趙 慧，呂 毅，竇鵬鵬

(1.西安航空學院 飛行器學院， 西安 710077； 2.西北工業(yè)大學 航空學院， 西安 710072)

工程構件和機器零部件的失效常常發(fā)生在有應力集中的裂紋位置。在載荷的作用下，裂紋一般表現為三維裂紋，這些裂紋往往會造成受力構件的強度下降甚至零件斷裂。研究表明裂紋擴展對幾何形狀、應力和裂紋的大小及位置非常敏感，特別是三維裂紋內部具有十分復雜的應力應變場。在進行三維裂紋分析時，必須考慮三維裂紋應力應變場的影響[1]。在當前的工程分析中，普遍的做法是使用二維裂紋擴展理論或者是工程經驗來對三維裂紋進行擴展預測，但是以二維斷裂力學理論為基礎的疲勞壽命模型往往考慮不到一些三維因素，例如構件的厚度和應力狀態(tài)等。因此，研究工程結構中三維裂紋擴展軌跡的厚度效應具有重要的工程實用意義。

結構厚度對裂紋擴展軌跡有著顯著的影響，近年來，國內外學者針對厚度對裂紋擴展軌跡的影響做了大量的研究。應力狀態(tài)的不同是導致厚度效應的主要原因，Irwin[2]最早提出用約束效應研究裂紋擴展中的厚度影響。1981年，Newman[3]提出總體約束因子，考察了不同厚度下的裂紋尖端拘束和斷裂韌性之間的關系。張曉彤[5]建立了考慮厚度效應的裂紋前緣塑性區(qū)評估公式，為含裂紋損傷構件的疲勞壽命評估提供了參考。趙凌燕等[6]認為由于裂尖拘束效應的影響，含裂紋的厚試樣具有更大的裂紋擴展驅動力。張勝等[7]對不同厚度的缺口試樣進行了疲勞裂紋擴展試驗，并對裂紋前沿形貌進行了方程擬合，取得了與試驗相符合的結果。高潮、伍黎明和何宇廷等[8]通過能量釋放率的概念，對三維裂紋前緣進行了模擬仿真，取得了與試驗相符合的結果。

厚度不僅僅體現在對應力狀態(tài)的影響，還體現在對裂紋擴展斷口形貌的影響。對于大多數鋁合金材料，會發(fā)生如圖1所示的裂紋擴展斷口形貌。因為裂紋長短不同則裂尖應力狀態(tài)不同，應力狀態(tài)不同則最大剪應力所在平面就不同，最終導致斷口形式不相同。因此，裂紋在疲勞載荷作用下，其斷口從平面應變對應的平斷口逐步轉變?yōu)槠矫鎽男睌嗫赱9]。Newman[10]對轉換后的斷裂參數進行研究后發(fā)現，該擴展模式的轉變與結構厚度有著密切關系。

圖1 裂紋擴展從拉伸模式轉換為剪切模式

本研究基于ANSYS有限元軟件對三維穿透裂紋結構進行參數化建模，將含裂結構分為非裂紋體和含裂紋體，對它們進行獨立建模和劃分網格，通過位移法求解裂紋前緣的應力強度因子，對受拉伸載荷作用的三維薄板穿透裂紋和三維大厚度板穿透裂紋進行裂紋擴展軌跡分析，揭示出厚度對于三維穿透裂紋擴展軌跡的影響規(guī)律。

1 三維裂紋擴展軌跡模擬方法

1.1 基本思路

利用有限元軟件ANSYS進行裂紋擴展軌跡模擬的基本思路是：① 建立初始含裂模型；② 加載求解；③ 位移法[11]計算應力強度因子值；④ 計算裂紋擴展增量和擴展方向；⑤ 建立新的裂紋和有限元模型，并不斷重復②～⑤即可實現裂紋擴展軌跡的自動擴展。

在對含有三維裂紋的結構進行有限元建模過程中，裂紋前緣通常劃分出許多的結點。這些結點在復雜的受力狀態(tài)以及厚度效應的影響下呈現出不同的應力應變場，所以各結點的擴展方向及擴展增量也各不相同。為了得到裂紋擴展規(guī)律，需要對裂紋前緣各個結點的擴展方向(偏轉角度θ0)和擴展增量Δa進行全面分析。

1.2 確定擴展增量

在確定裂紋前緣各結點擴展增量時，先確定裂紋前緣某一結點的擴展增量，則其余結點的擴展增量可通過Paris公式[12]間接求得，Paris公式一般形式為：

(1)

式中：C、n為材料常數，一般由試驗確定，且隨應力比R的改變而改變；ΔK=Kmax-Kmin為應力強度因子的幅值。

(2)

1.3 確定擴展方向

預測裂紋擴展行為的過程中存在大量的冗長計算，為了便于實際應用，Richard[14]提出了一個近似函數，該判據采用的是標準化的應力強度因子作為裂紋擴展的主要控制參量，因此避免了大量繁瑣復雜的計算，有很大的工程實用價值，其中標準化的應力強度因子由式(3)～(5)計算得到：

(3)

(4)

(5)

其中，KⅠ、KⅡ和KⅢ分別為Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應力強度因子。

該判據定義下的裂紋擴展角按如下公式計算：

(6)

(7)

由式(6)可知，對Ⅰ型裂紋而言，當KⅡ=0時θ0=0°，裂紋將沿著原來的裂紋面擴展，不發(fā)生偏轉；而對于KⅢ=0，ψ0=0°的Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂問題，裂紋擴展的方向完全由θ0確定。分析二維裂紋時，A=155.5°，B=-83.4°；分析三維裂紋時，A=140°，B= -70°。θ0的正負由Ⅱ型的應力強度因子決定，即KⅡ>0時，θ0<0°；KⅡ<0時，θ0>0°。由于本文模型不涉及Ⅲ型裂紋，對C和D的取值不再贅述。

對于本文所分析的三維穿透裂紋結構，先由位移法計算得到裂紋前緣各結點的應力強度因子值，再由Richard判據計算得到各結點的偏轉角θ10,θ20…,θm0,…。

1.4 裂紋擴展程序

對于三維穿透裂紋，裂紋前緣可用曲線來描述，為充分表征其裂紋擴展規(guī)律，在網格劃分階段適當控制裂紋前緣結點個數，通過各個結點的擴展規(guī)律來控制新的裂紋前緣的擴展形態(tài)與軌跡。在確定各結點擴展方向之后，結合其擴展增量，可得出擴展后的位置，為了使新的裂紋前緣更加規(guī)范，通過三次樣條曲線來擬合構建新的裂紋前緣的幾何形狀，如圖2所示。

圖2 裂紋前緣擴展示意圖

得到新的裂紋前緣后，將原有裂紋模型刪除，根據新的裂紋前緣建立新的裂紋體。利用ANSYS軟件APDL語言對裂紋體與非裂紋體進行參數化建模，然后對新的模型進行加載求解得到下一步擴展后的裂紋前緣結點，利用三次樣條曲線擬合得到新的裂紋前緣。對上述步驟循環(huán)多次后，通過三次樣條曲線在每一步擴展過程中擬合得出的裂紋前緣形狀，即為對應裂紋的擴展形態(tài)，而裂紋擴展過程中的路徑即為裂紋擴展軌跡。

本研究根據以上數值模擬的思想，使用數學方法并結合ANSYS參數化語言(APDL語言)編制了相應的子程序，實現了基于ANSYS軟件的三維裂紋擴展軌跡研究仿真系統(tǒng)。

2 三維穿透裂紋擴展模擬

2.1 三維薄板穿透裂紋擴展模擬

2.1.1模型幾何參數

首先分析含穿透裂紋的三維薄板結構，在拉伸載荷作用下的裂紋擴展，結構如圖3所示。模型幾何參數為：長80 mm，寬40 mm，厚度20 mm，含穿透邊裂紋，裂紋初始長度a=6 mm，受軸向載荷σ=100 MPa。模型材料為2024-T62 鋁合金，材料參數為：彈性模量E=71 000 MPa，泊松比ν=0.33。

圖3 穿透邊裂紋受單向拉伸模型

2.1.2有限元模型

為了體現裂紋尖端奇異性，在模擬裂紋尖端應力應變場時采用奇異單元，對于三維結構，在裂紋尖端前緣采用三維20結點六面體單元的楔形退化形式，單元類型如圖4所示，對于其他部位采用二次四面體單元。

圖4 20結點單元及退化楔形單元

為了兼顧計算的速度與精確度，將有限元模型分為非裂紋體模型和裂紋體模型以便劃分不同類型的網格[15]，此模型的幾何形狀獨立性還表現在被鑲嵌體自由表面不局限于平面，可以實現任意形狀的裂紋擴展，增強程序的通用性。圖5為含裂結構幾何構造過程示意圖。

圖5 含裂結構幾何構造過程示意圖

對于三維裂紋結構，由于三維裂紋的前緣往往是較為復雜的形狀，ANSYS軟件中并沒有提供類似于二維裂紋那樣的方法來直接建立裂紋尖端局部網格，ANSYS的命令流也無法直接進行裂紋模擬，可以通過先對裂紋體的表面使用KSCON命令進行二維裂紋模擬，然后通過掃略VSWEEP方式來生成整個裂紋體的三維網格同時刪除表面的二維網格。裂紋前緣單元為20結點等參元(SOLID186)的楔形退化形式，如圖6所示。裂紋體有限元網格模型如圖7所示。

圖6 裂紋前緣楔形網格

圖7 裂紋體有限元網格模型

再對模型的非裂紋體部分進行有限元網格劃分。為了提高計算速度，其他部分的網格單元密度較小，選用二次四面體單元自由劃分。整體模型的有限元網格如圖8。

圖8 整體模型有限元網格

完成上述的建模后對結構進行加載和分析，由ANSYS后處理功能可得到結構的應力分布，如圖9和圖10所示。

2.1.3裂紋前緣應力強度因子

本算例中的三維裂紋受到自由表面和厚度效應的影響，靠近自由表面兩端處于平面應力狀態(tài)，中間部位處于平面應變狀態(tài)。在初始裂紋前緣網格劃分過程中，裂紋前緣布置20個結點，兩邊較密，中間較疏，如圖11所示。由于ANSYS計算應力強度因子是要求X軸與裂紋面平行，Y軸與裂紋面垂直，故在裂紋尖端位置建立局部坐標系，生成的局部坐標系如圖12所示。

圖9 結構應力云圖

圖10 裂紋前緣應力云圖

圖11 裂紋前緣結點分布示意圖

圖12 裂紋尖端局部坐標

圖13 裂紋前緣各結點應力強度因子分布

圖14 裂紋前緣標準化應力強度因子計算值與理論解[16]曲線

從圖14可以看出，考慮厚度效應時，裂紋前緣接近自由表面的點處的應力強度因子值小于理論解，中間點處的應力強度因子值大于理論解。因此在進行裂紋擴展分析過程中，不能忽略裂紋前緣的厚度效應。

對該模型進行了6次裂紋擴展模擬，圖15給出了每次擴展時裂紋前緣結點沿厚度方向(即為Z軸方向)的應力強度因子分布規(guī)律(其中crack代表初始裂紋前緣應力強度因子，crack1-crack6分別代表擴展1次到擴展6次的裂紋前緣應力強度因子)。

圖15 裂紋前緣各結點的應力強度因子曲線

從圖15可以看出，前4次擴展裂紋前緣各結點的應力強度因子分布與裂紋初始狀態(tài)時的應力強度因子分布相似，而后2次擴展時裂紋前緣應力強度因子分布“雜亂無章”，反映了裂紋擴展過程中應力場的變化，即：即：三維薄板穿透裂紋在單向拉伸載荷作用下，裂紋沿初始裂紋面擴展，靠近自由表面兩端處于平面應力狀態(tài)，中間部位處于平面應變狀態(tài)，即位于中間部位的裂紋應力強度因子比靠近自由表面的應力強度因子大，但擴展到后期時沿裂紋前緣的應力強度因子并不完全遵循這樣的變化規(guī)律，由于厚度效應的影響，應力強度因子分布成為隨機排布。

2.1.4裂紋擴展形態(tài)與軌跡分析

在計算裂紋擴展時，假設裂紋前緣各結點之中應力強度因子最大值所對應的結點的擴展增量Δai=1 mm，則其余各結點的擴展增量可由式(2)依次得出，計算出各個結點擴展量之后，利用三次樣條曲線擬合出新的裂紋前緣(即裂紋擴展形態(tài))，之后更新有限元模型，進行裂紋擴展分析。圖16給出了6次擴展時的裂紋形態(tài)(其中crack代表初始裂紋前緣形態(tài)，crack1-crack6分別代表擴展1次到擴展6次的裂紋前緣形態(tài)，Z軸為厚度方向，Y軸為裂紋擴展方向)?？梢钥闯鲅睾穸确较?，兩邊擴展較慢，中間擴展較快，裂紋前緣在擴展多次后呈現隧道型。

圖16 裂紋前緣形態(tài)

2.2 三維大厚度板穿透裂紋擴展模擬

2.2.1模型幾何參數

圖17給出的是含穿透裂紋的大厚度板三維結構。模型參數為：長80 mm，寬40 mm，厚度60 mm，含穿透邊裂紋，初始裂紋長度a=6 mm，受軸向載荷σ=100 MPa。模型材料為2024-T62 鋁合金，材料參數為：彈性模量E=71 000 MPa，泊松比ν=0.33。

圖17 含穿透邊裂紋的三維大厚度板

2.2.2有限元模型

網格劃分時裂紋尖端前緣仍然采用三維20結點六面體單元的楔形退化形式(SOLID186)(如圖4所示)。有限元建模[17]仍然分為兩部分：非裂紋體和裂紋體進行建模，裂紋體有限元模型如圖18所示。

圖18 裂紋體有限元模型

2.2.3裂紋擴展形態(tài)與軌跡

分析流程與薄板結構裂紋擴展分析流程相同，利用本文建立的三維裂紋擴展軌跡仿真系統(tǒng)，對該模型進行裂紋擴展分析。圖19給出了經過5次擴展的裂紋前緣形態(tài)(其中crack代表初始裂紋前緣形態(tài)，crack1-crack5分別代表擴展1次到擴展5次的裂紋前緣形態(tài)，Z軸為厚度方向，Y軸為裂紋擴展方向)。從圖19可以看出，隨著裂紋擴展的發(fā)展，裂紋前緣呈現出雙隧道型，說明對于大厚度結構裂紋前緣應力狀態(tài)更加復雜。對于三維大厚度板穿透裂紋在拉伸載荷作用下，內部呈現出復雜的應力應變狀態(tài)，可近似認為靠近自由表面兩端與中間部位處于平面應力狀態(tài)，而中間與兩端之間的部分處于平面應力狀態(tài)，即中間與兩端的應力強度因子小于內部的應力強度因子，故中間與兩端的裂紋前緣擴展較快，因此裂紋前緣會呈現 “雙隧道型”。

圖19 裂紋前緣形態(tài)

3 驗證

三維穿透裂紋在擴展過程中表現為“隧道效應”的特征[18-19]，即對于包含有初始直線裂紋前緣的穿透裂紋試樣，隨著試樣經受循環(huán)加載，中心處裂紋擴展速率大于靠近自由表面兩端處裂紋，形成隧道形狀的裂紋前緣形貌，稱之為“隧道效應”。

在文獻[20]中開展的厚度分別為20 mm、60 mm的7050-T7451鋁合金單側裂紋板(L-T方向)拉伸疲勞裂紋擴展試驗中也發(fā)現，隨著試樣厚度的增加，裂紋前緣形貌發(fā)生改變，“隧道效應”減弱。一般當試樣厚度增大到大于試樣的寬度時，甚至會出現了“雙隧道效應”(或稱“馬鞍效應”)，裂紋前緣形貌呈“馬鞍型”。試驗載荷及環(huán)境工況見表1，疲勞載荷為常幅載荷，正弦波形，應力比為0.06。兩組試樣斷口宏觀形貌如圖20和圖21所示，其中圖20為厚20 mm試樣的斷口形貌，圖21為厚60 mm試樣的斷口形貌。

表1 不同厚度板單側裂紋擴展試驗載荷及環(huán)境條件

圖20 厚20 mm試樣的斷口形貌

圖21 厚60 mm試樣的斷口形貌

對比仿真模擬結果與文獻[20]試驗結果，可以看出裂紋前緣仿真結果與試驗結果吻合較好，說明本文仿真方法可行。

4 結論

1) 基于ANSYS軟件建立了三維裂紋擴展軌跡仿真系統(tǒng)。利用該系統(tǒng)模擬了拉伸載荷作用下三維穿透裂紋的擴展軌跡，研究了裂紋前緣應力強度因子的分布規(guī)律，揭示出裂紋擴展規(guī)律，并與試驗結果進行了對比，證明了本文建立的仿真系統(tǒng)的可靠性和準確性。

2) 三維薄板穿透邊裂紋在單向拉伸載荷作用下，中間的應力強度因子大于兩端，但擴展到一定階段后沿裂紋前緣的應力強度因子變得“雜亂無章”。裂紋沿初始裂紋面擴展，內部可認為是平面應變狀態(tài)，且中間裂紋的擴展速度比兩邊裂紋的擴展速度要快，裂紋前緣形態(tài)呈“隧道型”。

3) 三維大厚度板穿透邊裂紋在拉伸載荷作用下，內部呈現出復雜的應力應變狀態(tài)，不能簡單地認為是平面應變狀態(tài)。裂紋前緣會呈現出“馬鞍型”，即為“雙隧道型”。

4) 本文數值仿真結果與文獻[20]試驗結果證明對于不同厚度的三維裂紋，內部的應力應變場相差很大，裂紋前緣也呈現出完全不同的形態(tài)。