周華勁

摘 要：不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要板塊之一，高考必考題目。本文將主要對(duì)一元二次不等式，絕對(duì)值不等式的求解方法與技巧進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：求解;不等式問(wèn)題;方法;技巧

1、一元二次不等式的解法

1.1一元二次不等式

含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式。如，.其中均為常數(shù)且.

一元二次不等式是常見(jiàn)的基本不等式，是不等式的基礎(chǔ)內(nèi)容。其解法步驟為：移向，正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重跟打結(jié)），定解。

移向，根據(jù)求解需要把不等號(hào)兩邊的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)移。移向時(shí)，解析式的符號(hào)改變，不等號(hào)不變。

正化，就是把不等式中的解析式的符號(hào)變?yōu)檎?。若解析式為正，則不等號(hào)不變;若解析式為負(fù)，把解析式轉(zhuǎn)化為正，不等號(hào)改變。

求根，把不等式化為方程，求出方程的根。

定解，根據(jù)求解的跟，確定不等式的解（集）。

技巧：運(yùn)用函數(shù)圖像。

1.2一元二次不等式的常規(guī)解法

設(shè)有為一元二次不等式，當(dāng)時(shí)，可在不等式兩邊同乘以-1，變形為二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的情況。

把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并且要確定一元二次方程有沒(méi)有解。而判斷一元二次方程是否有解，需要了解根判別式法。在一元二次方程中，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，原不等式的解為，不等式的解為.

若，原不等式可化為

，所以此不等式的解釋?zhuān)坏仁綗o(wú)解。

此外，若若時(shí)，因?yàn)?/p>

.所以原不等式的解是全體實(shí)數(shù)，而不等式無(wú)解。

例1 ? 解不等式

分析：這是一元二次不等式，我們可以按照一元二次不等式的解法。

解：因?yàn)??另

可求出兩個(gè)根 ?所以不等式的解

是

對(duì)于一些特殊的一元二次不等式，有一些較為方便簡(jiǎn)單的技巧。比如解不等式。運(yùn)用常規(guī)的方法為，先判別一元二次方程有無(wú)解，再求方程的根，然后再定解，顯得非常的繁蕪困難。

其實(shí)應(yīng)聯(lián)想到把多項(xiàng)式化為幾個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式，再根據(jù)穿針引線法，即可確定所要求解的不等式的解。

對(duì)于解不等式，可以把多項(xiàng)式，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式，我們可以得出每個(gè)因式的零點(diǎn)，分別為.如何轉(zhuǎn)化為幾個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式，需要一定的技巧。

對(duì)于，若有兩數(shù)之和等于，兩數(shù)之積等于，則，可以轉(zhuǎn)化為.其中，

在這里運(yùn)用穿針引線法，可得出原不等式的解?？梢院?jiǎn)單總結(jié)其法則為，自上而下，從右到左，奇穿偶不穿。

因此，解不等式

解：

所得的兩個(gè)零點(diǎn)為

根據(jù)穿針引線法，原不等式的解為

2、絕對(duì)值不等式的解法

2.1絕對(duì)值不等式

把含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式稱(chēng)之為絕對(duì)值不等式。

基本的絕對(duì)值不等式有，其中，的解集為，的解集為.因此，可以解絕對(duì)值不等式，其中

2.2絕對(duì)值不等式的解法

分段討論法是求解絕對(duì)值不等式的基本方法，先找出每個(gè)絕對(duì)值記號(hào)內(nèi)的函數(shù)零點(diǎn)，用這些零點(diǎn)將此不等式的定義域分成若干個(gè)相互連接的子區(qū)間，然后在每一字區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義，去掉絕對(duì)值符號(hào)，求出原不等式的解集，最后確定這些解集的并集即可。這種方法去掉絕對(duì)值之后，分段討論，這樣就把原來(lái)較為復(fù)雜的絕對(duì)值不等式化為簡(jiǎn)單明了的整式不等式或不等式組，然后再對(duì)整式不等式或不等式組進(jìn)行求解，確定解集即可。

解不等式

分析：這種絕對(duì)值不等式是類(lèi)型，其解為.

解：

（去絕對(duì)值）

所以，原不等式的解為

解不等式

原不等式是類(lèi)型，其解為或.

解：

（去絕對(duì)值）

所以，原不等式的解為

解不等式

分析：求出的零點(diǎn)是-4，的零點(diǎn)為1，所以用-4，1將數(shù)軸分成三個(gè)區(qū)間討論，原不等式的解就是三個(gè)不等式組的并集。

解：

的零點(diǎn)為-4，的零點(diǎn)為1，用這兩個(gè)零點(diǎn)可以將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間，原不等式可化為下列三個(gè)不等式組的并集。

解得方程組（1）無(wú)解，方程組（2），方程組（3），

且時(shí)，原不等式成立，

所以，原不等式的解為.

形如，雖然可以運(yùn)用分段討論的方法取絕對(duì)值進(jìn)行求解，但是還有更簡(jiǎn)便的方法去絕對(duì)值。對(duì)于，分別對(duì)不等號(hào)兩邊的式子平方，不等號(hào)不變。這樣即可把一元不等式的絕對(duì)值去掉，化為普通的整式不等式進(jìn)行求解。

例 4 ? 解不等式

解：原不等式可化為：

有

解得

故，原不等式的解為.

有時(shí)候，我們可以把其他的不等式轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式，這樣也可以達(dá)到快速解題的效果。

如，解不等式

分析：多項(xiàng)式可以轉(zhuǎn)化為.原不等式可以轉(zhuǎn)化為.由此可去根號(hào)，化為，到了這里就可以利用類(lèi)型，其解為來(lái)求解，即可得出元不等式的解

解：

有

可得

即

所以，原不等式的解為.

小結(jié)：求解絕對(duì)值不等式最主要就是去絕對(duì)值，把絕對(duì)值不等式化為整式不等式或不等式組。要是不等式中只有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，直接運(yùn)用的類(lèi)型，其解為或，以及類(lèi)型，解為。要是不等式里含有多個(gè)絕對(duì)值，需要找出每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的零點(diǎn)，這幾個(gè)零點(diǎn)組成幾個(gè)區(qū)間，再用分段討論法，即可去絕對(duì)值，把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)換為不含絕對(duì)值的不等式（組）。當(dāng)然在某些情況下還有更好的取絕對(duì)值的方法，比如當(dāng)不等號(hào)兩邊都是只含絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，兩邊平方即可。也可以使用逆向思維，利用絕對(duì)值不等式來(lái)簡(jiǎn)化比較復(fù)雜的不等式。比如，根據(jù)算數(shù)根與絕對(duì)值的關(guān)系，某些無(wú)理不等式可化為絕對(duì)值不等式來(lái)求解。