒性，可快速、準(zhǔn)確地觀測(cè)出系統(tǒng)轉(zhuǎn)速信息。