歐陽(yáng)慧珉 王健 張廣明 梅磊 鄧歆

旋轉(zhuǎn)起重機(jī)作為常見的起重機(jī)械,由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、占用空間小、無(wú)需大型行走設(shè)備等優(yōu)點(diǎn),因此被廣泛地應(yīng)用于建筑工地、礦山、港口等場(chǎng)合.然而,旋臂的加減速會(huì)使負(fù)載產(chǎn)生擺動(dòng),不僅降低了生產(chǎn)效率,而且會(huì)損壞貨物,造成人員傷亡等.針對(duì)該問題,已經(jīng)有學(xué)者作了大量的研究,并且提出了許多有效的方法[1?19].但是,當(dāng)負(fù)載形狀不規(guī)則或者吊鉤的質(zhì)量不能忽視時(shí),該擺動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的兩級(jí)擺動(dòng)現(xiàn)象.該現(xiàn)象極大地增加了系統(tǒng)特性分析和控制器設(shè)計(jì)的難度,因此如何設(shè)計(jì)出可以有效抑制兩級(jí)擺動(dòng)的控制算法問題已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn).

近年來(lái),已經(jīng)有學(xué)者針對(duì)起重機(jī)系統(tǒng)雙擺抑制問題展開了一些研究[20?35].Tang等針對(duì)2-D雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)中由于臺(tái)車運(yùn)動(dòng)和外部風(fēng)干擾而引起的荷載擺動(dòng),提出了結(jié)合兩種運(yùn)動(dòng)軌跡的方法,即其中一個(gè)軌跡用來(lái)抑制臺(tái)車運(yùn)動(dòng)引起的擺動(dòng),另一個(gè)軌跡用來(lái)抑制風(fēng)干擾引起的擺動(dòng),仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性[20].陳鶴等針對(duì)雙擺橋式吊車系統(tǒng)提出了一種時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法,該方法在構(gòu)造以時(shí)間為代價(jià)函數(shù)的基礎(chǔ)上,將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃問題,通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性[21].Zhang等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)在線規(guī)劃了一條臺(tái)車軌道,該軌道由兩部分組成分別實(shí)現(xiàn)雙擺抑制和臺(tái)車定位,仿真驗(yàn)證了該軌道對(duì)于參數(shù)變化和外部干擾具有魯棒性[22].Huang等針對(duì)2-D雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)提出了一種新型指令整形方法,仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性[23].孫寧等針對(duì)雙擺橋式吊車系統(tǒng)提出了一種基于軌跡規(guī)劃的消擺定位控制方法,該方法在充分考慮系統(tǒng)安全性(擺動(dòng)幅值)等物理約束基礎(chǔ)上,通過構(gòu)造新穎的平坦輸出信號(hào),將施加在臺(tái)車運(yùn)動(dòng)和兩級(jí)擺動(dòng)上的約束/指標(biāo)轉(zhuǎn)化為對(duì)平坦輸出的約束,從而將軌跡規(guī)劃轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性[24].Masoud等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)提出了一種頻率調(diào)制輸入整形方法,該方法是由一個(gè)基于閉環(huán)系統(tǒng)的第一階擺動(dòng)頻率的輸入整形器和一個(gè)虛擬反饋控制環(huán)節(jié)構(gòu)成,仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性[25].Maleki等針對(duì)雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)系統(tǒng)中存在兩級(jí)擺動(dòng)模態(tài)的問題,提出了一種兩級(jí)模態(tài)特定不敏感輸入整形器,通過與兩級(jí)模態(tài)零擺動(dòng)輸入整形器的比較驗(yàn)證了該方法的有效性,同時(shí)也證明了其對(duì)旋臂旋轉(zhuǎn)角速度與角加速度變化具有魯棒性[26].Masoud等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)將輸入整形法和閉環(huán)控制法相結(jié)合,具體而言,首先基于假設(shè)的雙擺系統(tǒng)第一階模態(tài)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)整形器,再設(shè)計(jì)一個(gè)虛擬的帶有積分器反饋控制器消除由第一階模態(tài)引起的殘留擺動(dòng),通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性[27].Manning等針對(duì)2-D雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)SI2M(Two-mode specifiedinsensitivity)輸入整形器,并通過與ZV2M(Twomode zero vibration)輸入整形器比較驗(yàn)證了所提方法對(duì)于繩長(zhǎng)變化更具有魯棒性[28].Sung等針對(duì)2-D雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)中應(yīng)用輸入整形技術(shù)進(jìn)行消擺控制時(shí)關(guān)于參數(shù)變化的魯棒性問題,通過比較仿真和實(shí)驗(yàn)指出SI2M 整形器性能最好[29].Qian等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)消擺控制問題,提出了一種基于SIRMs(Single-input-rule modules)的模糊控制器,比較仿真驗(yàn)證了該方法的有效性[30].Ouyang等提出了一種基于LMI(Linear matrix inequality)的簡(jiǎn)易魯棒控制器解決雙擺橋式起重機(jī)消擺控制問題[31].Zhang等考慮了起重機(jī)系統(tǒng)中參數(shù)不確定性等對(duì)控制性能的影響,提出了一個(gè)自適應(yīng)控制器,系統(tǒng)穩(wěn)定性通過李雅普諾夫定理和芭芭拉特引理進(jìn)行分析,仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性[32].Tuan等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)消擺控制問題,提出了一個(gè)傳統(tǒng)滑?？刂破骱鸵粋€(gè)多層滑?？刂破?仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性[33].Sun等針對(duì)雙擺橋式起重機(jī)消擺控制問題,提出了一種飽和非線性輸出反饋控制器和一種非線性準(zhǔn)PID控制,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其有效性[34?35].開環(huán)控制方式[20?29],即在設(shè)計(jì)控制器時(shí)不反饋擺角信息,如軌跡規(guī)劃法和基于輸入整形技術(shù)已經(jīng)應(yīng)用于雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng).這些方法雖然具有控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),但是它們過于依賴系統(tǒng)精確模型,當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾后控制性能會(huì)降低.另一方面,雖然如文獻(xiàn)[30?35]所提出的閉環(huán)控制方式可以為起重機(jī)系統(tǒng)提供魯棒或自適應(yīng)控制算法,但是由于它們的系統(tǒng)阻尼比大都設(shè)定為常數(shù).因此很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)旋臂的高精度定位和兩級(jí)擺角的抑制.為此,本文將提出一種變阻尼的算法從而實(shí)現(xiàn)前述問題.進(jìn)一步而言,不同于2-D橋式起重機(jī)的平面擺動(dòng),旋轉(zhuǎn)起重機(jī)系統(tǒng)中的雙擺均為圓錐擺,系統(tǒng)特性更加復(fù)雜.據(jù)筆者所知,到目前為止,尚無(wú)針對(duì)雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)擺角抑制的相關(guān)報(bào)道.

本文在建立雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,采用干擾觀測(cè)器將其解耦成兩個(gè)獨(dú)立的線性系統(tǒng),即起伏子系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng).其次,基于此線性模型分別為其設(shè)計(jì)含有非線性滑模面的滑模控制器,并通過李雅普諾夫定理分析其穩(wěn)定性.最后比較仿真和定量分析驗(yàn)證本文所提方法的有效性.

綜上,本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之處可總結(jié)為如下幾點(diǎn):

1)據(jù)筆者所知,首次將具有非線性滑模面的滑?？刂破鲬?yīng)用于雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)系統(tǒng).

2)不同于傳統(tǒng)的線性滑模面,本文所提出的非線性滑模面可以為閉環(huán)系統(tǒng)提供一個(gè)可變的阻尼比,從而在提高旋臂定位精度的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)兩級(jí)擺角的抑制.

1 雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型

在圖1所示旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型中M0,m1和m2分別表示旋臂質(zhì)量、吊鉤質(zhì)量和負(fù)載質(zhì)量;L,l1和l2分別表示旋臂長(zhǎng)度、懸繩長(zhǎng)度和吊繩長(zhǎng)度;θ1和θ3分別表示吊鉤擺角和負(fù)載擺角在旋臂起伏方向上的分量;θ2和θ4分別表示吊鉤擺角和負(fù)載擺角在旋臂起伏方向上的分量;θ5和θ6則表示旋臂起伏角和旋轉(zhuǎn)角.

圖1 雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型Fig.1 Dynamic model of double-pendulum rotary crane

為了進(jìn)一步分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng),對(duì)旋轉(zhuǎn)起重機(jī)做如下幾點(diǎn)合理假設(shè)[1?3,6?8,28?31]:

1)吊鉤和負(fù)載均看作質(zhì)點(diǎn),懸繩和吊繩的拉力和質(zhì)量忽略不計(jì).

根據(jù)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程,雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如下所示:

為了方便設(shè)計(jì)控制器,采用了如圖2所示的干擾觀測(cè)器(Disturbance observer,DOB)[11,17,36?40].

圖2 含有干擾觀測(cè)器的控制系統(tǒng)Fig.2 Control system with a disturbance observer

式中,vk+4表示起伏子系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制輸入.

根據(jù)前述假設(shè),結(jié)合式(1)～(4)和式(6),可得,

其中,θ5f為起伏角的目標(biāo)值.

式(7)～(12)寫成矩陣形式可得,

由式(13)和式(14)可知,起伏子系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)擁有非常相似的結(jié)構(gòu),因此本文可以為其設(shè)計(jì)相似的控制器.

2 新型滑?？刂破髟O(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

2.1 含有非線性滑模面的滑模控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將為雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)設(shè)計(jì)一種新型含有非線性滑模面的滑?？刂破鲝亩瑫r(shí)實(shí)現(xiàn)旋臂高精度跟蹤和擺角抑制.不同于傳統(tǒng)的線性滑模面,本節(jié)所提出的非線性滑模面可以使閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比從最初的較小值變化為最終的較大值.較小的阻尼比可以為系統(tǒng)提供較快的響應(yīng)速度而較大的阻尼比則可減小超調(diào)量從而使得旋臂更加精確地跟蹤給定軌跡.

基于式(13)和式(14)所示起重機(jī)線性模型,本文所提出的非線性滑模面如下所示:

其中,Wk也是正定矩陣.選取合適的滿秩矩陣Γk使得其滿足赫爾維茨定理并為閉環(huán)系統(tǒng)提供一個(gè)較小的初始阻尼比.非線性函數(shù)Φk則要根據(jù)系統(tǒng)的輸出(即,旋臂的起伏角、旋轉(zhuǎn)角以及各方向第一、二級(jí)擺角)進(jìn)行選擇并可用來(lái)調(diào)節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比.雖然該函數(shù)的選取并不唯一,但是必須滿足以下兩個(gè)性質(zhì):

1)必須對(duì)于系統(tǒng)輸出可微并保證滑動(dòng)模態(tài)存在.

2)必須從0變化成一個(gè)負(fù)值.

因此,本文采用如下所示的非線性函數(shù)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)[36]

式中,λik(i=1,2,3,k=1,2) 為正值,而e(·)表示指數(shù)函數(shù).

通過設(shè)計(jì)合適的控制律,系統(tǒng)的所有狀態(tài)量都可以進(jìn)入預(yù)期的滑模面上.當(dāng)處于滑模面時(shí),即Sk=0,可得:

進(jìn)一步整理可得:

由于所設(shè)計(jì)矩陣Γk,Φk和Pk都是可逆的,因此上式所示系數(shù)矩陣也是可逆的,即該矩陣是非奇異的.

為了驗(yàn)證所提出滑模面的穩(wěn)定性,考慮如下所示的李雅普諾夫函數(shù):

取上式一階時(shí)間導(dǎo)數(shù),可得:

接下來(lái),基于上述所設(shè)計(jì)的非線性滑模面并采用指數(shù)趨近律,可得:

其中,Kk和Qk為系數(shù)矩陣,并滿足Kk>0,Qk>0.

2.2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,并考慮如下所示的李雅普諾夫函數(shù):

取上式一階時(shí)間導(dǎo)數(shù),可得:

將式(23)代入式(25),可得:

進(jìn)一步,設(shè)Sk(t)初值Sk(0)>0,求解式(22)可得:

最終系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面(Sk=0)所需時(shí)間為,

值得注意的是,由于符號(hào)函數(shù)的不連續(xù)性,式(23)所示控制器會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生抖振[33].為此,在實(shí)際應(yīng)用時(shí)采用飽和函數(shù)來(lái)替代符號(hào)函數(shù),則

其中,?表示邊界層的厚度且滿足?>0.

注1.進(jìn)一步討論新控制器對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,將式(29)代入式(25),可得:

3 仿真分析結(jié)果和討論

3.1 仿真條件

從理論上講,階躍信號(hào)、擺線以及輸入整形曲線等均可作為旋臂的目標(biāo)軌跡,從而進(jìn)行控制性能的評(píng)價(jià).然而,階躍信號(hào)具有不連續(xù)性,容易對(duì)起重機(jī)系統(tǒng)造成沖擊,因此在實(shí)際工程中很少直接使用.另外,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),輸入整形曲線往往需要進(jìn)行重新設(shè)計(jì).而擺線可以在初始點(diǎn)和終點(diǎn)處提供零加速度,從而減輕對(duì)系統(tǒng)的沖擊.因此,采用如下所示的擺線作為旋臂運(yùn)動(dòng)的期望軌跡:

其中,θ(k+4)f,θ(k+4)0,ts和tf分別表示旋臂起伏角和旋轉(zhuǎn)角的目標(biāo)值,初始值,到達(dá)時(shí)間和最終時(shí)間.同時(shí)設(shè)定θ5f=40?,θ6f=45?,θ50=θ60=0?,ts=3s和tf=10s,并設(shè)定當(dāng)時(shí)間t屬于區(qū)間(ts,tf]時(shí),θ(k+4)f=θ(k+4)d成立.系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.而控制器參數(shù)則如表2和表3所示,其中參數(shù)λik主要影響著控制性能,具體分析詳見附錄A.

3.2 仿真結(jié)果

本文所提方法的仿真結(jié)果和傳統(tǒng)線性滑模面(即Φk=0)的結(jié)果進(jìn)行比較.吊繩長(zhǎng)度分別設(shè)定為l2=0.1m,l2=0.2m 和l1=0.3m.對(duì)起伏角θ5、起伏角跟蹤誤差e5、旋轉(zhuǎn)角θ6、旋轉(zhuǎn)角跟蹤誤差e6、擺角θ1,θ3,θ2和θ4的仿真結(jié)果分別如圖3～5所示.

表1 起重機(jī)系統(tǒng)模型參數(shù)Table 1 Parameters of crane system

表2 起伏子系統(tǒng)控制器參數(shù)Table 2 Parameters of controller in vertical subsystem

表3 旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制器參數(shù)Table 3 Parameters of controller in horizontal subsystem

表4 定量分析(l2=0.1m)Table 4 Quantitative analysis(l2=0.1m)

表5 定量分析(l2=0.2m)Table 5 Quantitative analysis(l2=0.2m)

表6 定量分析(l2=0.3m)Table 6 Quantitative analysis(l2=0.3m)

圖3 仿真結(jié)果(l2=0.1m)Fig.3 Simulation results(l2=0.1m)

圖4 仿真結(jié)果(l2=0.2m)Fig.4 Simulation results(l2=0.2m)

圖5 仿真結(jié)果(l2=0.3m)Fig.5 Simulation results(l2=0.3m)

為了進(jìn)行定量分析,分別將本文所提方法和傳統(tǒng)方法應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)起重機(jī)時(shí)的最大起伏角誤差e5max(deg),最大旋轉(zhuǎn)角誤差e6max(deg),起伏方向第一級(jí)擺角最大值θ1max(deg),起伏方向第二級(jí)擺角最大值θ3max(deg),旋轉(zhuǎn)方向第一級(jí)擺角最大值θ2max(deg)和旋轉(zhuǎn)方向第二級(jí)擺角最大值θ4max(deg)如表4～表6所示.由這些圖與表可知,雖然兩種方法對(duì)于懸繩長(zhǎng)度變化都具有魯棒性,但是使用本文所提方法可以分別減小大約40%的起伏角最大跟蹤誤差和52%的旋轉(zhuǎn)角最大跟蹤誤差.另外,對(duì)于所有的情況,荷載擺動(dòng)都得到了良好的抑制,并且隨著懸繩長(zhǎng)度的增加擺角也逐漸增大.這些結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法既具有較好的魯棒性還具有較好的跟蹤性能,同時(shí)不降低擺角抑制性能.

4 結(jié)論

本文為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)雙擺旋轉(zhuǎn)起重機(jī)高精度跟蹤和擺角抑制,首先,建立含有雙擺效應(yīng)的起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型,并采用干擾觀測(cè)器進(jìn)行解耦線性化.其次,基于此線性模型分別為其設(shè)計(jì)含有非線性滑模面的滑?？刂破?并通過李雅普諾夫定理分析其穩(wěn)定性.通過采用本文所提方法,無(wú)論吊繩長(zhǎng)度l2=0.1m,l2=0.2m或者l2=0.3m,都實(shí)現(xiàn)了旋臂起伏角和旋轉(zhuǎn)角的跟蹤和兩級(jí)殘留擺角的抑制.通過與傳統(tǒng)線性滑模比較,在不改變控制器擺角抑制性能的前提下,起伏角和旋轉(zhuǎn)角的跟蹤誤差分別降低了大約40%和52%.

附錄A 不同非線性滑模面參數(shù)對(duì)控制性能影響分析

本節(jié)通過仿真對(duì)非線性滑模面參數(shù)選取進(jìn)行分析,并獲得其對(duì)控制性能的影響.在圖A示的結(jié)果中,實(shí)線對(duì)應(yīng)參數(shù)表2中λik值,點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)λ11=12,λ21=15,λ31=7,λ12=12,λ22=15和λ32=8.而點(diǎn)劃線則對(duì)應(yīng)λ11=120,λ21=150,λ31=70,λ12=120,λ22=150 和λ32=80.由圖可知,雖然隨著λik的增大,旋臂的定位精度會(huì)大大提高,但是同時(shí)也降低擺角抑制性能.

圖A1 不同λik情況下的仿真結(jié)果Fig.A1 Simulation results for different λik