李成

基于MNLD準(zhǔn)則平面應(yīng)變條件下土體的強(qiáng)度特性描述

李成

(中鐵建大橋工程局集團(tuán) 第一工程有限公司，遼寧 大連 116000)

為探究平面應(yīng)變條件下巖土材料的強(qiáng)度特性規(guī)律，假定巖土介質(zhì)材料服從理想彈塑性假定條件，嚴(yán)格按照平面應(yīng)變約束條件，基于能夠準(zhǔn)確描述三維土體強(qiáng)度特性的MNLD準(zhǔn)則，根據(jù)中主應(yīng)力方向的應(yīng)變嚴(yán)格為零條件，推導(dǎo)得到一個(gè)反映土體在平面應(yīng)變條件下的強(qiáng)度準(zhǔn)則公式，通過(guò)分析比較偏平面上MNLD準(zhǔn)則以及廣泛使用的摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)MNLD準(zhǔn)則不存在奇異點(diǎn)，另外MNLD準(zhǔn)則可以反映靜水壓力效應(yīng)。通過(guò)與試驗(yàn)點(diǎn)的比較，表明該強(qiáng)度準(zhǔn)則在平面應(yīng)變條件下公式具備合理性及適用性。

平面應(yīng)變；強(qiáng)度；靜水壓力

自然界以及工程界中的土體經(jīng)常處于平面應(yīng)變狀態(tài)中，比如用于攔截水道的土石壩，公路及鐵路路基，沿公路兩側(cè)分布的擋墻墻后填土等，上述約束條件下的土體都處于平面應(yīng)變狀態(tài)。由于在2個(gè)方向幾何尺寸相當(dāng)，而另一個(gè)方向上尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其余2個(gè)方向的尺寸，土體沿著長(zhǎng)軸方向的變形為0。土體在特殊約束條件下的強(qiáng)度特性，以及與其他路徑下的強(qiáng)度指標(biāo)的關(guān)系均有待研究。在土工試驗(yàn)中，常規(guī)三軸壓縮以及直剪等試驗(yàn)思路明確且操作簡(jiǎn)單易行，因而可方便得到上述加載路徑下的強(qiáng)度指標(biāo)。然而，常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)得到的強(qiáng)度結(jié)果對(duì)應(yīng)的是中主應(yīng)力與小主應(yīng)力相等的特殊條件下的強(qiáng)度值，而直剪試驗(yàn)得到的指標(biāo)，由于試樣在剪切過(guò)程中，存在著主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)等特殊路徑，因而其強(qiáng)度指標(biāo)是經(jīng)歷了一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的應(yīng)力路徑得到的，由于應(yīng)力路徑復(fù)雜，得到的最終指標(biāo)很難應(yīng)用于實(shí)際工程中。現(xiàn)存的強(qiáng)度準(zhǔn)則中最為廣泛使用的是摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則[1]，該準(zhǔn)則只考慮大小主應(yīng)力的關(guān)系，而忽略了中主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度值的貢獻(xiàn)以及影響特點(diǎn)。因而，在處理平面應(yīng)變這種應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題時(shí)，實(shí)際上中主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度有正向貢獻(xiàn)，而使用摩爾庫(kù)倫往往會(huì)得到偏小的結(jié)果，就是低估了實(shí)際土體的強(qiáng)度潛力。這往往會(huì)得到偏于保守的結(jié)果。Lade準(zhǔn)則[2]與SMP準(zhǔn)則[3]都是針對(duì)三維土體破壞特性所提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則，都能描述土體在真三軸條件下的土體破壞規(guī)律，然而，由于SMP準(zhǔn)則是基于土體為摩擦材料這一基本假設(shè)，因而該準(zhǔn)則較為適用于砂土等離散型材料。而Lade準(zhǔn)則更適用于黏土以及具有一定黏聚力特點(diǎn)的巖土材料。近年來(lái)Mortara提出的MNLD準(zhǔn)則[4]，則采用了Lade準(zhǔn)則與SMP準(zhǔn)則的冪次參數(shù)的插值形式。該準(zhǔn)則既能退化為L(zhǎng)ade準(zhǔn)則，也能退化為SMP準(zhǔn)則，還能逼近廣義Mises準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則能夠廣泛地用于描述從零摩擦性材料到零凝聚性材料，既能應(yīng)用于描述金屬材料也能用于描述砂粒等離散型材料的強(qiáng)度特性，因而MNLD準(zhǔn)則是一種適用性強(qiáng)和適用范圍廣的強(qiáng)度準(zhǔn)則。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于巖土的強(qiáng)度特性研究頗多，提出了諸多強(qiáng)度準(zhǔn)則[5?11]，然而從簡(jiǎn)單性以及實(shí)用性來(lái)考量，能得到廣泛應(yīng)用的并不多。對(duì)于巖土材料在平面應(yīng)變條件下的強(qiáng)度特性，仍然有待進(jìn)一步研究，以期得到更為實(shí)用、簡(jiǎn)單的準(zhǔn)則。在Matsuoka以及Nakai等提出SMP準(zhǔn)則后，由Satake根據(jù)該準(zhǔn)則以及相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，得到了在平面應(yīng)變條件下的主應(yīng)力關(guān)系[12]，即2=(13)0.5，而類(lèi)似的仿照SMP的推導(dǎo)思路，也可得到關(guān)于平面應(yīng)變條件下的Lade準(zhǔn)則的主應(yīng)力關(guān)系，即

顯然，由于MNLD準(zhǔn)則是一種能廣泛描述黏土、砂土、巖石以及混凝土等材料的廣義強(qiáng)度準(zhǔn)則，因而根據(jù)該準(zhǔn)則表達(dá)式在平面應(yīng)變條件以及相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的假設(shè)下，可以推導(dǎo)得到平面應(yīng)變條件下的MNLD準(zhǔn)則公式，并基于室內(nèi)常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)得到常用內(nèi)摩擦角參數(shù)，建立該參數(shù)與平面應(yīng)變條件下內(nèi)摩擦角之間的簡(jiǎn)單關(guān)系式，便于以后進(jìn)一步的學(xué)術(shù)研究以及工程應(yīng)用。

1 MNLD準(zhǔn)則簡(jiǎn)介

MNLD準(zhǔn)則最早由意大利學(xué)者M(jìn)ortara所提出的，對(duì)于SMP準(zhǔn)則以及Lade準(zhǔn)則，由于采用主應(yīng)力不變量形式進(jìn)行表達(dá)，觀察上述2種強(qiáng)度準(zhǔn)則的相似表達(dá)公式，通過(guò)巧妙的在冪次上設(shè)入了一個(gè)參數(shù)，便在偏平面上得到了一個(gè)非線性的廣義強(qiáng)度準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則可以表示為如下公式：

式中：1為第一應(yīng)力張量不變量，而3為第三應(yīng)力張量不變量，其中，為參數(shù)，而為一個(gè)常數(shù)。顯然，當(dāng)=1時(shí)，則式(1)退化為SMP準(zhǔn)則公式，當(dāng)=3時(shí)，則式(1)退化為L(zhǎng)ade準(zhǔn)則公式。

當(dāng)退化為上述2種常用的強(qiáng)度準(zhǔn)則公式時(shí)，常數(shù)可由三軸壓縮狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角來(lái)表達(dá)。而式(1)中的常數(shù)則不僅與內(nèi)摩擦角有關(guān)，而且還與參數(shù)有關(guān)，因此通過(guò)常規(guī)三軸壓縮應(yīng)力路徑的強(qiáng)度關(guān)系，可以得到如下公式來(lái)表達(dá)常數(shù)的關(guān)系。

由于參數(shù)直接影響偏平面上強(qiáng)度準(zhǔn)則曲線的“胖瘦”形狀，因而參數(shù)可通過(guò)式(3)和式(4)來(lái) 確定。

式中：c表示常規(guī)三軸壓縮下的應(yīng)力比強(qiáng)度值；表示常規(guī)三軸伸長(zhǎng)偏應(yīng)力強(qiáng)度值與常規(guī)三軸壓縮偏應(yīng)力強(qiáng)度值之比。

圖1 內(nèi)摩擦角φ=30°時(shí)MNLD準(zhǔn)則的偏平面形狀曲線

由圖1可見(jiàn)，MNLD準(zhǔn)則在偏平面上為光滑的曲邊三角形，在應(yīng)力羅德角=0°，120°和240°時(shí)都是連續(xù)且光滑過(guò)渡的曲線，不存在類(lèi)似摩爾?庫(kù)倫準(zhǔn)則的折線產(chǎn)生的奇異點(diǎn)問(wèn)題，奇異點(diǎn)主要的問(wèn)題在于，當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到奇異點(diǎn)時(shí)，此時(shí)若采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，則塑性應(yīng)變方向存在不唯一問(wèn)題，難以確定。而MNLD準(zhǔn)則的曲線為光滑曲線，不存在上述的問(wèn)題。

式(1)中的等式右端為常數(shù)，表示的是在子午面上的部分為直線，然而大量的試驗(yàn)結(jié)果表明，巖土材料具有典型的靜壓壓力效應(yīng)，即偏應(yīng)力強(qiáng)度受到球應(yīng)力的影響。因此，為了能夠描述靜水壓力效應(yīng)，通常將式(1)擴(kuò)展為如下公式：

由圖2可知，在子午面上的強(qiáng)度曲線為曲線形態(tài)，表明隨著球應(yīng)力p的增加，偏應(yīng)力強(qiáng)度值不再按照比例增加，而是按照曲線形態(tài)變化，且隨著參數(shù)c1的增大，偏應(yīng)力強(qiáng)度曲線的斜率逐漸減小，表明增加速率在減小。

2 基于MNLD準(zhǔn)則的平面應(yīng)變條件下的主應(yīng)力關(guān)系

假設(shè)材料服從理想彈塑性假定，顯然當(dāng)進(jìn)入塑性狀態(tài)后，則彈性應(yīng)變?cè)隽繛?，而此時(shí)塑性狀態(tài)的應(yīng)力與強(qiáng)度應(yīng)力狀態(tài)相同，因而，屈服面公式可用式(6)來(lái)表達(dá)。

由塑性流動(dòng)相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則可知，塑性勢(shì)面與屈服面完全相同，因而，中主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的塑性應(yīng)變?cè)隽靠杀硎緸椋?/p>

對(duì)式(6)進(jìn)行全微分，求取屈服面沿中主應(yīng)力的方向分量，可得：

將式(8)展開(kāi)可得到：

將式(9)代入到式(7)，并結(jié)合中主應(yīng)力方向的塑性應(yīng)變?cè)隽繛?這一條件，可得到：

將1，2和3分別表示為主應(yīng)力變量，將其代入式(10)中，并化簡(jiǎn)最終可得到如下公式：

式(11)即為基于MNLD強(qiáng)度準(zhǔn)則平面應(yīng)變下的主應(yīng)力關(guān)系。由式(11)可見(jiàn)，中主應(yīng)力可由大小主應(yīng)力的顯示公式來(lái)表達(dá)。

分析式(11)，顯然當(dāng)參數(shù)=1時(shí)，則式(11)退化為式(12)：

式(12)即為Satake所提出的反映SMP準(zhǔn)則的平面應(yīng)變條件下主應(yīng)力關(guān)系式。

當(dāng)參數(shù)=3時(shí)，則式(11)退化為如下公式：

式(13)即為L(zhǎng)ade準(zhǔn)則的平面應(yīng)變條件下的主應(yīng)力關(guān)系式。

3 基于MNLD準(zhǔn)則的平面應(yīng)變條件下的強(qiáng)度關(guān)系

上節(jié)基于MNLD準(zhǔn)則以及平面應(yīng)變條件得到了3個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系式，下面基于該主應(yīng)力關(guān)系式導(dǎo)出平面應(yīng)變條件下的強(qiáng)度式。

由于中主應(yīng)力滿足式(11)這一硬性條件，且同時(shí)需滿足MNLD準(zhǔn)則公式，因此，將式(11)代入到式(1)中，并聯(lián)立式(2)，且令大小主應(yīng)力之比為p，則可最終得到式(14)：

其中：1，2和3均為過(guò)程變量，可用如下公式來(lái)表達(dá)。

其中：t為對(duì)應(yīng)常規(guī)三軸壓縮條件下的內(nèi)摩擦角值，再根據(jù)大小主應(yīng)力之比p與平面應(yīng)變條件下內(nèi)摩擦角p的關(guān)系式，可以得到如下關(guān)系式：

將式(18)與式(14)聯(lián)立即可得到常規(guī)三軸壓縮條件下內(nèi)摩擦角t與平面應(yīng)變條件下內(nèi)摩擦角p的關(guān)系式。

圖3 MNLD下準(zhǔn)則三軸壓縮與平面應(yīng)變條件下2內(nèi)摩擦角正弦值的關(guān)系

圖4 MNLD準(zhǔn)則三軸壓縮與平面應(yīng)變條件下2內(nèi)摩擦角的關(guān)系

圖3中曲線為對(duì)應(yīng)三軸壓縮以及平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角正弦值之間的關(guān)系曲線，而圖4則表示為三軸壓縮以及平面應(yīng)變下內(nèi)摩擦角之間的關(guān)系曲線。由圖4可見(jiàn)，圖中虛線表示t與p的等值線，即表示兩者相等。由下向上，則依次分別為=1，2，3，4，5和100時(shí)的關(guān)系曲線，顯然當(dāng)值越大，則此時(shí)p的值就越大。觀察圖4可得到如下3條規(guī)律：1) 無(wú)論值為何值，p都隨著t的增大呈現(xiàn)單調(diào)增大的規(guī)律，最后當(dāng)t=90°時(shí)，則兩者趨于相等；2) 隨著值的逐漸增大，p與t關(guān)系曲線呈現(xiàn)出先上凹后上凸的形狀特點(diǎn)，即曲線的斜率出現(xiàn)先增大后減小的特點(diǎn)，在斜率變化率為0時(shí)，即對(duì)應(yīng)為曲線的拐點(diǎn)，顯然拐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的是(p?t)的最大值。3) 如圖4所示，當(dāng)=1時(shí)，準(zhǔn)則為SMP準(zhǔn)則，而當(dāng)=3時(shí)，準(zhǔn)則為L(zhǎng)D準(zhǔn)則，而當(dāng)=100時(shí)，會(huì)得到更大的(p?t)值。顯然，隨著值的增大，摩擦性效應(yīng)逐漸減小，而凝聚性效應(yīng)逐漸增大，對(duì)于具有一定凝聚性效應(yīng)的黏土，較大的值更為合適。

4 基于MNLD準(zhǔn)則的平面應(yīng)變條件強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)公式

顯然由于巖土材料三軸壓縮內(nèi)摩擦角多集中于20°~40°范圍段，因而重點(diǎn)研究該范圍段的平面應(yīng)變強(qiáng)度內(nèi)摩擦角的放大關(guān)系最有價(jià)值。觀察圖4中位于上述范圍內(nèi)的t角，可發(fā)現(xiàn)此時(shí)的曲線近似為直線關(guān)系，建議平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角表達(dá)為三軸壓縮內(nèi)摩擦角的線性關(guān)系式，可表示為：

由此可量測(cè)圖4中對(duì)應(yīng)不同值下p與t關(guān)系曲線的斜率，即可得到如下一個(gè)列表。

表1 有效摩擦角范圍內(nèi)的放大系數(shù)

根據(jù)上述量測(cè)數(shù)據(jù)，即可擬合得到一條-的關(guān)系曲線。其中，放大系數(shù)可表示為MNLD準(zhǔn)則的參數(shù)的關(guān)系式。

圖5中6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)=1，2，3，4，5和100時(shí)，平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角值相對(duì)于三軸壓縮摩擦角強(qiáng)度值的放大系數(shù)，將其按照?qǐng)D4來(lái)提取出來(lái)，則按照?qǐng)D5中擬合曲線，可得到參數(shù)與放大系數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可見(jiàn)，隨著值的增大，最終放大曲線接近一個(gè)最終值，趨于一個(gè)極限值。6 基于MNLD準(zhǔn)則平面應(yīng)變強(qiáng)度試驗(yàn)驗(yàn)證

圖6 MNLD準(zhǔn)則平面應(yīng)變強(qiáng)度預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖1

圖6中離散點(diǎn)為選用Matsuoka等開(kāi)展的黏土的平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角的測(cè)試數(shù)據(jù)，圖中黑色實(shí)線表示基于本文所建議的公式預(yù)測(cè)的結(jié)果，黑色虛線表示p與t的兩者的等值線。由圖6可見(jiàn)，采用本文建議的強(qiáng)度曲線可以較為準(zhǔn)確的描述平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角的放大效應(yīng)。

圖7中離散點(diǎn)為分別選用Lade、Ramamurthy、Nagaraj和Kimata等人的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。由圖7可見(jiàn)，采用本文建議的強(qiáng)度曲線也可以較為準(zhǔn)確的描述平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角的放大效應(yīng)。

圖7 MNLD準(zhǔn)則平面應(yīng)變強(qiáng)度預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖2

5 結(jié)論

1) 基于已提出的MNLD強(qiáng)度準(zhǔn)則，在平面應(yīng)變條件以及相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的假定下，推導(dǎo)得到了平面應(yīng)變下主應(yīng)力之間的關(guān)系式，并根據(jù)上述主應(yīng)力的關(guān)系，進(jìn)一步推導(dǎo)得到了平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角與常規(guī)三軸壓縮內(nèi)摩擦角之間的關(guān)系式。

2) 基于典型試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比結(jié)果，在常規(guī)三軸壓縮內(nèi)摩擦角20°~40°范圍內(nèi)，通過(guò)分析不同值條件下，平面應(yīng)變內(nèi)摩擦角對(duì)常規(guī)三軸壓縮內(nèi)摩擦角值的放大效應(yīng)，擬合得到了經(jīng)驗(yàn)放大系數(shù)，并得到了上述2種強(qiáng)度指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)公式。

3) 利用上述得到的建議公式進(jìn)行計(jì)算，采用部分土的強(qiáng)度測(cè)試結(jié)果值進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)比，由對(duì)比結(jié)果可知，采用所建議的強(qiáng)度公式較好的符合試驗(yàn) 結(jié)果。

對(duì)于實(shí)際工程中廣泛存在的如土石壩、擋土墻、路基等平面應(yīng)變條件下的土體材料，利用所建議的公式具有較好的推廣意義與實(shí)用價(jià)值。

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Description of strength characteristics of soil under plane strain condition based on MNLD criterion

LI Cheng

(China Railway Construction Bridge Engineering Bureau Group 1st Engineering Co. Ltd, Dalian 116000, China)

In order to explore the strength characteristics of rock-soil materials under plane strain, it was assumed that rock-soil medium materials obey the ideal elastic-plastic assumption. According to the ideal elastic-plastic assumptions, in strict accordance with the constraints of plane strain condition, based on the MNLD criterion that could accurately describe the three-dimensional strength characteristics of soil, according to the strict conditions that direction of intermediate principal strain being zero, a strength criterion formula of soil under the plane strain condition was deduced. Through the analysis and comparison MNLD criterion and Mohr coulomb criteria widely were used in partial plane, there was no singular point found in MNLD criterion. In addition, MNLD criterion could reflect the effect of hydrostatic pressure. Finally, the rationality and applicability of the strength criterion under plane strain condition were demonstrated by comparison with the test results.

plane strain; strength; hydrostatic pressure

U448.25

A

1672 ? 7029(2019)08? 1955 ? 06

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.08.012

2018?10?11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402260)

李成(1979?)，男，遼寧大連人，高級(jí)工程師，從事橋梁樁基礎(chǔ)、地下結(jié)構(gòu)與土相互作用、混凝土及土的本構(gòu)關(guān)系研究；E?mail：sundd271@163.com

(編輯 涂鵬)