一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵解讀

1.理解的含義。

理解在《辭?！分械亩x是：了解、明白事理。在實(shí)踐中，人們通常把理解看成一種認(rèn)知方式，抑或是一種獲得知識的手段。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，理解實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過程。在哲學(xué)上，理解有兩種含義：一種是意義復(fù)原，即消除誤解，揭示作品的原意；一種是視界融合，即主體和客體通過對話、交流，不斷生成新的視界的過程。

2.數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵。

基于哲學(xué)上對理解的認(rèn)識，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是以概念及其之間的關(guān)系為核心的意義復(fù)原與生成過程。與一般的理解相比，數(shù)學(xué)理解具有典型的學(xué)科意蘊(yùn)。首先，理解的對象是數(shù)學(xué)概念及其之間的關(guān)系。理解意味著對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確把握，以及對概念之間關(guān)系的清晰認(rèn)識。其次，數(shù)學(xué)理解是過程與結(jié)果的統(tǒng)一。從過程方面看，數(shù)學(xué)理解是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識溝通對話、相互融合，從而不斷生成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程；從結(jié)果方面看，數(shù)學(xué)理解則可以看成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“獲得”，是外在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在個(gè)體心理上的投射。最后，數(shù)學(xué)理解具有階段性的特點(diǎn)，也就是說，理解的形成不是一蹴而就的，而是一個(gè)動態(tài)的、分水平的、非線性發(fā)展的反復(fù)建構(gòu)過程。皮瑞和基倫（Pirie&Kieren）的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型非常直觀地說明了這一點(diǎn)，他們將數(shù)學(xué)理解分為八個(gè)水平，分別為原始認(rèn)知、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察反思、結(jié)構(gòu)化、發(fā)明創(chuàng)造。

二、數(shù)學(xué)理解的教學(xué)意義

數(shù)學(xué)理解不僅是學(xué)生認(rèn)知維度上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的存在方式。我們對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識不能僅僅停留在經(jīng)驗(yàn)水平，而應(yīng)在哲學(xué)和心理學(xué)理論的指導(dǎo)下正確把握數(shù)學(xué)理解的含義，建構(gòu)科學(xué)的理解觀。

1.促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

理解可以為個(gè)體提供一種認(rèn)知上的自主性，理解的重要價(jià)值在于促進(jìn)認(rèn)知的深度發(fā)展。數(shù)學(xué)理解意味著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是接受知識的表層意義，而是一個(gè)最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，使他們能深入知識意義內(nèi)核進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的過程。

2.發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力。

理解是一種表征概念和情境的能力，這種能力是以一種普遍性的、生成性的、與其他表征相聯(lián)系的、能引導(dǎo)技能發(fā)展的方式展開的，它對推理、推斷、技能的遷移和發(fā)展都極為重要，是人的認(rèn)知發(fā)展乃至整個(gè)智能發(fā)展的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)理解可以使知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)格化，形成豐富的聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的發(fā)展。

3.形成良好的學(xué)科觀念。

學(xué)科觀念是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不是獲得一大堆事實(shí)性的知識，而是形成一種正確的數(shù)學(xué)觀——一種從數(shù)學(xué)的角度理解和分析問題的能力，一種用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物的偏好……數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，而不是教給他們純粹的技能。由此，數(shù)學(xué)理解意味著對知識與技能的超越，對數(shù)學(xué)深層次的理解可以促進(jìn)學(xué)生形成良好的學(xué)科觀念。

三、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的實(shí)踐策略

分析當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣兩種情形：一種是活動導(dǎo)向的教學(xué)，學(xué)生只是參與活動，而缺少對活動意義的深刻思考，用鄭毓信教授的話說就是“只動手不動腦”，學(xué)生對知識和技能的領(lǐng)悟和收獲更多是一種偶然；另一種是灌輸式學(xué)習(xí)，學(xué)生在教師帶領(lǐng)下完成對規(guī)定性內(nèi)容的學(xué)習(xí)，盡管以知識為中心的講解、練習(xí)、訓(xùn)練有助于學(xué)生記憶事實(shí)、形成技能，卻不能讓他們形成真正的數(shù)學(xué)理解。那么，如何讓學(xué)生真正理解所學(xué)習(xí)的知識呢？

1.基于經(jīng)驗(yàn)，建立學(xué)校數(shù)學(xué)與日常數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)知識并不僅僅來源于課堂教學(xué)情境，也來源于學(xué)校場景之外的日常生活場景。研究表明，日常數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)知識的一種形態(tài)，對學(xué)生學(xué)校數(shù)學(xué)知識的掌握和理解具有重要的影響。在日常數(shù)學(xué)思維向?qū)W校數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變的過程中，先期進(jìn)入的日常數(shù)學(xué)知識和后期進(jìn)入的學(xué)校數(shù)學(xué)知識常常會使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，也可能會使他們產(chǎn)生認(rèn)知協(xié)同。事實(shí)上，無論是認(rèn)知沖突，還是認(rèn)識協(xié)同，都會對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解造成影響。因此，恰當(dāng)?shù)亟⑵饘W(xué)校數(shù)學(xué)與日常數(shù)學(xué)的聯(lián)系，將日常數(shù)學(xué)作為學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和必要背景，可以有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

以蘇教版四下《用數(shù)對確定位置》一課的教學(xué)為例，教學(xué)之前，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一些“確定位置”的經(jīng)驗(yàn)。但學(xué)生這種離散的、碎片化的、強(qiáng)情境依附的日常數(shù)學(xué)知識如何才能轉(zhuǎn)化為正式的數(shù)學(xué)知識呢？在教學(xué)中，從現(xiàn)實(shí)的課堂場景出發(fā)，筆者設(shè)計(jì)了如下活動：首先讓學(xué)生描述一下自己所在的位置，然后選擇一些學(xué)生的描述，讓大家根據(jù)描述猜猜他是誰。結(jié)果有的學(xué)生猜對了，有的學(xué)生猜錯(cuò)了。這時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：這是怎么回事？怎么才能準(zhǔn)確而又簡潔地確定一個(gè)人的位置？這樣的活動設(shè)計(jì)緊扣學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，展現(xiàn)了學(xué)生原有的認(rèn)知狀態(tài)，強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突為揭示數(shù)學(xué)規(guī)律提供了豐富的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。

2.經(jīng)歷過程，讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)既是教學(xué)的目標(biāo)，也是他們理解數(shù)學(xué)的一種方式。當(dāng)課堂上只有教師的教而沒有給學(xué)生真正學(xué)習(xí)關(guān)鍵思想和關(guān)聯(lián)點(diǎn)的機(jī)會時(shí)，學(xué)生的理解也就無從談起。因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。荷蘭教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)的根源在于普通常識，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人類常識的系統(tǒng)化，因此，每個(gè)學(xué)生都可以在一定的指導(dǎo)下，通過自己的實(shí)踐活動來獲得這些知識。事實(shí)證明，通過“再創(chuàng)造”的方式能達(dá)到數(shù)學(xué)理解的最好效果。

以蘇教版五上《復(fù)式統(tǒng)計(jì)表》為例，讓學(xué)生理解復(fù)式統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)特征，尤其是表頭的特殊性以及表格中數(shù)據(jù)的排列特征，是教學(xué)的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師首先呈現(xiàn)四張單式統(tǒng)計(jì)表，引導(dǎo)學(xué)生思考：要想整體比較四個(gè)興趣小組的人數(shù)情況，用單式統(tǒng)計(jì)表顯然不太方便，該怎么辦呢？學(xué)生自然想到將四張統(tǒng)計(jì)表合并成一張統(tǒng)計(jì)表。合并之后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣合并可以嗎？有什么問題？學(xué)生在討論過程中逐步對合并之前的原始表格進(jìn)行優(yōu)化，最終形成一張標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)式統(tǒng)計(jì)表。在這個(gè)過程中，學(xué)生主動參與建構(gòu)，深化了對復(fù)式統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)特征的理解。

3.豐富表征，用多種方式表示數(shù)學(xué)知識。

為了思考和交流，人們需要以某種方式來表示一個(gè)特定的概念，這種表示的方式被稱為概念表征。每一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念都可以有不同的數(shù)學(xué)表征，不同表征之間的互譯可以豐富兒童對概念內(nèi)涵的洞察和把握。因此，在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生用自己有意義的形式表征他們的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，在不同的表征方式之間形成豐富的聯(lián)系，有利于他們形成豐富的概念意象，從而深入理解數(shù)學(xué)知識。

4.形成結(jié)構(gòu)，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)再組織。

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，無論是一個(gè)概念的形成，還是整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，都需要經(jīng)歷一個(gè)建構(gòu)的過程。用瑞士兒童心理學(xué)家皮亞杰的話說就是：“每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個(gè)較初級的結(jié)構(gòu)過渡到一個(gè)不那么初級的結(jié)構(gòu)。”因此，理解不僅僅是將新知識與舊知識建立聯(lián)系，更是創(chuàng)建一個(gè)豐富的、整合的知識結(jié)構(gòu)。

以蘇教版六下《立體圖形的表面積》復(fù)習(xí)課教學(xué)為例，在學(xué)生初步回顧長方體、正方體和圓柱體表面積的計(jì)算方法之后，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生：比較三個(gè)圖形的計(jì)算方法，它們有什么不同？想一想，有沒有統(tǒng)一的方法來計(jì)算立體圖形的表面積呢？學(xué)生經(jīng)過比較、討論之后，進(jìn)一步認(rèn)識到：無論是長方體、正方體還是圓柱體，沿著高剪開，都可以把表面積分解為1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面，因而它們都可以用計(jì)算1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面的方法來計(jì)算表面積。（如圖1）通過引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理，有效推動了他們對表面積計(jì)算方法的理解。

（圖1）

5.感受意義，基于真實(shí)任務(wù)解決問題。

基于真實(shí)任務(wù)的問題解決將學(xué)校學(xué)習(xí)視為“現(xiàn)實(shí)世界創(chuàng)造性社會實(shí)踐中完整的一部分”，對促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解具有重要的作用。真實(shí)的任務(wù)為學(xué)生提供了一個(gè)有意義學(xué)習(xí)并促進(jìn)知識向日常生活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的實(shí)踐場。在這一實(shí)踐場中，知識、思維和學(xué)習(xí)的情境是緊密聯(lián)系的，學(xué)生的信念、經(jīng)驗(yàn)和背景構(gòu)成了問題解決的概念工具。

筆者曾聽過一節(jié)新加坡數(shù)學(xué)教師執(zhí)教的《分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》。在教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的情境：在一次聚會上，小明想把5塊披薩平均分給4個(gè)朋友，他不知道該怎么分，你能幫小明解決這個(gè)問題嗎？學(xué)生借助手里的5張圓形紙片進(jìn)行探索之后，引導(dǎo)他們進(jìn)行交流。交流中，有的學(xué)生認(rèn)為不好分；有的認(rèn)為可以每人分一個(gè)，剩下的一個(gè)不分；也有的想到先一個(gè)一個(gè)地分，再把剩下的一個(gè)平均分成4份；還有的想把每一個(gè)餅都平均分成4塊，再分給4個(gè)人。整節(jié)課都圍繞這個(gè)問題展開探索與交流。與我們常見的“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”教學(xué)相比，整節(jié)課幾乎看不到教師的教，但學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生著，而且從課后反饋的學(xué)習(xí)效果來看，學(xué)生的理解也非常到位。

哈佛大學(xué)威金斯教授等人認(rèn)為，理解不是單方面的成就，而是多方面的，可以通過不同類型的證據(jù)表現(xiàn)出來?！罢嬲睦斫狻笨梢栽诹鶄€(gè)方面得以體現(xiàn)，即能解釋、能闡明、能應(yīng)用、能洞察、能神入、能自知。這六個(gè)方面為評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供了多元的指標(biāo)，同時(shí)也啟示我們：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識的客觀性標(biāo)準(zhǔn)，也要關(guān)注學(xué)生在理解數(shù)學(xué)時(shí)的個(gè)性化活動。正如澳大利亞哲學(xué)家約翰·巴斯摩爾在《教學(xué)哲學(xué)》一書中所說的：理解的方式多種多樣，這些方式互相重疊又無法簡化，相應(yīng)地，也有許多不同的教“理解”的方法。期待數(shù)學(xué)教育因理解而帶給學(xué)生更多的變化與活力。