韓 宇，樊 煒，曹 濤

(1. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109；2.上海市空間智能控制技術重點實驗室·上?！?01109；3.上海衛(wèi)星工程研究所·上?！?01109)

0 引 言

姿態(tài)容錯控制是指在航天器發(fā)生故障的情況下仍能保持航天器姿態(tài)穩(wěn)定的控制方法，其對于在復雜環(huán)境下工作的航天器[1]而言具有重要意義，亦有眾多學者在這一領域開展了研究。例如，文獻[2]針對飛輪故障的情況，基于線性變參數(shù)系統(tǒng)設計了魯棒容錯控制方法；文獻[3]設計了PID迭代學習容錯控制律，可以解決連續(xù)時變的故障系統(tǒng)；文獻[4]針對使用單框架控制力矩陀螺群的剛性航天器被動容錯控制問題開展了研究，基于滑模控制理論解決了這一問題；文獻[5]同樣采用積分滑模的控制策略，解決了執(zhí)行器故障的剛體航天器的姿態(tài)穩(wěn)定問題；文獻[6]對近年來的航天器姿態(tài)容錯控制方法進行了總結，主要包括基于自適應理論的容錯控制方法[7-11]，基于滑模理論的容錯控制方法[12-14]，以及基于控制分配的容錯控制方法[15-17]。目前而言，航天器的容錯控制方法已具有針對外界干擾、參數(shù)不確定性、執(zhí)行器故障等情況開展的分析及解決方案，但較少考慮了執(zhí)行器安裝誤差等情況，且仍需進一步解決航天器在故障突發(fā)情況下的姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)機動能力，以及保持航天器高指向精度的問題。

Lyapunov方程一直是設計姿態(tài)控制律時判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要手段，而如何選取一個合適的Lyapunov函數(shù)一直是控制領域一個重要的討論內(nèi)容[18-19]。利用系統(tǒng)機械能的變化來定義Lyapunov函數(shù)，從而進一步得到全局穩(wěn)定的控制律的方法，首先由Koditschek在文獻[19]中提出。Lyapunov方程應包括系統(tǒng)的動能部分(與航天器角速度變化相關)及勢能部分(與航天器姿態(tài)變化相關)，其中勢能部分可以基于誤差空間的幾何關系或剛體系統(tǒng)的能量損耗而求得。例如，文獻[20]就是基于勢能的最大值設計了全局穩(wěn)定的反饋姿態(tài)控制律。文獻[18]考慮了一種基于幾何學的姿態(tài)控制方法，利用基于姿態(tài)四元數(shù)誤差的二范數(shù)求得了系統(tǒng)勢能的變化。然而，這兩種方法都不是幾何方法中最短路徑的選擇。本文通過誤差空間拓撲所得的誤差函數(shù)來描述勢能誤差，從幾何層面上看，這是描述勢能誤差的最短路徑選擇。因此，在航天器發(fā)生故障的情況下，本文所提出的控制方法可以迅速調(diào)整增益，使得系統(tǒng)姿態(tài)誤差迅速收斂至零，從而有效提高航天器在故障突發(fā)情況下的姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)機動能力。

1 航天器姿態(tài)動力學模型

1.1 姿態(tài)運動學與動力學模型

對于工作姿態(tài)為對地定向的三軸穩(wěn)定航天器(假設其數(shù)學模型為剛體)而言，通常以軌道坐標系為參考坐標系，航天器的絕對角速度矢量ω∈R3。當取航天器質(zhì)心C為參考點時，J為航天器轉(zhuǎn)動慣量矩陣，則航天器的姿態(tài)動力學方程可表示為

(1)

式(1)中，τ∈Rn為所有執(zhí)行機構產(chǎn)生的執(zhí)行力矩，n為執(zhí)行機構的個數(shù)，D∈R3×n為執(zhí)行機構的安裝矩陣，Td∈R3表示航天器所受外部干擾力矩。

以四元數(shù)來描述姿態(tài)，則航天器的姿態(tài)運動學方程可表述為

(2)

1.2 飛輪安裝偏差模型

本文采用三正裝一斜裝的反作用飛輪組作為執(zhí)行機構[21]，執(zhí)行機構的個數(shù)n=4，D∈R3×4?？紤]到反作用飛輪制造與裝配過程中機械精度、物理工藝技術的約束，發(fā)射過程中強沖擊與振動，以及環(huán)境干擾力矩的影響，其安裝構型往往與標稱構型存在一定偏差，如圖1所示。

(a)標稱執(zhí)行機構配置

(b)存在安裝偏差的執(zhí)行機構配置圖1 執(zhí)行機構配置結構圖Fig.1 Configuration of actuators in spacecraft

基于此，對執(zhí)行機構安裝偏差進行建模，則有如下形式

(3)

定義ΔD∈R3×4為安裝矩陣的偏差或不確定性項。由于αi(i=1,2,3,4)、βi(i=1,2,3,4)均為小量，可以近似為cosαi≈1、cosβi≈1、sinαi≈αi及sinβi≈βi，則航天器執(zhí)行機構的安裝矩陣可寫為

D=D0+ΔD

(4)

式(4)中，

(5)

ΔD=

(6)

1.3 飛輪故障模型

在衛(wèi)星作業(yè)過程中，飛輪的消耗極大，其不僅需要長期運轉(zhuǎn)，而且還會受到摩擦力矩和空間環(huán)境等眾多因素的影響。常見的反作用飛輪故障有以下4種：①反作用力矩降低；②對控制信號無響應；③輸出力矩疊加偏差；④反作用力矩不確定。根據(jù)以上4種故障形式，可以對反作用飛輪進行建模，單個飛輪的輸出力矩可寫為

(7)

綜上，根據(jù)飛輪安裝偏差模型和飛輪故障模型，能夠得出飛輪的實際輸出力矩模型為

(8)

e3e4}表示4個飛輪的乘性故障。

1.4 問題描述

結合飛輪的安裝偏差及故障模型，航天器姿態(tài)動力學方程可表示為

(9)

式(9)中，g(t)為航天器執(zhí)行器實際力矩的乘性系數(shù)，后文用Tg表示；f(t)為航天器執(zhí)行器實際力矩的加性偏差，后文用Tf表示。乘性系數(shù)矩陣可表示為

(10)

2 反步容錯控制方法

2.1 航天器反步容錯控制方法

由上文，航天器的系統(tǒng)動力學方程可簡寫為

(11)

(12)

(13)

式(12)和式(13)中，c1>0、c2>0均為給定正實數(shù)，H(q0)為與q0相關的函數(shù)，且滿足

證明：控制器設計分為兩步完成。

定義如下變量

z1=q

(14)

z2=ω-ua

(15)

式(15)中，ua為待設計的虛擬控制律，其定義將在后文給出。

第一步：選取與q0相關的Lyapunov函數(shù)

V1=2c1H(q0)

(16)

(17)

此時，選取相應的虛擬控制律ua為

(18)

則式(17)變?yōu)?/p>

(19)

第二步，對于定義變量z2的微分，有

(20)

選取新的Lyapunov函數(shù)為

(21)

對V2求導有

(22)

當考慮容錯控制策略為

(23)

式(23)中，c2為正實數(shù)，e為正實數(shù)，且滿足0

(24)

將式(24)代入式(22)中，可得

(25)

式(25)中，矩陣R1可寫為

(26)

由不等式可得

(27)

式(27)中，κ=min{1,c1}。

假設1：由于干擾力矩Td是有界的，則可以合理地推測存在正常數(shù)dmax，滿足

(28)

式(28)中，參數(shù)ρ≥1為給定正常數(shù)。

代入式(27)，則可知Lyapunov函數(shù)V2的導數(shù)有界如式

≤0

(29)

則閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

備注：定理1所給出的控制方法存在與q0相關的函數(shù)H(q0)尚未給出，但不影響對該系統(tǒng)穩(wěn)定性的論證。換言之，只要函數(shù)H(q0)滿足條件(1)、(2)、(3)，則該閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。對H(q0)的論證將在下一節(jié)給出。

2.2 基于誤差空間定義H(q0)函數(shù)

表1 文獻中常用的H(q0)的選取方法

由表 1可以看出，很多方法是基于誤差空間函數(shù)的衍生來描述勢能損耗的。例如，編號(1)就考慮了一種基于幾何學的姿態(tài)控制方法，其勢能部分的構造是基于姿態(tài)四元數(shù)誤差的二范數(shù)；編號(4)則直接基于四元數(shù)誤差矢量求得。然而，這兩種構造方法都不是幾何構型中路徑最短的選擇。空間誤差的消除方法主要為平衡誤差方法，從幾何層面上看，方向余弦矩陣是描述航天器姿態(tài)最直接的手段，可以快速地平衡和消除空間誤差。通過對方向余弦矩陣進行變體考慮，虛擬控制律為

(30)

則有

(31)

對式(31)進行積分，可得

(32)

等價于

(33)

也等價于

(34)

式(34)中，符號函數(shù)sgn的定義為

(35)

(a)H(q0)的曲線

(b) 的曲線圖2 H(q0)的曲線及其對q0的導數(shù)Fig.2 Function H(q0) and its derivative to q0

(36)

將其對q0求導可得

(37)

H(q0)函數(shù)(36)及其導數(shù)的圖像如圖 3中所

(a)H(q0)的曲線

(b) 的曲線圖3 H(q0)的曲線及其對q0的導數(shù)Fig.3 Function H(q0) and its derivative to q0

(38)

(39)

式(39)中，c1>0、c2>0均為給定正實數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

已由前文證畢。

3 仿真分析

為了驗證該方法對執(zhí)行機構安裝偏差及故障的處理能力，假設飛輪的故障及安裝偏差為：

①X軸飛輪在5s后輸出力矩降低，e1(t)=0.6，安裝偏差α1=10°，β1=12°；

②Y軸飛輪在4～20s之間輸出力矩降低，e2(t)=0.5，安裝偏差α2=8°，β2=15°；

分別采用控制律如定理二(即式(38)和式(39)，下稱控制方法一)、控制律如定理一(即式(12)和(13)，其中H(q0)=1-q0，下稱控制方法二)以及PD控制(下稱控制方法三)3種控制方法對上文的衛(wèi)星系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，以比較說明本文所提出的控制方法對存在飛輪偏差及故障的衛(wèi)星的姿態(tài)控制能力，以及不同的H(q0)對控制方法的影響。

(a)由控制方法一仿真所得的角速度曲線

(b)由控制方法二仿真所得的角速度曲線

(c)由控制方法三仿真所得的角速度曲線圖4 由三種控制方法仿真所得的角速度曲線Fig.4 Angular velocity of three control methods

(a)由控制方法一仿真所得的四元數(shù)曲線

(b)由控制方法二仿真所得的四元數(shù)曲線

(c)由控制方法三仿真所得的四元數(shù)曲線圖5 由三種控制方法仿真所得的四元數(shù)曲線Fig.5 Quaternion of three control methods

(a)由控制方法一仿真所得的飛輪輸出力矩曲線

(b)由控制方法二仿真所得的飛輪輸出力矩曲線

(c)由控制方法三仿真所得的飛輪輸出力矩曲線圖6 由三種控制方法仿真所得的飛輪輸出力矩曲線Fig.6 Control torque of three control methods

由仿真結果可以看出，在考慮飛輪存在安裝誤差及故障的情況下，傳統(tǒng)的PID控制難以維持航天器系統(tǒng)姿態(tài)的穩(wěn)定。本文所提出的反步容錯控制方法如定理一(即式(12)和(13))，無關于H(q0)，在飛輪存在安裝誤差及故障的情況下能夠有效實現(xiàn)容錯控制，確保航天器姿態(tài)的穩(wěn)定性。選擇不同的H(q0)，對系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)的時間會有較大影響，這是由誤差空間中勢能損耗的平衡路徑?jīng)Q定的。當用基于方向余弦的矩陣來描述航天器勢能損耗(即選擇H(q0)如式(36)所示)時，系統(tǒng)僅需6s即可達到穩(wěn)定，而用基于四元數(shù)誤差的二范數(shù)描述勢能(即H(q0)=1-q0)時，系統(tǒng)需要12s才可達到穩(wěn)定。在相同條件下，基于方向余弦矩陣所建立的控制方法的調(diào)節(jié)時間快了1倍。提高控制方法的調(diào)節(jié)時間，可以確保航天器在突發(fā)故障的情況下具備快速機動能力，從而提高系統(tǒng)的安全性。

4 結 論

(1)本文提出了一種航天器姿態(tài)反步容錯控制方法，以飛輪作為航天器執(zhí)行機構，在考慮飛輪存在安裝偏差及存在反作用力矩降低、對控制信號無響應、輸出力矩疊加偏差、反作用力矩等不確定故障的情況下，仍能夠保證航天器姿態(tài)的穩(wěn)定性，具有良好的容錯能力和魯棒性；

(2)針對反步容錯控制方法的誤差空間收斂能力開展了進一步討論，基于方向余弦矩陣來描述航天器勢能損耗，能夠提高控制方法誤差收斂的效率，從而保證航天器在存在較大初始姿態(tài)偏差或突發(fā)性故障的情況下，具備姿態(tài)快速回轉(zhuǎn)的機動能力，進而提高系統(tǒng)的安全性。