于新堂

摘 要：本文找到并證明了“素?cái)?shù)倍數(shù)的分布規(guī)律”，以此為前提，推證出了“存在無窮多對(duì)差為2的素?cái)?shù)”。

關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)倍數(shù); 素?cái)?shù)倍數(shù)的分布規(guī)律

中圖分類號(hào)：O413? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2019）11-037-001

素?cái)?shù)倍數(shù)的分布規(guī)律：任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)在自然數(shù)列中占有的比例等于素?cái)?shù)自身值的倒數(shù)。（《科學(xué)大眾》972期56頁）

自然數(shù)列中包含任意素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列，例如，包含素?cái)?shù)2的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列為2，4，6，8，10，12，……

任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列中又包含其它任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列。例如素?cái)?shù)2的倍數(shù)項(xiàng)數(shù)列中又包含素?cái)?shù)3和素?cái)?shù)5等所有除2以外的素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列。

引理 包含于任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列中的其它任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例，等于被包含素?cái)?shù)自身值的倒數(shù)。

證明 任一素?cái)?shù)pj的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列中，包含其它任一素?cái)?shù)pi（i[≠j]）的倍數(shù)項(xiàng)，且從前至后每隔項(xiàng)都必有且僅有一項(xiàng)pi的倍數(shù)項(xiàng)，因此，包含其它任一素?cái)?shù)pi的倍數(shù)項(xiàng)的比例[ηpi=1pi]

如果從自然數(shù)列中去除任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)，則由于去除的任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)子數(shù)列中包含的其它任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例，與自然數(shù)列中包含的每一相同素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例相同，都等于被包含素?cái)?shù)值的倒數(shù)，因此，剩余數(shù)列中所包含的未被去除的任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例保持不變。因此有

推論1 奇數(shù)數(shù)列中包含2以外的任一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例，等于該被包含素?cái)?shù)值的倒數(shù)。

但在奇數(shù)數(shù)列的前有限項(xiàng)所組成的奇數(shù)有限數(shù)列中，由于從自然數(shù)列中去除偶數(shù)的不對(duì)稱原因，就使得有限項(xiàng)奇數(shù)數(shù)列中所含任一奇素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)的比例并不嚴(yán)格的等于[1p1]。但當(dāng)數(shù)列的最后一項(xiàng)是某一素?cái)?shù)的倍數(shù)項(xiàng)時(shí)，含有該素?cái)?shù)倍數(shù)項(xiàng)的比例最大，此時(shí)，若含有素?cái)?shù)pi的合數(shù)倍數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為tpi，則總項(xiàng)數(shù)應(yīng)為[12]（pi+1）+tpi，于是數(shù)列中含有pi的合數(shù)倍數(shù)項(xiàng)的比例為[ηi=112（pi+1）+tpi][<][1p1]

因此得推論2 奇數(shù)數(shù)列的前有限項(xiàng)中，所包含的2以外的任一素?cái)?shù)的合數(shù)倍數(shù)項(xiàng)的比例小于被包含的素?cái)?shù)值的倒數(shù)。

有了以上推論，就可以證明如下命題：

命題 存在無窮多對(duì)差為2的素?cái)?shù)。

證明 將奇數(shù)無窮數(shù)列

1，3，5，7，……2n-1……

從前至后每2項(xiàng)合并為一對(duì)，形成奇數(shù)對(duì)無窮數(shù)列

（1，3），（5，7），（9，11），……（2n-1，2n+1），……

由推論2可知，前有限對(duì)奇數(shù)對(duì)中，包含任一素?cái)?shù)倍數(shù)合數(shù)的奇數(shù)對(duì)占有的比例，小于[2pi]，設(shè)N為4n型偶數(shù)，N以內(nèi)奇數(shù)所組成的有限奇數(shù)對(duì)數(shù)列

（1，3），（5，7），（9，11），……（N-3，N-1）中含有[N4]個(gè)奇數(shù)對(duì)，所包含的任一素?cái)?shù)合數(shù)倍數(shù)的奇數(shù)對(duì)占有比例一定小于[2pi]，很顯然，若按[2pi]的比例篩除所含所有素?cái)?shù)合數(shù)倍數(shù)的奇數(shù)對(duì)，屬于超量篩除，若篩除后再減去第一對(duì)含有1的奇數(shù)對(duì)，則剩余未被篩除的奇數(shù)對(duì)就一定是素?cái)?shù)對(duì)。

設(shè)N以內(nèi)實(shí)際含有素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為[π2（x）]，顯然有[π2（x）][>N4]·[i=2x]（1-[2pi]）-1

因有[i=2x]（1-[2pi]）[>] [m=112（Px-1）]（1-[22m+1]）=[1px]

其中Px[<N]，為最大篩除素?cái)?shù)。

因此有[π2（x）][>N4][·][1N]-1

即[π2（x）][>][N4]-1

因N[→∞]，故[π2（x）][→∞]

即存在無窮多對(duì)差為2的素?cái)?shù)。

命題得證。

依據(jù)與這一證明相同的前提，筆者給出了“每個(gè)大于4的偶數(shù)都可拆分為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”的初等證明。不急于發(fā)表的原因，是激勵(lì)相信并深刻了解筆者的理論的研究者能夠利用筆者所給出的基本前提給出證明，期待并愿意共同分享我們各自的證明。