福建省石獅市石光中學(xué) (362700)

李國強(qiáng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)(2017年版)》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”)[1].這是首次在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“基本活動經(jīng)驗(yàn)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，是指學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中所獲得的感受、體驗(yàn)以及由此獲得的知識、技能、情感和觀念的綜合體.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生個人經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分，獲得和積累基本活動經(jīng)驗(yàn)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，需要在“做”的過程與“思考”的過程中沉淀.在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)往往被解題經(jīng)驗(yàn)所替代，其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)不足是一個不爭的事實(shí).筆者認(rèn)為，重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個認(rèn)識上的提升.學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)需要在“做”中獲得，在“思”中提升，在“悟”中遷移.以下筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)積累的幾點(diǎn)體會.

1.在實(shí)踐操作活動中喚醒數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識的高度凝練性、抽象性等特點(diǎn)，使得學(xué)生難以感知和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的意蘊(yùn)，難以欣賞“冰冷的美麗”，難以把握數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì).因此教師需要創(chuàng)設(shè)具有生活氣息的問題情境，來喚醒學(xué)生的親切感，再借助觀察、操作活動等方式引導(dǎo)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).因此在課堂教學(xué)中，教師可根據(jù)教材內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境，引出數(shù)學(xué)問題，然后有計劃、有目的地組織學(xué)生動手操作、實(shí)踐，讓學(xué)生在動手實(shí)踐中體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，經(jīng)歷由迷茫困惑到逐步清晰的過程，從而獲得根植于生活“接地氣”的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).

案例1 人教A版數(shù)學(xué)2“二面角”概念教學(xué)片斷

師：同學(xué)們，初中數(shù)學(xué)中是如何定義角的？

生：從平面中的一個定點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線，則這兩條射線和定點(diǎn)組成的圖形叫做角.

師：大家能模仿初中角的定義對二面角進(jìn)行定義嗎？

生1：將平面中角的概念類比到三維空間，把定點(diǎn)變?yōu)槎ㄖ本€(棱)，把兩條射線變?yōu)閺脑摾庖龅膬蓚€半平面.

師：對，我們可以類比角的定義得到二面角的定義.將角的定義中每個元素升級到三維空間中的元素，就構(gòu)成了空間中的二面角.現(xiàn)在大家一起來觀察個種不同類型的二面角.

(教師展示二面角的具體模型，以增強(qiáng)學(xué)生對二面角的認(rèn)識)

師：我們身邊存在二面角模型實(shí)例嗎？應(yīng)該如何刻畫二面角的大??？

生2：課本的書頁與書頁之間就是二面角的空間模型.

師：對，請同學(xué)們轉(zhuǎn)動書頁，思考如何度量二面角？

(學(xué)生操作、思考、討論)

生3：既然叫做角，那就需要用一個確定的平面角來度量.

師：你覺得哪一個平面角可以用來度量二面角呢？

(為了破解難點(diǎn)，教師讓每個學(xué)生準(zhǔn)備一張紙，對折后就是一個二面角.過棱上一點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)嘗試各畫一條射線，然后觀察怎樣刻畫二面角的平面角.小組討論后代表發(fā)言.)

圖1

生4：如圖1，在棱l上取一點(diǎn)O，在兩個半平面內(nèi)分別作兩條射線OA、OB，使得OA⊥l，OB⊥l，這兩條射線組成的角∠AOB可以刻畫二面角的大小.

師：點(diǎn)O的位置是確定的嗎？能否在棱l上取其他的點(diǎn)？

生5：可以，我在棱l上另取一點(diǎn)O′，同樣在兩個半平面內(nèi)作兩條射線O′A、O′B，使得O′A⊥l，O′B⊥l，由等角定理得，∠AOB=∠AO′B，所以這樣作出的角只與二面角α—l—β的大小有關(guān)，而與點(diǎn)O在棱l上的位置無關(guān).

生6：我是這樣作的：在棱l上取一點(diǎn)O，在兩個半平面內(nèi)作兩條射線OA、OB，使得OA、OB與直線l的夾角都為60°，這兩條射線組成的角∠AOB也是確定的，所以我覺得∠AOB也可以刻畫二面角的大小.

師：有道理！哪一種方法更合適呢？

師(見學(xué)生沉默，教師引導(dǎo))：請把二面角的一個半平面放在桌面上，另一個半平面繞著棱l轉(zhuǎn)動，當(dāng)兩個半平面重合時、兩個半平面都在桌面上時，二面角的平面角分別是多少呢？

(大家動手操作)

生7：當(dāng)兩個半平面重合時，二面角的平面角為0°；當(dāng)兩個半平面都在桌面上時，二面角的平面角為180°.此時只有當(dāng)OA⊥l，OB⊥l時，這兩條射線組成的角∠AOB才是0°、180°.因此當(dāng)OA⊥l，OB⊥l時，∠AOB表示二面角的平面角最合適.

(學(xué)生概括“二面角的平面角”定義)

本環(huán)節(jié)通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的趣味性與直觀性.學(xué)生通過積極參與，動腦、動手、動口，使活動、思維、語言有機(jī)結(jié)合，體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維分析與用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).在此過程中，學(xué)生不僅對“二面角的平面角”有了直觀上的感知，提高了空間想象力，而且抽象概括出了“二面角的平面角”的定義.只有這樣，學(xué)生獲得的體驗(yàn)才能更深刻、更牢固，才能實(shí)現(xiàn)真正意義上的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的有序、自然的生長，而實(shí)踐活動本身，也促使學(xué)生自然地融入到直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培育過程中.

2.在歸納、演繹中積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果僅僅停留在感性層面的活動經(jīng)驗(yàn)，那是很膚淺的，教師需要設(shè)置一定的活動方式，將數(shù)學(xué)思維活動提升到理性層面，以揭示感性經(jīng)驗(yàn)背后的理性數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

性質(zhì)探究是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的探究活動.教師在引導(dǎo)學(xué)生探究性質(zhì)時，應(yīng)留給學(xué)生充足的時間與空間，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、猜想、驗(yàn)證、提煉，讓學(xué)生在主動探究中掌握知識，獲得問題解決的能力，并積累大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

案例2 人教A版數(shù)學(xué)1“指數(shù)函數(shù)”圖象性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)探究

活動1 畫出下列兩組函數(shù)的圖象.

(1)函數(shù)y=2x和y=3x；

(教師點(diǎn)評學(xué)生所畫的圖象，并強(qiáng)調(diào)描點(diǎn)法的步驟)

活動2 對于以上兩組圖象，請仔細(xì)觀察它們的共同點(diǎn)、不同點(diǎn)與聯(lián)系點(diǎn).

(學(xué)生動手操作、分組討論，然后小組代表進(jìn)行成果匯報.)

小組代表1：函數(shù)的圖象都在x軸的上方.

對個別將函數(shù)圖象畫到了x軸下方的同學(xué)，教師沒有直接點(diǎn)出，而是引導(dǎo)他們利用函數(shù)解析式進(jìn)行自我否定、自我修正，終于得出函數(shù)的值域大于0，圖象一定在x軸上方.

小組代表2：函數(shù)的圖象都會過同一點(diǎn)(0,1).

小組代表3：指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)：當(dāng)01時，函數(shù)y=ax單調(diào)遞增.

師：好！大家還有其它的想法嗎？

活動3 請學(xué)生代表用幾何畫板演示指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)a的關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.

小組代表5：當(dāng)a>1時，a越大，圖象越靠近y軸；當(dāng)0

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)！剛剛我們用一些具體函數(shù)的圖象特征歸納出了指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì).但歸納所得到的性質(zhì)是否正確？我們需要進(jìn)行證明.請大家從解析式入手驗(yàn)證，并填寫指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的表格.(限于文章篇幅，驗(yàn)證和填表過程略去).

學(xué)生通過“作圖——觀察——猜想——討論——驗(yàn)證——提煉”等過程，得到了指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì).在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同的指數(shù)函數(shù)的“變”與“不變”規(guī)律性，將直觀感知與理性思維相結(jié)合，體現(xiàn)了從“具體問題出發(fā)→觀察、分析→類比、歸納→提出猜想→驗(yàn)證猜想→演繹證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般過程，從中積累經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生將來的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)提出的初衷[2].

3.在反思體驗(yàn)中內(nèi)化數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

弗賴登塔爾指出“反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力”.數(shù)學(xué)知識所具有的類比與統(tǒng)一的內(nèi)在聯(lián)系特征，使得學(xué)生所獲取的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)具有可遷移性，因此學(xué)生個體可以從已有的實(shí)踐活動經(jīng)驗(yàn)中尋求從事新的實(shí)踐活動的“生長點(diǎn)”，但必須給他們留足經(jīng)驗(yàn)反思與內(nèi)化的時空，讓學(xué)生經(jīng)歷反思、感悟、內(nèi)化等數(shù)學(xué)活動的全過程，及時總結(jié)與提升數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).長此以往，學(xué)生就會“數(shù)學(xué)地思考”，并發(fā)揮一般觀念的思維引領(lǐng)作用，遷移到其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

案例3 人教A版數(shù)學(xué)選修2—1對“橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”過程的反思

教學(xué)了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生反思，對公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行“再認(rèn)識”.

反思1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的定義，如何用文字語言和符號語言表示這兩個定義？

反思2 我們還可以進(jìn)行哪些方程的推導(dǎo)？表示的曲線又是什么呢？

學(xué)生躍躍欲試，“探個究竟”的欲望被充分調(diào)動起來.

反思的過程是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過程，不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵與外延的理解，幫助學(xué)生形成了對知識與方法的整體性認(rèn)識，而且為學(xué)生積聚了用代數(shù)方法研究幾何問題的正能量，有利于培養(yǎng)學(xué)生樂于探究、善于質(zhì)疑、求異創(chuàng)新的精神.一旦自省形式的反思成為學(xué)生的自覺行為，“被動接受”就能不斷被“主動生成”所取代，思維能力就能提高到一個由例及類的檔次，從而建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積累穩(wěn)定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，并利用這些活動經(jīng)驗(yàn)來開啟新知的切入點(diǎn)、挖掘新知的生長點(diǎn)，催生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升不是朝夕之功，而是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中循序漸進(jìn)、逐步發(fā)展的.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程，并發(fā)揮學(xué)生共同體的作用，充分利用討論、交流學(xué)習(xí)等方式，促進(jìn)個體經(jīng)驗(yàn)的交流與融合，從而幫助學(xué)生獲得和積累最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價值的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中落地生根.