薛 翔,王廷春

(南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇南京210044)

1 引言

非線性Schr?dinger 方程在量子力學、非線性光學等物理領(lǐng)域有著非常廣泛的應用.本文研究如下一類五次非線性Schr?dinger 方程的初邊值問題[1]

其中f(x,t)為實值函數(shù),u(x,t)為復值函數(shù),u0為已知的復值函數(shù).不難驗證,當f(x,t)≡f(x)時,該方程滿足兩個重要的守恒律,即總質(zhì)量和總能量守恒[1,2]

其中

關(guān)于非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值研究已有很多結(jié)果.Bao 等人[3?5]運用時間分裂擬譜方法對非線性Schr?dinger/Gross-Pitaeviskill 方程進行了數(shù)值求解,并對某些物理現(xiàn)象進行了數(shù)值模擬;Argyris 和Akrivis 等人[6?9]運用有限元法對該方程進行了數(shù)值研究;Dehghan 和Mirzaize 運用無網(wǎng)格法對該方程進行了數(shù)值求解[10?11].文獻[12–14]則運用譜方法和擬譜方法對該方程進行了數(shù)值求解和誤差分析.因編程簡單并能保持原問題的某些守恒性質(zhì),有限差分法廣泛應用于非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值模擬[15?18].然而關(guān)于五次非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值研究尚不多見.張魯明、常謙順等人[1?2]對該方程提出兩個二階有限差分格式,證明其保持原問題的兩個守恒性質(zhì),同時建立了L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計.王詢等人[19]用待定系數(shù)的方法構(gòu)建了一類五點有限差分格式,該格式族在選取適當?shù)膮?shù)后,其計算精度在空間可達四階,然而計算中在每一個時間步都需要求解一個五對角代數(shù)方程組.為提高精度,文獻[20]提出一個緊致有限差分格式,但該格式是非線性的,計算中不可避免的需要迭代,從而降低計算效率.另外,該文作者也沒有分析該格式是否在離散意義下保持原問題的兩個守恒性質(zhì).鑒于以上分析,本文旨在對問題(1.1)–(1.3)構(gòu)造一個線性化緊致有限差分格式,使得新格式在離散意義下依然保持原問題的兩個守恒性質(zhì).

2 有限差分格式及其守恒律

對平面區(qū)域W=[a,b]×[0,T]進行網(wǎng)格剖分.取正整數(shù)J,N,時空方向上的步長分別為網(wǎng)格點分別為

定義Xh={w|w=(ω0,ω1,···,ωJ?1,ωJ),ω0=ωJ=0}為網(wǎng)格函數(shù)空間.設(shè)u,v 為Xh上的任意兩個函數(shù),其內(nèi)積和范數(shù)定義為

本文需要用到如下引理.

引理1[21]對于任意一個網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,有

引理2[22]如果網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,則

引理3[21]任給網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,有

2.1 有限差分格式

對初邊值問題(1.1)–(1.3),本文提出如下四階緊致差分格式

其中

2.2 離散守恒律

為證明離散守恒律,定義

其中

n=1,2,···,N ?1,

引理4(I)格式(2.4)–(2.6)在離散意義下滿足總質(zhì)量守恒,即

其中

證將(2.9)式與un+1+un做內(nèi)積,并取虛部得

即

將(2.9)式與un+1?un做內(nèi)積,并取實部得

直接計算可得

將(2.19)–(2.22)式代入(2.18)式得

令

則得

即

3 誤差估計

記格式(2.4)–(2.7)的局部截斷誤差為

其定義如下

引理5格式(2.4)–(2.7)的局部截斷誤差滿足

定理1假設(shè)u ∈C6,3([a,b]×[0,T]),則差分格式(2.4)–(2.7)的解以·范數(shù)收斂到初邊值問題(1.1)–(1.3)的解,收斂階為O(τ2+h4).

證將(3.1)式和(3.2)式分別與(2.7)式和(2.9)式相減可得如下誤差方程

其中

由(3.5)式和引理5 顯見

運用Taylor 展開,可得

因此有

現(xiàn)假設(shè)當n ≤k(1 ≤k

進而可得

將(3.6)式與en+en+1做內(nèi)積,取虛部得

又

由(3.18)–(3.21)式,得

上式對n 求和,有

當τ 足夠小時,由Gronwall 不等式得

由(3.6)式可得

運用引理2 有

上式對n 求和得

另外由引理1 可得

由此可見,當τ ≤h 時,有τ2/h2≤1,得

所以無論網(wǎng)格比如何,總有

由(3.24)式和(3.30)式可知假設(shè)(3.14)式對n=k+1 時也成立.證畢.

4 數(shù)值實驗

便于驗證格式的精度,引入以下記號

算例4.1考慮如下初邊值問題

其中

該問題的精確解為

由上式可見當x 趨向于無窮大時,u(x,t)迅速趨于0.故當?a 和b 取得足夠大時,u(a,t)和u(b,t)近似為0.因此在數(shù)值求解時取空間方向的計算區(qū)間為(?15,15),以忽略截斷誤差的影響.

在驗證空間方向(時間方向)收斂階時,取τ=0.00001(h=0.0001),這樣可以忽略時間(空間)方向的誤差影響.表1 和表2 分別給出了空間和時間方向的收斂階.在表3 中,將本文的線性格式與文獻[20]中的非線性格式做了計算效率上的比較.圖1 展示了精確解和數(shù)值解在不同時間層下的波形變化.

表1:空間方向收斂階

表2:時間方向收斂階

表3:本文中的線性格式(LCFD)與文[20]中的非線性格式(NCFD)在計算效率上的比較

圖1:算例4.1 在τ=0.01,h=0.1 時的精確解(左)和數(shù)值解(右)

算例4.2對形如iut+uxx+σ(x,t)u+(β1|u|2+β2|u|4)u=f(x,t),(x,t)∈(0,π)×(0,1].取初始值為u0(x)=sin x,則精確解為u(x,t)=eitsin x.

運用本文中的格式(2.4)–(2.6)對算例4.2 進行求解,有以下結(jié)果

表4:空間方向取不同步長時的誤差和精度

表5:時間方向取不同步長時的誤差和精度

由以上數(shù)值實驗的結(jié)果可看出:差分格式(2.4)–(2.6)在時空方向分別具有2 階和4 階精度,而且格式在離散意義下依然能夠保持總質(zhì)量和總能量守恒,這完全符合定理1 和引理4的結(jié)論.除此之外,與已有格式相比,本文格式在精度相當?shù)那疤嵯逻€大幅提高了計算效率.

圖2:算例4.2 在不同時間層的總質(zhì)量(左)和總能量(右)

圖3:算例4.2 在離散意義下的總質(zhì)量守恒(左)和總能量守恒(右)