張玉武

（六安職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽六安237158）

插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，基本做法是通過(guò)給定已知點(diǎn)的信息，構(gòu)造一函數(shù)，估算其他點(diǎn)處的函數(shù)值，常用的插值方法有多項(xiàng)式插值、有理函數(shù)插值等。常用的多項(xiàng)式插值方法有Lagrange插值、New ton插值、Herm ite插值等，它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于構(gòu)造、插值函數(shù)存在且唯一的特點(diǎn)[1]。對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)較少時(shí)效果較好，當(dāng)?shù)染嗖逯倒?jié)點(diǎn)增多時(shí)，會(huì)出現(xiàn)激烈的震蕩，產(chǎn)生Runge現(xiàn)象。有理函數(shù)插值常用的有Thiele型連分式插值、重心有理插值等，它比多項(xiàng)式插值要復(fù)雜得多，主要表現(xiàn)在有理函數(shù)插值未必一定有解、難以避免極點(diǎn)的存在和控制極點(diǎn)位置等。本文基于多項(xiàng)式插值，給出構(gòu)造給定極點(diǎn)的有理插值新方法，數(shù)值例子表明新方法具有較好的逼近效果。

1 有理函數(shù)插值

滿足

構(gòu)造有理插值函數(shù)需要通過(guò)（1）、（2）式求解線性方程組，計(jì)算量較大?；谀娌钌痰腡hiele型連分式插值是構(gòu)造有理插值函數(shù)常用方法[2]，通過(guò)構(gòu)造如下形式的連分式函數(shù)為f(x)在節(jié)點(diǎn)處的l階逆差商，其中，使得成立。

Thiele型連分式插值，不需要求解線性方程組也可以實(shí)現(xiàn)有理插值函數(shù)的求解，而且具有表達(dá)式簡(jiǎn)單、計(jì)算方便的優(yōu)點(diǎn)，然而，它無(wú)法避免極點(diǎn)的出現(xiàn)，也無(wú)法控制極點(diǎn)的位置。對(duì)于給定極點(diǎn)的有理插值，朱功勤等[3]、張瀾等[4]基于Thiele型連分式插值分別給出了給定極點(diǎn)的有理函數(shù)插值的構(gòu)造方法。Schneider等給出了重心有理插值方法[5]，其公式為

基于多項(xiàng)式插值構(gòu)造給定極點(diǎn)的有理插值，可以繼承多項(xiàng)式插值結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、插值函數(shù)唯一的特點(diǎn)，與上述構(gòu)造給定極點(diǎn)有理插值方法相比較，還具有便于構(gòu)造、逼近效果好的優(yōu)點(diǎn)。

2 構(gòu)造給定極點(diǎn)的有理插值

按照上述構(gòu)造給定極點(diǎn)的有理插值方法，只要r(x)分子、分母在節(jié)點(diǎn)處的值都不等于零時(shí)，構(gòu)造的有理插值函數(shù)不但滿足插值條件，而且完全保留了給定極點(diǎn)信息的優(yōu)點(diǎn)。

3 數(shù)值例子

例1 給定插值節(jié)點(diǎn)如表1所示，同時(shí)x=-3為一重極點(diǎn)，x=4為二重極點(diǎn)，構(gòu)造有理插值

表1 插值條件

表2 新插值條件

有理插值函數(shù)r(x)不但滿足插值條件，而且保留了極點(diǎn)的信息，每個(gè)給定極點(diǎn)都保持了原有的重?cái)?shù)，同時(shí)沒有出現(xiàn)新的極點(diǎn)。

例2 設(shè)f(x)=cos(-x)/(x-1)2，插值節(jié)點(diǎn)如表3所示。

表3 插值條件

解 按照文中的新方法，可以構(gòu)造有理插值函數(shù)：分別繪制f(x)、r1(x)圖像如圖1所示，誤差圖像如圖2所示。由圖1和圖2看出，新方法構(gòu)造的有理插值在插值區(qū)間內(nèi)具有很好的逼近效果，誤差很小。

圖1 f(x)與r1(x)圖像

圖2 |r1(x)-f(x)|圖像

為了說(shuō)明新方法的有效性，將文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]給出的方法構(gòu)造插值函數(shù)，分別記為r2(x)、r3(x)，計(jì)算部分點(diǎn)處的誤差如表4所示。通過(guò)比較可以看出，用本文方法構(gòu)造的有理插值函數(shù)的誤差比其他兩種方法給出的插值函數(shù)的誤差明顯要小。

表4 誤差

4 結(jié)論