李凌晨

求三角形的面積，初中使用公式S=1/2ah，到了高中，面積公式S=1/2absinC最常用.假如從向量的角度考慮，三角形的面積公式有沒有向量形式？用坐標(biāo)又如何表示呢？

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為以a，b，c，設(shè)C（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），則CA=（x1，y1），CB=（x2，y2）.

S= 1/2absinC

=1/2|CA| |CB|√1-cos2C

=1/2√（CA||CB|）2-（|CA||CB|cosC）2

=1/2√（|CA||CB|）2-（CA·CB）2.

這樣就推出了三角形面積公式的向量形式.

進(jìn)一步用向量的坐標(biāo)表示，就能推出三角形面積公式的坐標(biāo)形式：

S=1/2√（x12+y12）（x22+y22）- （x1x2+y1y2）2

=1/2√（x1y2-x2y1）2

=1/2|x1y2-x2y1|.

我特別喜歡聯(lián)想集團(tuán)的一句廣告詞：“如果沒有聯(lián)想，世界將會(huì)怎樣？”

觀察結(jié)構(gòu)“x1y2-x2y1”，我聯(lián)想到判定兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)公式.

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），若a//b，則x1y2=x2y1.

啊哈！

在△ABC中，當(dāng)C=0時(shí)，S=0，x1y2-x2y1=0，即x1y2=x2y1，此時(shí)CA//CB.

到此，在S=1/2|x1y2-x2y1|與a//b的天涯海角中，當(dāng)S=0時(shí)，式子“x1y2-x2y1”使兩者縮地成寸.也就是說，我們打通了三角形面積公式坐標(biāo)形式和判定兩向量平行坐標(biāo)式之間的關(guān)系，解釋了相同結(jié)構(gòu)“x1y2-x2y1”.

老師說，等到了高校會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)向量的知識(shí)，比如，向量的向量積a×b.與向量的數(shù)量積a·b不同的是，向量積a×b仍然是一個(gè)向量，模|a×b|=|x1y2-x2y1|.我們知道，若a·b=0，則a上b.所以，若a×b=0，則a//b.

最后又意外收獲判定向量平行的另一種方法，這趟探究之旅收獲滿滿！