高曉蕓 吳成茂 田小平

（西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710121）

1 引言

混沌行為廣泛存在于許多自然和非自然現(xiàn)象中，如香煙燃燒的運動，海水的潮汐運動，天氣和氣候［1］等，混沌理論科學(xué)研究促進(jìn)了人們對自然的認(rèn)識。混沌是一種非線性現(xiàn)象，是確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的類似隨機性的行為，確定但又難以預(yù)測［2］?；煦缡侵冈诜蔷€性動力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性、類似隨機的過程，這種過程既非周期又非收斂，并且對初值具有極其敏感的依賴性［3～6］。正是因為這些重要的性質(zhì)，混沌理論被廣泛應(yīng)用在不同的科學(xué)和工程領(lǐng)域［7～9］，尤其在密碼學(xué)和通信［10～12］領(lǐng)域?；煦缦到y(tǒng)的遍歷性、偽隨機性、有界性、對初始值高度敏感性，使混沌系統(tǒng)生成的偽隨機序列很適合于信息加密，具有良好的擴散和混亂效果。因此，如何產(chǎn)生一種具有優(yōu)良混沌性能的混沌系統(tǒng)顯得尤為重要。

近年來也不斷有新的混沌系統(tǒng)被提出，其中文獻(xiàn)［13］提出了一種利用已有的混沌映射獲取新混沌映射的輪切換系統(tǒng)，但生成的新混沌映射的混沌性能有限，不具有魯棒性［14］。文獻(xiàn)［15］引入了一個參數(shù)控制混沌系統(tǒng)來生成新的混沌映射，生成的混沌映射一些具有良好的魯棒性，而有的則混沌性能較差，不具穩(wěn)定性［16］。文獻(xiàn)［17］提出了一個新的一維混沌系統(tǒng)，可以生成具有魯棒性的新混沌映射，但是由于包含模塊化操作，故新混沌映射的性能可能無法在理論上進(jìn)行分析［18］。

針對基于正弦變換的混沌系統(tǒng)（sine-transform-based chaotic system，STBCS）構(gòu) 造 出 來 的Tent-Sine混沌映射的魯棒性、復(fù)雜性和不可預(yù)測性低等不足，文章提出了Tent-Sine混沌的延時混沌映射。首先是對Tent-Sine混沌映射執(zhí)行延時一到八個單位的延時操作，再通過Matlab仿真，對各個延時Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵、Kolmogorov熵測試與分析，實驗結(jié)果表明了該方法的有效性。

2 傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)

Sine映射、Tent映射是兩種常見的經(jīng)典混沌系統(tǒng)，它們將被用作種子映射來生成新的混沌映射。

Sine混沌映射是由正弦函數(shù)派生出來的正弦映射，它是將[0，1/π]范圍內(nèi)的輸入角度轉(zhuǎn)換到一定范圍內(nèi)輸出。正弦映射的數(shù)學(xué)模型定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，S(xi)表示Sine映射，r是控制參數(shù)。其分叉圖如圖1（a）所示。

Tent映射根據(jù)其范圍拉伸或折疊輸入變量，若輸入小于0.5，則延長輸入；否則折疊輸入。Tent映射定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，T(xi)表示Tent映射，r是控制參數(shù)。其分叉圖如圖1（b）所示。

分叉現(xiàn)象是指動力系統(tǒng)的定性行為隨著參數(shù)的改變而發(fā)生質(zhì)的變化，用于描述動力系統(tǒng)的輸出范圍隨其參數(shù)的變化情況。

3 正弦變換混沌映射系統(tǒng)

3.1 正弦變換混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法

正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造的原理示意圖如圖2所示。

圖2 正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造原理圖

其中 f(a，xi)和 g(b，xi)分別是具有控制參數(shù)a和b的兩個種子映射，該組合是兩個經(jīng)典種子混沌映射線性加權(quán)的輸出，而正弦變換對組合的結(jié)果執(zhí)行非線性變換。在每次迭代的過程中，輸入xi被同時反饋到 f(a，xi)和 g(b，xi)中，然后對f(a，xi)和g(b，xi)的組合輸出進(jìn)行正弦變換。

設(shè)N(xi)表示STBCS，其定義如下：

任何現(xiàn)有一維混沌映射都可用作STBCS的種子映射。用戶可將種子映射 f(a，xi)和g(b，xi)設(shè)置為相同或不同的混沌映射。

1）當(dāng) f(a，xi)和 g(b，xi)是相同的一維混沌映射時，STBCS可表示為

或

在這種情況下，兩個不同控制參數(shù)混沌映射的輸出線性組合，而并非線性變換以獲得更復(fù)雜的混沌行為，故STBCS的混沌性降低。

2）當(dāng)所選 f(a，xi)和 g(b，xi)是兩個不同的一維混沌映射時，式（3）中定義的STBCS具有交換性。使用不同的 f(a，xi)和g(b，xi)可生成大量新的混沌映射，這些新的混沌映射和它們對應(yīng)的種子混沌映射是完全不同的，且總是具有更復(fù)雜的混沌行為。

此外，圖2中STBCS的結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步擴展為三個或更多個種子映射。如圖3所示。

圖3 多種子映射的混沌系統(tǒng)構(gòu)造原理

圖3 為具有N個種子映射的STBCS擴展原理示意圖。每一次迭代會將輸入xi同時反饋到N個種子映射中，即 f1(a1，xi)，f2(a2，xi)，…，fN(aN，xi)，并且對所有種子映射的輸出進(jìn)行正弦變換，這為用戶選擇種子混沌映射提供了靈活性，生成的混沌映射具有更復(fù)雜的混沌行為和參數(shù)設(shè)置，因此它們具有更好的混沌性能，并產(chǎn)生更多的隨機的、不可預(yù)測的輸出序列。然而利用更多的種子映射可能會帶來一些負(fù)面影響，比如時間延遲，實施困難和分析復(fù)雜等問題。

3.2 基于正弦變換混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌映射方法的一個例子

本節(jié)將介紹一個現(xiàn)有的一維種子混沌映射生成的混沌映射的例子。下面將以Tent-Sine（TS）映射為例對基于正弦變換的混沌系統(tǒng)進(jìn)行說明。

定義：當(dāng)選擇種子映射 f(a，xi)為Tent映射，g(b，xi)為Sine映射時，可以生一個稱為Tent-Sine（TS）的新混沌映射，并將其控制參數(shù)a、b分別設(shè)置為r和1-r，則TS混沌映射可定義如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi)。

3.3 改進(jìn)的延時TS混沌的新型映射

延時TS混沌映射的表達(dá)式如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi-m)，m=1，2，…，8 ，m 表示TS混沌映射延時的單位數(shù)，如當(dāng)m=1時表示TS混沌映射延時一個單位。

為了便于理解，下面也給出種子映射Tent映射、Sine映射的延時表達(dá)式：

1）延時Tent映射的表達(dá)式：

2）延時Sine映射的表達(dá)式：

4 實驗結(jié)果及性能分析

基于正弦變換混沌系統(tǒng)生成的Tent-Sine的延時混沌映射具有更好混沌性能。為了證明該性質(zhì)，本節(jié)評估了TS延時混沌映射，并將原始未延時的、延時一到八個單位的新混沌映射進(jìn)行比較和分析。具體從以下三個方面展開：分叉圖、樣本熵（Sample entropy，SE）［19］和 Kolmogorov熵（Kolmogorov entropy，KE）［20］。

4.1 分叉圖—混沌性和魯棒性分析

分叉圖用于描述動態(tài)系統(tǒng)的輸出范圍隨參數(shù)的變化情況。如圖4（a）為原始未延時TS映射的分叉圖，圖4（b）～（i）分別為TS映射延時一到八個單位時，其輸出范圍隨控制參數(shù)r變化的分叉圖。

從圖中可以看出，未延時的TS混沌映射在2＜r＜4時不具備魯棒性的混沌行為，而經(jīng)過延時的TS混沌映射在整個參數(shù)范圍內(nèi)都具有良好的魯棒性和混沌性。

4.2 樣本熵（SE）—復(fù)雜性分析

樣本熵（SE）來源于近似熵，它是時間序列復(fù)雜度的度量，可用來描述由動態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生序列的相似性。樣本熵的值越大，其規(guī)律程度越低，即動態(tài)系統(tǒng)越復(fù)雜。如圖5所示，對未延時TS混沌映射、延時一到八個單位的TS混沌映射的SE曲線圖作對比。圖5（a）為原始未延時TS映射的SE曲線圖，圖5（b）～（i）分別為TS混沌映射延時一到八個單位的SE曲線圖。

從圖中可觀察到，未延時的TS映射，當(dāng)r≈0.04時 ，SE=0；當(dāng) 0.04＜r≤0.92時 ，SE＜1；當(dāng)0.92＜r≤1時，SE＞1。TS映射延時一個單位時，當(dāng)0＜r≤1時，SE＜0.5。TS映射延時兩個單位時，當(dāng)0＜r≤0.18時，SE≤1；當(dāng) 0.18＜r≤1時，SE＞1。TS映射延時三個單位時，當(dāng) 0＜r≤0.1且0.2＜r≤1時，0.5＜SE≤1；當(dāng) 0.1≤r＜0.2時，SE＞1。TS映射 延 時 四 個 單 位 時 ，當(dāng) 0＜r≤0.2時 ，0.6＜SE＜0.8；當(dāng) 0.2＜r≤1時，SE≤0.6。TS映射延時五個單位時，當(dāng) 0＜r≤0.2時，0.5＜SE＜0.6；當(dāng) 0.2＜r≤1時，0.3＜SE＜0.5。TS映射延時六個單位時，當(dāng)0＜r≤1時，0.4＜SE＜0.5。TS映射延時七個單位時，當(dāng)0＜r≤1時，0.3＜SE＜0.4。TS映射延時八個單位時，當(dāng)0＜r≤1時，0.2＜SE＜0.3。從以上分析來看，當(dāng)TS映射延時兩個單位時，其SE值最大、大于1的范圍更廣且相對將穩(wěn)定，這就意味著提出的延時兩個單位的TS映射比原始未延時的、延時其他單位的TS映射規(guī)律程度低，即動態(tài)系統(tǒng)更具復(fù)雜性。

圖4 TS映射的分叉圖

圖5 TS映射的SE曲線圖

4.3 Kolmogorov熵—不可預(yù)測性分析

KE是一種度量熵，它為有限對象的隨機性提供了數(shù)學(xué)解釋。它可用于使用其先前t次輸出軌跡需要多少額外信息去預(yù)測第（t+1）次輸出。確定的KE意味著需要額外的信息來預(yù)測軌跡，KE越大表示所需的信息越多。因此，具有正KE值的動力系統(tǒng)被認(rèn)為是不可預(yù)測的，而更大的KE意味著更好的不可預(yù)測性。如圖6對由STBCS生成的原始未延時的TS混沌映射、延時一到八個單位的TS混沌映射的KE曲線圖作對比。圖6（a）為原始未延時的TS混沌映射的KE曲線圖，圖6（b）～（i）分別為TS混沌映射延時一到八個單位的KE曲線圖。

圖6 TS映射的KE曲線圖

從圖中可以看出，未延時的TS映射，當(dāng)0＜r≤0.04時，KE=0；當(dāng)0.04＜r≤0.8時，KE＜1；當(dāng)0.8＜r≤1時，KE＞1。TS映射延時一個單位時，當(dāng) 0＜r≤0.8 時 ，KE＜0.5 ；當(dāng) 0.8＜r≤1 時 ，0.5＜KE＜0.7。TS映射延時兩個單位時，當(dāng)0＜r≤0.22時，0.2＜KE＜0.8；當(dāng) 0.22＜r≤1時，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時三個單位時，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.8 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時四個單位時，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.7 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時五個單位時，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.7 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時六個單位時，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.6 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.6＜KE＜0.7；TS映 射 延 時 七 個 單 位 時 ，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.4＜KE＜0.5 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.5＜KE＜0.6。TS映射延時八個單位時，當(dāng)0＜r≤0.1 時 ，0.3＜KE＜0.4 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時 ，0.4＜KE＜0.5。從以上分析來看，當(dāng)TS映射延時兩個單位、三個單位時，其KE值較未延時穩(wěn)定，且相對延時其他單位的TS映射KE值更大。故延時兩個或三個單位的TS映射具有更好的不可預(yù)測性，其混沌性能更優(yōu)。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于正弦變換混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的Tent-Sine混沌映射的延時混沌映射。它首先是對現(xiàn)有的種子映射Tent映射、Sine映射的輸出進(jìn)行線性加權(quán)組合，其次對組合的輸出結(jié)果進(jìn)行正弦函數(shù)變換，產(chǎn)生出Tent-Sine混沌映射，再對產(chǎn)生的Tent-Sine混沌映射分別進(jìn)行一到八個單位的延時處理，得到延時后的新混沌映射，最后通過Matlab軟件仿真出各個延時的Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵曲線和Kolmogorov熵曲線，并對它們進(jìn)行一系列的測試、分析和對比。實驗結(jié)果表明，文章中提出的延時Tent-Sine混沌映射比未延時的Tent-Sine混沌映射有更大的混沌范圍，延時兩個單位的Tent-Sine混沌映射樣本熵的值大于1的范圍比原始未延時的、延時其他單位的映射均有所擴大，延時兩個和三個單位的Tent-Sine混沌映射其Kolmogorov熵的值更具穩(wěn)定性。延時Tent-Sine混沌映射更具魯棒性，復(fù)雜性更高，具有更好的不可預(yù)測性。