魏綺蕓

【摘要】新定義問題是近幾年高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，對于高中生來說，是必需掌握，但又不易掌握的一類題型。

【關(guān)鍵詞】新定義 集合 函數(shù) 向量 數(shù)列

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）32-0136-01

一、集合中的新定義問題

例1 設(shè)U={1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N={1，3}，則稱（M，N）為一個“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”的個數(shù)（規(guī)定（M，N）與（N，M）不同）為____。

解析：符合條件的理想配集有①M={1，3}，N={1，3}；②M={1，3}，N={1，2，3}；③M={1，2，3}，N={1，3}.共3個。

點評：解決集合中新定義問題的兩個關(guān)鍵點

（1）緊扣新定義：新定義型試題的難點就是對新定義的理解和運用，在解決問題時要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中。

（2）用好集合的性質(zhì)：集合的性質(zhì)是破解集合類新定義型試題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)。

二、新定義下的函數(shù)問題

例2（2017·山東卷）若函數(shù)exf（x）（e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)。下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為____。

①f（x）=2-x ②f（x）=3-x ③f（x）=x3 ④f（x）=x2+2

解析：對于①，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·2-x=（ ）x，∵函數(shù)y=（ ）x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，∴①符合題意。

對于②，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·3-x=（ ）x， ∵函數(shù)y=（ ）x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，∴②不符合題意。

對于③，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·x3，令y=ex·x3，則y′=（ex·x3）′=ex·x2（x+3），當(dāng)x∈（-∞，-3）時，y′<0，函數(shù)y=ex·f（x）單調(diào)遞減，故③不符合題意。

對于④，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex（x2+2），令y=ex（x2+2），則y′=[ex（x2+2）]′=ex（x2+2x+2）>0，∴函數(shù)y=ex（x2+2）在 （-∞，+∞）上單調(diào)遞增，∴④符合題意。

∴符合題意的為①④。

點評：（1）解決此類新定義問題首先要準(zhǔn)確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解。如本例通過對M函數(shù)的理解，將問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否滿足條件。

（2）函數(shù)新定義問題主要包括兩類：一是概念型，即基于函數(shù)概念背景的新定義問題，此類問題常以函數(shù)的三要素（定義域、對應(yīng)法則、值域）作為重點，考查考生對函數(shù)概念的深入理解；二是性質(zhì)型，即基于函數(shù)性質(zhì)背景的新定義問題，主要涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、對稱性等有關(guān)性質(zhì)的延伸，旨在考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力。

三、新定義下的平面向量問題

例3 定義平面向量的一種運算a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a與b 的夾角，給出下列命題：

①若〈a，b〉=90°，則a⊙b=a2+b2；

②若|a|=|b|，則（a+b）⊙（a-b）=4a·b；

③若|a|=|b|，則a⊙b≤2|a|2；

④若a=（1，2），b=（-2，2），則（a+b）⊙b= 。

其中真命題的序號是____。

解析： ①中，因為〈a，b〉=90°，則a⊙b=|a+b|×|a-b|=a2+b2，所以①成立；

②中，因為|a|=|b|，所以〈（a+b），（a-b）〉=90°，所以（a+b）⊙（a-b）=|2a|×|2b|=4|a||b|，所以②不成立。

③中，因為|a|=|b|，所以a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉≤ |a+b|×|a-b|≤ =2|a|2，所以③成立。

④中，因為a=（1，2），b=（-2，2），所以a+b=（-1，4），sin〈a+b，b〉= ，所以（a+b）⊙b=3 × × = ，所以④不成立。

點評：本例是新定義下平面向量的運算，解答本題關(guān)鍵是把此定義運算轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的平面向量數(shù)量積運算，命題便可判斷。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫明科.《金版新學(xué)案.新課標(biāo).高三數(shù)學(xué).文科》[M]北京：團(tuán)結(jié)出版社，2009.3.