李慧慧

摘要：本文提出用于多決策單元（Multiple Decision Unite，MDU）數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（l）ata Envclope Analysis，DEA）的一次性模型。假設(shè)論域中有多個(gè)決策單元，其具體按年度劃分的有多個(gè)輸入向量和輸出向量。本文提出的一次性模型可以通過(guò)一次建模求解出所有DMU在各個(gè)年度中的DEA效率。相對(duì)于傳統(tǒng)的DEA模型需要針對(duì)每個(gè)決策單元和每個(gè)年度的單獨(dú)建立模型，本文方法具有高集成度和高效率的特點(diǎn)。本文利用MLCap建模語(yǔ)言對(duì)提出的一次性模型進(jìn)行表達(dá)，并作為案例將其應(yīng)用于地區(qū)對(duì)外貿(mào)易量的分析上。算例表明，本文提出的方法在相關(guān)研究中具有一定的參考價(jià)值。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis），簡(jiǎn)稱(chēng)DEA，是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)三者交叉研究的一個(gè)領(lǐng)域，曾被廣為研究和使用，目前可以看作是一個(gè)成熟的方法。DEA是一種數(shù)理方法，用于評(píng)價(jià)那些能夠用數(shù)字表達(dá)的多組織（也稱(chēng)多決策單元，MDU），且每個(gè)對(duì)象有多輸入、多輸出的績(jī)效評(píng)價(jià)。DEA方法在多組織（多輸入、多輸出）的評(píng)價(jià)上具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。目前，DEA方法在多個(gè)領(lǐng)域的評(píng)價(jià)分析方面都得到了廣泛的應(yīng)用[2-4]。在近30年的研究中，DEA方法發(fā)展出了多種類(lèi)型的數(shù)學(xué)模型，其中線性模型更容易實(shí)現(xiàn)大規(guī)模求解，多篇文獻(xiàn)[6-7]在DEA研究上也采取線性模型。本文主要針對(duì)DEA中C2R對(duì)偶輸入模型（即以最小的投入實(shí)現(xiàn)指定量的產(chǎn)出）的整數(shù)規(guī)劃模型改進(jìn)展開(kāi)研究。

具體的DEA適用的問(wèn)題可以被簡(jiǎn)單表述為：假設(shè)有m個(gè)組織（編號(hào)：k=l，…，m），每個(gè)組織有r項(xiàng)投入（編號(hào)：i=l，…，r）.s項(xiàng)產(chǎn)出（編號(hào)：j=l，…，s），需要對(duì)每個(gè)組織的投入/產(chǎn)出效率作出相對(duì)評(píng)價(jià)。方法要求所有的投入和產(chǎn)出都能夠被量化表達(dá)，且隱含了對(duì)S項(xiàng)產(chǎn)出來(lái)說(shuō)，其值越大越正向影響該組織的效率評(píng)價(jià);且對(duì)r項(xiàng)投入來(lái)說(shuō)，其值越小則越正向影響該組織的效率。

經(jīng)典的DEA模型要求針對(duì)某個(gè)特定組織k分析其DEA效率ek.，將第k（k=l，…，m）個(gè)組織的輸入和輸出分別表示為X和y，則模型可以被表達(dá)為以下線性規(guī)劃模型：

式（1）中的ak是DEA方法引入的決策變量，其含義可以被理解為對(duì)組織K’輸入所做的凸組合拆分。求解上式即得到組織K’的DEA效率ek.。若ek.=l，則說(shuō)組織K’是DEA有效的，或者可以不嚴(yán)格地說(shuō)組織后，的相對(duì)效率是l00%。若ek，<1，則說(shuō)組織K’非DEA有效，或者可以不嚴(yán)格地說(shuō)組織K’的相對(duì)效率僅有ek ，XlOO%。

采用式（1）進(jìn)行分析時(shí)，必須對(duì)重復(fù)m次，即對(duì)K’=1，..，，m的每種情況都單獨(dú)建模并求解。假設(shè)需要評(píng)價(jià)多年度的相對(duì)績(jī)效，即當(dāng)Xki和Yki是分年度給出的若干組數(shù)據(jù)，則需要更多的模型和求解次數(shù)。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文提出一種可以一次建模并求解出所有DMU在各個(gè)年度中DEA效率的方法，并作為案例將其運(yùn)用于地區(qū)對(duì)外貿(mào)易量的分析上。該方法相比與傳統(tǒng)的模型（1）具有集成度好和效率高的特點(diǎn)。

在其后本文將在第1節(jié)中定義多年度多組織的DEA問(wèn)題，并給出對(duì)該問(wèn)題的一次性模型;在第2節(jié)中介紹本文模型基于Leap語(yǔ)言的機(jī)器表達(dá)方式;第3節(jié)給出算例求解和分析;第4節(jié)給出本文的結(jié)論。

1 問(wèn)題及模型

1.1 經(jīng)典DEA問(wèn)題的一次性求解模型

模型（1）是經(jīng)典DEA問(wèn)題常用模型。其缺點(diǎn)是需要對(duì)每個(gè)組織后’=1，…，m都單獨(dú)建立模型并求解，總計(jì)建模和求解m次。本文提出使用以下模型完成對(duì)經(jīng)典DEA問(wèn)題的一次性求解：

式（2）中的變量是DEA方法中的決策變量，其含義可以被理解為對(duì)組織k’輸入所做的凸組合拆分。求解模型（2）將一次得到所有組織的DEA效率值ek.（尼’=1，...，m），即有以下簡(jiǎn)單定理。

定理1：求解模型（2）將一次得到所有組織的DEA效率值ek，（K’=1，…，m），其結(jié)果與多次求解模型（l）所得到的效率值ek，一致。

證明：因模型（2）中每個(gè)ek.（K’=1，…，m）所承受的約束互不干擾且等同于模型（1），并且其總體目標(biāo)是ek.（K’=1，…，m）之和最小，因此模型（2）的ek.（K’=1，¨.，m）最優(yōu)值與模型（1）的ek.（K’=1，…，m）最優(yōu)值一致。

1.2 多時(shí)間段DEA問(wèn)題的一次性求解模型

經(jīng)典的DEA問(wèn)題只涉及單時(shí)間階段數(shù)據(jù)，即所有DMU的數(shù)據(jù)都是一個(gè)時(shí)間階段發(fā)生的，問(wèn)題的要求也是評(píng)價(jià)該時(shí)間階段的相對(duì)效率。

本文討論的問(wèn)題是一個(gè)多時(shí)間階段的DEA問(wèn)題：有m個(gè)組織（編號(hào)：k-l，…，m），每個(gè)組織有NI項(xiàng)投入（編號(hào)t一1，…，NI）、NO項(xiàng)產(chǎn)出（編號(hào)：r一1，-NO），已知各個(gè)組織在n個(gè)年度的投入數(shù)據(jù)Xtk（t=1，…，NI，k=l，…，m，i=l，…，n）和產(chǎn)出數(shù)據(jù)Yrkj（r=1，…，NO，k=l，…，m，j=l，…，n），請(qǐng)相對(duì)評(píng)價(jià)各個(gè)年度每個(gè)組織的投入/產(chǎn)出效率。

顯然多時(shí)間段的DEA問(wèn)題可以分別針對(duì)不同年度多次使用模型（l）或模型（2）完成求解，但是這種方法較為繁瑣。本文提出使用以下模型一次求出各個(gè)組織在不同年度的DEA效率值：

一次求解模型（3）與多次求解模型（2）將得到相同的效率值，

其原因在于ek.i（k’=1，…，m，i=l，…，，n）在模型（3）的目標(biāo)和約束中都是可分解的，且模型（3）所表達(dá)的約束與模型（2）所表達(dá)的約束一致。

定理2：求解模型（3）將一次得到所有組織在各個(gè)年度的DEA效率值ek.i（k’=1，…，m，i=l，…，，z），其結(jié)果與多次分別求解模型（l）或模型（2）所得到的效率值ek，，一致。

證明：觀察模型（3）中的任意ek，，，其在目標(biāo)和約束中均與其他ek。f.（k”≠k’，f’≠i）無(wú)關(guān)，且任意ek.f所承擔(dān)的約束均與模型（2）中的相同，因此上述定理成立。

1.3 一次性求解模型的求解效率問(wèn)題

注意到模型（3）將比模型（2）和（1）引入更多地變量和約束。一般，具有更多約束和變量的模型在求解時(shí)會(huì)更困難些。但是對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)規(guī)劃求解器來(lái)說(shuō)，對(duì)大規(guī)模模型都會(huì)進(jìn)行模型分解預(yù)處理。對(duì)這種處理器來(lái)說(shuō)，模型（3）是一個(gè)非常容易處理的可分解模型，因此其求解效率基本等同于多次重復(fù)求解模型（1）。

2 模型的MLeap表達(dá)

為獲得模型（3）的解，需要首先通過(guò)一種建模語(yǔ)言將其表達(dá)給機(jī)器，而后使用求解器得到所需要的結(jié)果。本文采用MLeap建模語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。MLeap語(yǔ)言是本文作者所設(shè)計(jì)的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的描述型建模語(yǔ)言。MLeap語(yǔ)言具有很強(qiáng)的描述性（與過(guò)程性相對(duì)，即不需要任何模型展開(kāi)和求解過(guò)程，只需將模型描述出來(lái)即可），基本上只需將數(shù)學(xué)模型寫(xiě)成文本形式即可，具體如圖1所示。

和約束段（subject to）的表達(dá)方式基本與傳統(tǒng)整數(shù)規(guī)劃的建模語(yǔ)言相同。不同的是，MLeap建模語(yǔ)言新增了標(biāo)識(shí)符聲明（where），該部分需要明確表明模型中出現(xiàn)的標(biāo)識(shí)符是變量或者常量，并且聲明其數(shù)據(jù)類(lèi)型以及范圍。Data部分是MLeap建模語(yǔ)言中的數(shù)據(jù)表達(dá)部分，主要用來(lái)對(duì)已經(jīng)聲明的常量進(jìn)行賦值操作方便計(jì)算。MLeap表達(dá)中的“一”符號(hào)表示換行符，用于連接上一行與下一行的文本內(nèi)容。

由于模型（3）中的已知常量Xtki和yrkj的賦值矩陣較大，不方便表述，故圖1中Data部分對(duì)常量Xtki和yrkj的賦值過(guò)程未給出。

3 算例求解與結(jié)果分析

為驗(yàn)證模型的有效性，本文采用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從2010—2014年分省年度數(shù)據(jù)帶入模型中進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。主要研究各省的各指標(biāo)對(duì)該省的進(jìn)出口總額（千美元）的相對(duì)效率。經(jīng)過(guò)初步的判定，確定影響各省進(jìn)出口總額的指標(biāo)有：消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、消費(fèi)零售總額、地區(qū)生產(chǎn)總值、可支配收入、固定資產(chǎn)投資、城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員、高等學(xué)校數(shù)與地級(jí)以上城市數(shù)。

具體計(jì)算中，將確定影響各省進(jìn)出口總額的8個(gè)指標(biāo)作為模型（3）的輸入Xtki，將進(jìn)出口總額作為模型輸出Yrkj。各省各年度進(jìn)出口總額入的具體數(shù)據(jù)如表1所示。

由于本文篇幅有限，輸入8個(gè)指標(biāo)的各年度數(shù)據(jù)不能一一展示。但本文的所有數(shù)據(jù)來(lái)源都來(lái)自干中華人民共和國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的官方網(wǎng)站的地區(qū)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可查閱到文中引用指標(biāo)的具體相關(guān)數(shù)據(jù)。

3.1 算例求解與結(jié)果分析

經(jīng)過(guò)MLeap對(duì)模型（3）的展開(kāi)，總變量數(shù)為4960個(gè)，總約束數(shù)為1550個(gè)。由于模型展開(kāi)的變量數(shù)較多，采用MLeap內(nèi)部求解器求解時(shí)間成本較高，故調(diào)用Cplex12 63版本求解器求解，求解時(shí)間小于1秒得出結(jié)果。

表2是經(jīng)過(guò)近似取值后的結(jié)果。對(duì)表2的結(jié)果數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，各省的DEA相對(duì)效率都為1，意味著各省從2010 2014年期間我們選中的8個(gè)指標(biāo)相對(duì)進(jìn)出口總額的投入/產(chǎn)出效率達(dá)到了近似最優(yōu)的分配。但對(duì)輸入8個(gè)指標(biāo)中各指標(biāo)對(duì)輸出的影響還需要繼續(xù)探究。

為對(duì)輸入8個(gè)指標(biāo)中各指標(biāo)影響力的繼續(xù)探究，產(chǎn)生猜測(cè)：在各省DEA輸入數(shù)據(jù)中，其中某一項(xiàng)或者某幾項(xiàng)指標(biāo)相對(duì)輸出指標(biāo)的DEA效率極大（DEA效率接近于1）。在眾多指標(biāo)中的顯著性很強(qiáng)，從而導(dǎo)致一次求解結(jié)果的各省DEA效率接近于1。

3.2 逐次剔除指標(biāo)求解結(jié)果及分析

針對(duì)3 1節(jié)中的猜測(cè)，本次求解策略采用分批次求解，即每次剔除一項(xiàng)指標(biāo)以進(jìn)行檢驗(yàn)。其指標(biāo)的剔除順序?yàn)椋合M(fèi)價(jià)格指數(shù)、消費(fèi)零售總額、地區(qū)生產(chǎn)總值、可支配收入、固定資產(chǎn)投資、城鎮(zhèn)

單位就業(yè)人員和高等學(xué)校數(shù)。再次調(diào)用Cplex12 .63對(duì)模型分批次進(jìn)行求解，每次求解都能迅速得到結(jié)果（小于1秒），求解結(jié)果如表3-表9所示。

經(jīng)過(guò)批次計(jì)算與對(duì)各批次結(jié)果對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)在剔除指標(biāo)價(jià)格指數(shù)后各省的DEA效率值波動(dòng)最大。由此可以判定在眾多的輸入指標(biāo)中，消費(fèi)價(jià)格指數(shù)對(duì)進(jìn)出口總額的顯著性最強(qiáng)。而在剔除價(jià)格指數(shù)之后，顯著性較強(qiáng)的指標(biāo)依次為：可支配收入、城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員、高等學(xué)校數(shù)。具體如圖2、圖3所示。

通過(guò)以上指標(biāo)顯著性的分析，基本可以得出結(jié)論：對(duì)一個(gè)地區(qū)進(jìn)出口貿(mào)易總額起到顯著影響的是該地區(qū)的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)和總體居民購(gòu)買(mǎi)力的強(qiáng)弱。

對(duì)求得結(jié)果按照城市整理分析，發(fā)現(xiàn)各指標(biāo)下的相對(duì)DEA效率最高（剔除各指標(biāo)階段下DEA效率值仍為1）的地區(qū)基本為發(fā)達(dá)城市或省份，分別為：北京、上海、天津、重慶、廣東。該結(jié)果即意味著對(duì)于上述發(fā)達(dá)城市或地區(qū)，消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、消費(fèi)零售總額等輸入判別指標(biāo)相對(duì)于輸出的判定指標(biāo)（進(jìn)出口貿(mào)易總量）來(lái)說(shuō)，其輸入中的各項(xiàng)指標(biāo)的資源分配已經(jīng)達(dá)到了相對(duì)最優(yōu)狀態(tài)。

由于本文篇幅有限，與上述結(jié)果相關(guān)的圖，文中未全部給出。其中北京市具體如圖4所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了多時(shí)間段DEA問(wèn)題的一次性求解模型，該模型可以一次建模求解出所有DMU在各個(gè)年度中的DEA效率。相對(duì)于傳統(tǒng)的DEA模型需要針對(duì)每個(gè)決策單元和每個(gè)年度的單獨(dú)建立模型，本文方法具有集成度更好和效率高的特點(diǎn)。

本文采用MLeap建模語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)模型給予機(jī)器表達(dá)，最后調(diào)用外部求解器對(duì)其進(jìn)行求解。其中算例求解的數(shù)據(jù)來(lái)自于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的官方網(wǎng)站的地區(qū)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。算例對(duì)消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、消費(fèi)零售總額等8個(gè)指標(biāo)相對(duì)于進(jìn)出口總額的DEA效率值進(jìn)行了計(jì)算，并采用逐次剔除指標(biāo)求解的方式判定出了輸入各指標(biāo)的顯著性影響。最后得出了一定有意義的結(jié)論，其在地區(qū)對(duì)外貿(mào)易量分析上有一定的指導(dǎo)意義。