張琴

【案例背景】

《平行四邊形的面積》是浙教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊第四單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是圖形面積單元的起始課，推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算公式的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在這里建立，基本思想方法要在這里滲透，同時(shí)也為后續(xù)推導(dǎo)三角形、梯形的面積計(jì)算公式提供學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。在教學(xué)中，學(xué)生通過分割、平移等活動(dòng)，理解“出入相補(bǔ)”的原理;學(xué)生經(jīng)歷探究、歸納與推理的過程，將未知轉(zhuǎn)化為已知，感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法，推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式;學(xué)生通過選擇有效信息運(yùn)用公式解決問題，發(fā)展空間觀念和邏輯思維能力。本課的教學(xué)重點(diǎn)在于探索、理解并掌握平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)原理。教學(xué)難點(diǎn)是理解“對應(yīng)”的底乘高的道理。

然而，在教學(xué)前已有不少學(xué)生知道了平行四邊形面積計(jì)算公式，更有不少學(xué)生聽說過將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形求面積的方法。學(xué)情究竟怎樣？基于學(xué)情開展怎樣的教學(xué)？如何使教學(xué)更有效？基于以上的種種思考，筆者進(jìn)行了基于“投票器”實(shí)時(shí)獲取學(xué)情、跟進(jìn)教學(xué)的課堂實(shí)踐。共同參與學(xué)習(xí)的是江山市文溪小學(xué)503班39名學(xué)生。

【教學(xué)實(shí)踐】

片段一：學(xué)前測試，找準(zhǔn)起點(diǎn)

1.激活經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

師：每個(gè)小方格的面積為1平方分米，下面各圖形的面積是多少？你是怎么想的？

生：把不規(guī)則的圖形通過分割、平移，都可以轉(zhuǎn)化成規(guī)則的長方形，面積不變，面積都是15平方分米。

簡單的圖形轉(zhuǎn)化，激活了學(xué)生分割、平移圖形的經(jīng)驗(yàn)，滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想，學(xué)生理解“出入相補(bǔ)”的原理;復(fù)習(xí)長方形的面積計(jì)算公式：S長方形=長×寬，為研究平行四邊形面積設(shè)下伏筆。

2.引發(fā)沖突，提出問題

師：一個(gè)長5分米、寬3分米的長方形框架，將它沿著對角線方向拉伸，形成一個(gè)平行四邊形，面積怎樣計(jì)算？

學(xué)生運(yùn)用投票器選擇，結(jié)果顯示：25人選①5×3（鄰邊×鄰邊），12人選②5×2（底×高），2人選③3×2（鄰邊×高）。

由投票數(shù)據(jù)可知，盡管課前已有多數(shù)學(xué)生知道平行四邊形的面積計(jì)算公式，但在這樣的現(xiàn)實(shí)情境中，能正確計(jì)算平行四邊形面積的學(xué)生僅占30.8%，學(xué)生對于平行四邊形面積怎樣算的真實(shí)理解情況是非常欠缺的。64.1%的學(xué)生受長方形面積計(jì)算方法的干擾，認(rèn)為平行四邊形面積也是邊與邊相乘。

平行四邊形可以由長方形拉伸變形而成，其面積計(jì)算的方法是否與長方形面積計(jì)算的方法相仿？這引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突。平行四邊形的面積究竟怎樣計(jì)算？基于投票數(shù)據(jù)，真實(shí)的學(xué)情告訴我們，學(xué)生對平行四邊形面積的計(jì)算公式知其然而不知其所以然。找準(zhǔn)了這一學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者認(rèn)為，在教學(xué)中展開研究平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程顯得非常必要，要突出研究過程中平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形的一一對應(yīng)關(guān)系，更要進(jìn)一步辨析拉伸前的長方形面積與拉伸后的平行四邊形面積間的關(guān)系。

片段二：學(xué)中檢測，解釋疑點(diǎn)

1.實(shí)踐操作，抽象公式

學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐，探究平行四邊形面積的計(jì)算方法。

師：想一想、剪一剪、拼一拼（轉(zhuǎn)化成什么圖形）;說一說（轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系）;量一量、算一算（平行四邊形的面積）;想一想（還有其他畫法嗎）。

師：有位同學(xué)是沿對角線分割的，行嗎？為什么？

生：沿對角線剪開不一定能拼成長方形。只有沿高剪開，才能有直角，才能拼成長方形，從而計(jì)算出面積。

師：為了把以上兩種方法說清楚，我們給不同的底和高標(biāo)上號。圖1記為：平行四邊形面積=底1×高1;圖2記為：平行四邊形面積=底2×高2。但為了更方便地記憶，可以統(tǒng)一為“平行四邊形面積=底×高”，只是要明白，這里的底和高是相對應(yīng)的。字母表達(dá)式是S=a×h或S=ah。

學(xué)生通過想、剪、拼、量、算、比等活動(dòng)，經(jīng)歷探究、歸納與推理的全過程，理解“出入相補(bǔ)”的原理，滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法，理解平行四邊形面積計(jì)算的方法?；趯W(xué)生研究出來的兩種剪拼方法，用文字描述計(jì)算過程，如平行四邊形面積=底1×高1、平行四邊形面積=底2×高2。通過抽象理解，凝練合并成“平行四邊形面積=底×高”，從而得到平行四邊形面積計(jì)算公式，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

2.追問置疑，加深理解

師：平行四邊形的面積你會(huì)算了嗎？剛才那個(gè)由長方形拉成的平行四邊形的面積究竟怎樣算呢？我們再次投票。

本輪投票結(jié)果：9人選①5×3（鄰邊×鄰邊），29人選②5×2（底×高），1人選③3×2（鄰邊×高）。

師：選②5×2（底×高）的同學(xué)，這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個(gè)怎樣的長方形？

生：轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長是5分米、高是2分米的長方形。

師：選①5×3（鄰邊×鄰邊）的同學(xué)，5×3算的是哪個(gè)圖形的面積？與現(xiàn)在這個(gè)平行四邊形的面積相比，相差了哪個(gè)部分？

生：5×3算的是一個(gè)以5分米為底、3分米為高的長方形，與現(xiàn)在的這個(gè)平行四邊形的面積相比，相差的是黃色的部分5平方分米。

在探究出平行四邊形面積計(jì)算公式后，針對同樣一個(gè)問題情境——求一個(gè)長方形拉伸后的平行四邊形的面積，再次讓學(xué)生投票，在反思并選擇的過程中，我們發(fā)現(xiàn)74.4%的學(xué)生正確了，正確率明顯提高，但仍有25.6%的學(xué)生選擇錯(cuò)誤。

雖然學(xué)生在求平行四邊形的面積上有了很大進(jìn)步，但仍有學(xué)生受拉伸前的長方形的干擾，誤以為平行四邊形的面積計(jì)算仍是鄰邊相乘。基于以上投票數(shù)據(jù)，筆者跟進(jìn)教學(xué)，采用了連續(xù)追問的方式讓學(xué)生越辯越明。對于選擇正確的學(xué)生，筆者引導(dǎo)學(xué)生將轉(zhuǎn)化后的長方形描述出來，這不僅是思維過程的外顯，更是幫助選擇錯(cuò)誤的學(xué)生建立更深的表象;對于選擇錯(cuò)誤的學(xué)生，筆者利用追問，幫助學(xué)生更加明確了5×3的幾何意義，并借助圖示將相差的5平方分米展現(xiàn)出來，加深了學(xué)生的認(rèn)識，倒逼學(xué)生反思錯(cuò)誤原因。

片段三：練習(xí)反饋，解決難點(diǎn)

練習(xí)1：選擇正確的式子計(jì)算圖形的面積。

學(xué)生投票結(jié)果：2人選①，29人選②，3人選③，5人選④。

師：選②的同學(xué)，這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個(gè)怎樣的長方形？選①和④的同學(xué)，都是一條底乘一條高，為什么不對？

生：沿著一條底上對應(yīng)的高剪開，平移后才能形成一個(gè)長方形。

師：值得注意的是，平行四邊形面積=底×高，必須是一組“對應(yīng)”的底與高相乘。

由投票結(jié)果可見，在計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，選擇鄰邊相乘的學(xué)生大大減少，已有92.3%的學(xué)生明確平行四邊形面積可由“底×高”得到，但其中19.4%的學(xué)生錯(cuò)誤地選擇了不相對應(yīng)的底與高相乘。

基于投票數(shù)據(jù)，教學(xué)跟進(jìn)的方向從“平行四邊形面積=底×高”轉(zhuǎn)向了“對應(yīng)”的底×高。在教學(xué)中，筆者仍采用追問的方式調(diào)整教學(xué)。針對選擇①和④的學(xué)生，借助幾何直觀使得認(rèn)知再次發(fā)生沖突，促進(jìn)學(xué)生反思錯(cuò)誤原因，使得“對應(yīng)”更加深入人心。

練習(xí)2：在一組平行線間作3個(gè)平行四邊形，哪個(gè)面積大？

學(xué)生投票結(jié)果：10人選①，7人選②，2人選③，20人選④。

師：選①②③的同學(xué)，分別說說你們是怎么想的？

生：看起來比較大。

師：選④的同學(xué)，你們?yōu)槭裁凑f面積一樣大？

生：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高，這三個(gè)平行四邊形的底相同、高也相等，所以三個(gè)平行四邊形的面積相等。

師：它們都能轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形？

……

通過基本練習(xí)1，學(xué)生已經(jīng)非常明確了平行四邊形面積=底×高（對應(yīng)），為思維提升奠定了基礎(chǔ)。在判斷一組平行線間的三個(gè)平行四邊形面積大小的過程中，強(qiáng)大的視覺沖擊阻礙了學(xué)生的理性思考，在投票結(jié)果上，僅51.3%的學(xué)生選擇正確。

基于投票結(jié)果，筆者通過提問挖掘?qū)W生的元認(rèn)知。“它們都能轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形？”學(xué)生開始反思平行四邊形面積計(jì)算的方法，甚至開始在頭腦中將平行四邊形還原成對應(yīng)的長方形。學(xué)生的認(rèn)知從表面的視覺沖擊進(jìn)入客觀冷靜的覺知，最終發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)這三個(gè)平行四邊形是同底等高的，面積相等。

【案例總結(jié)】

《平行四邊形的面積》一課基于投票機(jī)制實(shí)時(shí)追蹤學(xué)情，掌握學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)程中的真實(shí)情況：通過學(xué)前測找準(zhǔn)了學(xué)習(xí)的起點(diǎn);通過學(xué)中測發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的疑點(diǎn);通過練中測突破了教學(xué)的難點(diǎn)。投票器在教學(xué)中的合理使用，提高了教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)了較好的教學(xué)效果。

（浙江省杭州市勝利實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310014）