歐元錦

摘要：利用迭代張量乘積法數(shù)值路徑積分技術(shù)研究Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)與環(huán)境相互作用引起的退相干過程.計算結(jié)果顯示，用歐姆庫模擬環(huán)境時，用來表示Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)退相干的約化密度矩陣非對角項呈現(xiàn)出振蕩衰減的趨勢.

關(guān)鍵詞：路徑積分;Josephson結(jié);退相干

中圖分類號：O431? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0013-02

1 引言

量子計算是近幾年信息領(lǐng)域研究的熱點問題.在量子計算中，量子比特系統(tǒng)至關(guān)重要.Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)因便于集成和操控，被認為是一種實現(xiàn)量子計算的良好途徑.但是，量子系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用卻是不可避免的，這種相互作用將引起量子位態(tài)的退相干.通常把環(huán)境當成熱庫[1]，這樣，量子位和熱庫組成一個復(fù)合孤立系統(tǒng)，按照薛定諤方程作幺正演化.本文我們用歐姆庫模擬環(huán)境，利用迭代張量乘積法數(shù)值路徑積分技術(shù)[2]研究Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)與環(huán)境相互作用的退相干過程.

2 迭代張量乘積法數(shù)值路徑積分

相互作用系統(tǒng)Hamiltonian量可分解為有解析解的絕熱參考部分H0和包含不可分相互作用的環(huán)境Henv=H-H0.t時間內(nèi)的演化算符可表示為：

exp-Ht=

exp-Henvtexp-H0texp-Henvt （1）

其中H0和Henv不對易，因誤差從（t）3項才開始出現(xiàn)，所以當t很小時結(jié)果足夠精確.設(shè)相互作用系統(tǒng)t=0時密度矩陣為：

（0）=s（0）？茚bath（0），? （2）

其中s（0）和bath（0）分別為系統(tǒng)和庫的初始密度矩陣，其約化密度矩陣離散路徑積分形式為：

red（s"，s′;t）=

……〈s"es〉…

〈ses〉〈s（0）s〉×〈ses〉…

〈ses′〉×I（s，s，…，s，s"，s，s，…，s，s′;t） （3）

準絕熱情況下，影響函數(shù)

I=exp-（s-s）（？濁s-？濁s），? （4）

其中sN+=s"，sN-=s′，系數(shù)？濁[3-4]可將離散路徑代入Feynman-Vernon表達式得到.庫響應(yīng)函數(shù)的譜密度形式

（t）=dJ（）coth-isin（t）? （5）

可用來測量記憶時間，這避免了把響應(yīng)函數(shù)實部和虛部看作？啄（t）和？啄′（t）的Markov近似[5].設(shè)k=k-k′，影響函數(shù)I可寫為

I=I0（s）I1（s，s）…I（s，s）…

I（s，s），? （6）

其中，kmax是達到庫響應(yīng)函數(shù)時間跨度的步數(shù).利用數(shù)值路徑積分技術(shù)，可以得到t=Nt時相互作用系統(tǒng)約化密度矩陣

red（s;Nt）=A（s，s=…=s=0;Nt）I（s）， （7）

使用低維傳播子張量，可以讓約化密度張量A的形式在t內(nèi)的傳播更加有效.

至此，我們可以得到t=Nt時相互作用系統(tǒng)的約化密度矩陣，并通過對其非對角項的模擬，研究開放系統(tǒng)的退相干過程.

3 Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)退相干

考慮到環(huán)境的影響，Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)Hamiltonian量可寫為

H=H0+Henv，? （8）

其中

H0=-Bzz-Bxx? （9）

Henv=pk2+mkk2xk-z? （10）

環(huán)境的動力學(xué)特性可由噪聲的譜密度函數(shù)來描述.本文我們用歐姆庫來模擬環(huán)境，此時譜密度表達式為[6]

J（）=exp-，? （11）

其中n=1，0為常數(shù)，為截止頻率.利用庫響應(yīng)函數(shù)的譜密度公式（5），我們對其實部和虛部進行模擬，如圖（1）所示.

從模擬結(jié)果可知歐姆庫記憶時間約為？子mem=2.0×10-11s.考慮到kmaxt應(yīng)比？子mem長，取kmax=1，t=1.27×10-11s.由圖（1）可見非定域的影響隨相互作用距離的增加快速減小，這些相互作用被體現(xiàn)在數(shù)值路徑積分技術(shù)的每個迭代步驟中.假設(shè)量子比特系統(tǒng)初態(tài)為純態(tài)（0）=（|0〉+|1〉）（〈0|+〈1|），初始環(huán)境bath（0）=e/Trk（e），EJ=51.8？滋eV，EC=122？滋eV，ng=0.450[6].利用迭代張量乘積法數(shù)值路徑積分技術(shù)，可以模擬出歐姆庫環(huán)境時Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)約化密度矩陣非對角項12的演化情況，如圖（2）所示.

4 結(jié)論

從圖（2）可以看出：當歐姆庫模擬環(huán)境時，用來表示退相干過程的開放Josephson結(jié)電荷量子比特系統(tǒng)約化密度矩陣非對角項12的演化呈現(xiàn)出明顯的振蕩衰減趨勢.

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參考文獻：

〔1〕Sun C P， Zhan H. Decoherence and relevant universality in quantum algorithms via a dynamic theory for quantum measurement. Phy Rev （A） [J]， 1998，58 （3）; 1810-1821.

〔2〕Makri N. Numerical path integral techniques for long time dynamics of quantum dissipative systems[J]. J.Math.Phys.， 1995， 36： 2430-2457.

〔3〕Shnirman A， Schon G. Hermon. Quantum Manipulations of Small Josephson Junctions[J]. Phys. Rev.Lett.， 1997， 79： 2371-2374.

〔4〕Makri N， Makarov D E. Tensor propagator for iterative quantum time evolution of reduced density matrices.Ⅱ. Numerical methodology[J]. 1995c， 102： 4611-4618.

〔5〕Fedorov， Fedichkin L. Privman V. Evaluation of Decoherence for Quantum Control and Computing[J]. J.Comp.Theor.Nanosci.， 2002， 1： 132-143.

〔6〕Paz J P， Habib S， Zurek W H. Reduction of the wave packet： Preferred observable and decoherence time scale. Phys.Rev.D， 1993， 47： 488-501.

〔7〕曾謹言，裴壽鏞.量子力學(xué)新進展第一輯[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.