胡文豪

(甘肅省臨夏縣田家炳中學(xué) 731801)

二次函數(shù)是最重要的初等函數(shù)，通過它可以研究函數(shù)的很多性質(zhì)，并且與方程、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等有著廣泛的聯(lián)系.高考很多問題都要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來處理，因此在學(xué)習(xí)過程中，要對(duì)這一內(nèi)容引起足夠的重視，并且要通過深入的研究到達(dá)必要的廣度和深度，才能順利的處理相關(guān)的高考試題.

一、含有參數(shù)和絕對(duì)值符號(hào)的二次函數(shù)問題

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

解析(1)由于a≥3，故當(dāng)x≤1時(shí)，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;M(a)=max{f(0),f(2)}=2.

當(dāng)x>1時(shí)，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(x-2a).所以使得等式成立的x的取值范圍為F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍是[2,2a].

②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)，此時(shí)

M(a)=max{f(0),f(2)}=2;

當(dāng)2≤x≤6時(shí)，F(xiàn)(x)=g(x)，此時(shí)

M(a)=max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}.

點(diǎn)評(píng)(1)分別對(duì)x≤1和x>1兩種情況討論F(x)，進(jìn)而可得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x取值范圍；(2)先求f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值，再根據(jù)F(x)的定義可得F(x)的最小值M(a)；(3)分別對(duì)0≤x≤2和2≤x≤6兩種情況討論F(x)的最大值，進(jìn)而可得F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

“窮則思變”解題中要注意思維的變通，數(shù)學(xué)問題的變化性大，條件稍微有所變化，就會(huì)引起“狂風(fēng)波瀾”，因此，在解題中重視“轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論”等核心數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，多注意解題后反思，做到思想方法的靈活運(yùn)用.

二、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)求解的問題

點(diǎn)評(píng)本題通過換元，直接把問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)二次函數(shù)的最大值問題.