王續(xù)宏， 李翔宇

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610031)

0 引 言

軸向受載的梁由于其能夠提升抗拉和抗彎強(qiáng)度而被廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)中.例如，在宏觀尺度上，軸向受載梁經(jīng)常被用在橋梁、鐵路和隧道等基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和航空工業(yè)中的關(guān)鍵部位[1-2]；而在微納米尺度，軸向受到壓力的納米線常被埋在PDMS基體中構(gòu)成結(jié)構(gòu)的一部分[3-5].因此，軸向受載的梁的變形行為是一個(gè)很重要的研究課題.例如，Simsek等[6-7]基于鐵木辛柯梁理論，采用修正的偶應(yīng)力理論和高階梁理論研究了功能梯度納米梁的彎曲問(wèn)題；Ansari等[8]為了修正鐵木辛柯梁理論，采用應(yīng)力梯度彈性理論考察了橫向剪切變形的影響；Li等[9]采用拉格朗日運(yùn)動(dòng)關(guān)系研究了考慮摩擦影響的棱柱鐵木辛柯梁的大變形問(wèn)題；Tuna等[10]基于初始積分模型，研究了歐拉—伯努利梁和鐵木辛柯梁的靜力彎曲行為并得到了解析解.

事實(shí)上，對(duì)于鐵木辛柯梁軸向力在變形時(shí)的方向有兩種不同的假設(shè)：一種認(rèn)為，軸力的方向沿著中性軸的方向[11-13]，另一種認(rèn)為，軸力的方向垂直于變形后的橫截面[14-15].對(duì)此，Chen等[16]通過(guò)引入躍遷系數(shù)建立了一個(gè)統(tǒng)一的鐵木辛柯梁模型，并研究了梁的強(qiáng)迫振動(dòng).但隨著躍遷系數(shù)的引入，有許多典型的問(wèn)題需要解決，比如新近提出的梁模型的靜態(tài)響應(yīng)問(wèn)題.對(duì)此，本研究主要分析了躍遷系數(shù)對(duì)軸向受載鐵木辛柯梁彎曲行為的影響：首先，推導(dǎo)出了控制方程，再通過(guò)拉普拉斯變換對(duì)其進(jìn)行處理，得到了方程的解析解；其次，展開數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證當(dāng)前解的正確性并考察了躍遷系數(shù)對(duì)鐵木辛柯梁彎曲行為的影響.

1 問(wèn)題描述和解決

1.1 問(wèn)題描述

在笛卡爾坐標(biāo)系Oxy中，考慮一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)、高為h，在軸向和橫向分別受力為T和P的梁(見(jiàn)圖2).梁的材料參數(shù)為：楊氏模量為E，剪切模量為G，密度為ρ，橫截面面積為A，慣性矩為I.

圖1鐵木辛柯梁模型示意圖

由文獻(xiàn)[16]可得軸向受載鐵木辛柯梁的控制方程為，

EIφ″+(κGA+αT)(w′-φ)=0

(κGA+αT)(w″-φ′)-Tw″=P

(1)

式中，w和φ分別表示撓度和轉(zhuǎn)角，α表示軸力方向的躍遷系數(shù).在本研究中，α在0到1之間變化，當(dāng)α=0時(shí)，對(duì)應(yīng)軸力的方向沿著中性軸的方向，當(dāng)α=1時(shí)，對(duì)應(yīng)軸力的方向垂直于變形后的橫截面，壓力(或拉力)被假定為正(或負(fù)).將(1)式表述為撓度的方程，可以得到，

w″″+a2w″=f(x)

(2)

其中，

(3)

a1=κGA-(1-α)T,a2=κGA+αT

(4)

式中，κ為剪切修正系數(shù).

假定在梁上任意點(diǎn)x0處受到一個(gè)大小為P的集中力，則方程為，

(5)

式中，δ()為狄拉克函數(shù).式(5)的解是數(shù)學(xué)上的格林函數(shù)解，對(duì)于解決很多相關(guān)的問(wèn)題十分重要.例如，在梁上施加一個(gè)分布力P(x)，可通過(guò)疊加原理得到相應(yīng)的撓度，

(6)

1.2 拉普拉斯變換

根據(jù)已經(jīng)給出的控制方程，對(duì)式(5)關(guān)于坐標(biāo)x進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到，

(7)

式中，w(0)、w′(0)、w″(0)、w?(0)是待定常數(shù)，s是拉普拉斯復(fù)數(shù).對(duì)式(7)進(jìn)行拉普拉斯逆變換可以得到，

w(x;x0)=H(x-x0)Ψ1(x-x0)+w(0)Ψ2(x)+

w′(0)Ψ3(x)+w″(0)Ψ4(x)+w?(0)Ψ5(x)

(8)

式中，H(x)是單位階躍函數(shù).

方程Ψi(x)的定義如下，

(9)

通過(guò)拉普拉斯變換可得到式(5)的通解，而式(8)中的待定常數(shù)可以通過(guò)邊界條件進(jìn)行確定.

1.3 待定常數(shù)的確定

通過(guò)邊界條件可確定相應(yīng)條件下顯式表達(dá)式所需的待定常數(shù).在確定這些常數(shù)之前，先得到轉(zhuǎn)角φ、彎矩M和剪力V確切的表達(dá)式如下所示，

(10)

由式(8)可得，

(11)

本研究中考慮4種常見(jiàn)的邊界條件，即簡(jiǎn)支梁、固支梁、懸臂梁、一端簡(jiǎn)支一段固支的梁.其中，對(duì)于簡(jiǎn)支梁，w(0)=0,M(0)=0,w(L)=0,m(L)=0；對(duì)于固支—簡(jiǎn)支，w(0)=0,φ(0)=0,w(L)=0,M(L)=0;對(duì)于固支梁，w(0)=0,φ(0)=0,w(L)=0,φ(L)=0；對(duì)于懸臂梁，w(0)=0,φ(0)=0,M(L)=0,V(L)=0.

如此，可以通過(guò)邊界條件確定相應(yīng)的待定常數(shù)，將其代回(8)式中，便可以得到多種邊界條件下?lián)隙鹊娘@式表達(dá)式.

2 數(shù)值分析

考慮兩種類型的力，即集中力和分布力，將其施加在一個(gè)特定參數(shù)的鐵木辛柯梁上.材料具體參數(shù)如下，E=7.0×1010N/m2,G=2.61×1010N/m2，L=0.5 m,κ=0.87,ρ=2 778 kg/m3，橫截面是高為h的正方形.為了方便計(jì)算，引入以下的無(wú)量綱參數(shù)，

式中，nH和nC為無(wú)量綱化的軸向壓力，η表示高跨比.簡(jiǎn)支梁和固支梁的臨界屈曲力分別是，

(12)

2.1 解的有效性

為了驗(yàn)證當(dāng)前結(jié)果的有效性，本研究對(duì)解析解和有限元(FEM)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，考慮以下兩種情形：其一，在梁的中點(diǎn)處施加單位大小的集中力；其二，在梁表面施加集度為單位力的分布力.這兩種情形下，梁的高跨比均為0.2，且都在軸向受到一個(gè)單位大小的力.在數(shù)值模擬計(jì)算中，采用商業(yè)有限元軟件ANSYS 15.0，并用BEAM 188梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐志W(wǎng)格.在模擬中，設(shè)有1 000個(gè)單元和2 002個(gè)節(jié)點(diǎn).

由圖2可以看出，解析結(jié)果和有限元結(jié)果較為吻合，這在一定程度上證明了結(jié)果的有效性.

2.2 躍遷系數(shù)對(duì)撓度的影響

在梁的中點(diǎn)處施加一個(gè)單位大小的集中力，并在軸向施加不同等級(jí)的軸力，來(lái)觀察梁撓度的變化.

為了量化躍遷系數(shù)α對(duì)靜撓度的影響，定義相對(duì)誤差為，

圖3簡(jiǎn)支梁和固支梁相對(duì)誤差隨高跨比和軸向壓力的變化

3 結(jié) 論