張芯陽

摘 要：量子隧穿是指微觀粒子具有一定概率穿透高能量勢壘的現(xiàn)象，這是量子力學有別于經(jīng)典力學的重要成果之一，在解釋微觀現(xiàn)象和進行微觀層面的操作中都具有重要的意義。本文主要通過求解一維階梯勢壘中的薛定諤方程，來獲得微觀粒子波函數(shù)的定量表達式，進而推導出粒子隧穿到勢壘內(nèi)部的特定深度的概率。在此基礎上，將其應用于常見的電子器件材料的等效勢壘中，從而估算電子元器件內(nèi)部絕緣層的極限厚度，為半導體集成電路的最小制程提供量級上的參考。

關(guān)鍵詞：量子隧穿;薛定諤方程;階梯勢壘;隧穿深度

中圖分類號：TN301 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）14-0201-02

20世紀是一個變革的世紀，物理學經(jīng)歷了從宏觀到微觀，從低速到高速的轉(zhuǎn)化，實驗現(xiàn)象與既有理論矛盾重重，物理學大廈搖搖欲墜，直到相對論和量子力學橫空出世。作為現(xiàn)代物理學兩大理論基礎的量子力學，改變了人類看到世界的方式，從宏觀確定性向微觀的不確定性轉(zhuǎn)變，在其誕生之后的近百年的時間里，引起了不計其數(shù)的應用革命，包括激光技術(shù)、納米科技、半導體產(chǎn)業(yè)等。而如今深刻影響人們工作生活的智能手機，個人計算機，大型服務器，都是量子力學應用的產(chǎn)物，作為其核心結(jié)構(gòu)的半導體芯片，就是基于量子力學對固體電子結(jié)構(gòu)的分析才得以實現(xiàn)。本文主要討論的是量子力學中的量子隧穿問題，通過一維階梯勢壘模型，給出隧穿效應的圖像，即當微觀粒子的動能效應勢壘高度的時候，粒子依然具有一定的概率穿透到勢壘內(nèi)部?；谶@個模型，計算電子穿透深度來進一步分析隧穿效應在半導體芯片中可能帶來的影響。

1 微觀粒子的運動方程

觀察方程的解，可以看到在x>0區(qū)域波函數(shù)不為零，這說明了粒子具有一定的概率出現(xiàn)在這一區(qū)域，這個經(jīng)典力學的結(jié)論是截然不同的，在牛頓力學的理論中，由于粒子的動能小于勢能，遇到勢壘時由于能量守恒，動能不斷轉(zhuǎn)化為勢能，當動能為零時仍然沒有到達勢壘頂點，只能沿著原路徑返回，類似于反射的情況;但是量子力學給出的結(jié)論是，粒子依然會穿過勢壘，只不過概率以指數(shù)的形式衰減。

為了定量地分析這個過程，我們引入隧穿系數(shù)的概念，定義勢壘深度x處的粒子出現(xiàn)概率和勢壘界面處粒子出現(xiàn)的概率的比值為粒子穿透到x處的穿透系數(shù)，本質(zhì)上反映的是隧穿的百分比?？梢院唵蔚玫剿泶┫禂?shù)為。

3 半導體器件中的量子隧穿效應

半導體器件的原理都是利用半導體晶體管實現(xiàn)一個比特的儲存和操作，其基本的結(jié)構(gòu)如圖所示，源極和漏極都是半導體材料，其導電性通過柵極控制。改變柵極的電壓，可以改變柵極包覆的半導體材料的導電性，進而控制源極和漏極之間的通斷。而整個基底材料和柵極之間由絕緣層隔開，保證二者不會漏電導致晶體管邏輯錯誤。

這個原理在經(jīng)典物理的范疇內(nèi)并不會出錯，但是如果考慮量子力學的效應，就可能會產(chǎn)生錯誤，比如說柵極的電子如果通過量子隧穿透過絕緣層直接到達基底材料形成電流通路，絕緣層將形同虛設。接下來我們將基于之前的理論模型分析量子隧穿效應對此的影響（見圖1）。

為了定量分析由于量子隧穿導致的絕緣層漏電問題，首先要弄清楚絕緣與導電在微觀層面的區(qū)別。在這里需要引入能帶這一概念，在晶體中運動的電子占據(jù)的能量并非是任意，而是形成許多個不同的能區(qū)，能區(qū)由十分密集的能級組成，稱為能帶，能帶與能帶間存在有禁區(qū)，稱為禁帶。若一個能帶中，所有部分都被電子填滿，稱為滿帶。不與其他空的能帶重疊的滿帶，電子在外電場作用下不出現(xiàn)電流，沒有導電作用。若能帶只填入部分電子。這些電子在外電場中的運動將產(chǎn)生電流，稱為導帶。對于絕緣體而言，其電子占據(jù)的能量最高的能帶是滿帶，在電場驅(qū)動下不能產(chǎn)生電流，除非電子躍遷到未被電子占據(jù)的更高的能帶上去，而這一過程，可以用電子隧穿勢壘的模型來描述。我們可以將禁帶的寬度作為電子運動中遇到的勢壘和其動能的差值，按照量子隧穿的模型，電子有可能穿透到勢壘的內(nèi)部，如果這個勢壘的寬度小于電子深入勢壘的有效距離，那么就可以認為電子穿透了整個勢壘，此時絕緣體不再絕緣。

在這里，我們選取常見的半導體材料作為分析的對象，定義電子隧穿系數(shù)為0.001的位置作為電子的穿透深度，帶入隧穿系數(shù)為的公式中，反解可以得到電子在常見半導體材料制作的絕緣層中的穿透深度如表1。

可以看到，對于常見的半導體材料，隧穿深度都在納米的量級，也就是說，基于半導體材料的集成電路芯片，一旦制造尺度達到納米量級，量子隧穿效應將會導致絕緣層漏電，電路發(fā)生邏輯錯誤。作為微觀世界的基本現(xiàn)象，經(jīng)典電路無法克服這一點，即使改進工藝和材料，也只能暫時避免隧穿電流的影響，一旦進一步減小晶體管尺寸，總會有無法繞開量子隧穿的時候。此時，也只能放棄經(jīng)典電路的工作方式，基于量子力學原理來設計電路，才能進一步地發(fā)展下去。

4 總結(jié)與展望

本課題從量子力學的基本運動方程，薛定諤方程出發(fā)，利用階梯勢壘地簡單模型，計算了量子隧穿的隧穿系數(shù)，并且將之應用于半導體材料當中，以此計算半導體晶體管能夠避免量子隧穿的影響，保持正常工作的最小尺寸，結(jié)果表明常見的半導體材料中，電子發(fā)生量子隧穿的深度在納米量級，一旦晶體管尺寸接近這個量級，隧穿效應導致的漏電將不可避免。

當然，本文在分析的過程中為了突出主要的物理圖像而簡化了細節(jié)，模型精細程度不夠，存在很多需要改進的地方，比如利用階梯勢壘作為電子遇到絕緣層的近似模型與現(xiàn)實情況存在一定差異;再者電子在材料當中的運動情況非常復雜，自由電子近似也不能精確描述這一過程;同時，半導體材料的能帶特征對溫度有很強的依賴關(guān)系，這一點在本文的計算中沒有詳細討論。這些都值得進一步的探究。

參考文獻

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程，量子物理.第2版[M].高等教育出版社，2008.

[2] 劉恩科.半導體物理學（第7版）[M].電子工業(yè)出版社，2011.