李小軍，朱漢華，范世東，鄭良焱

（武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063）

0 引 言

船舶軸系上旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的不平衡離心力，以及來自不均勻伴流場、作用在螺旋槳上的流體激振力將使軸系產(chǎn)生回旋振動(dòng)?；匦駝?dòng)嚴(yán)重時(shí)將導(dǎo)致軸系運(yùn)行不穩(wěn)定，甚至影響船舶航行安全[1]。

一般滑動(dòng)軸承的水平方向的剛度相對于垂直方向要低一些。隨著船舶的大型化，船體尾部剛度逐漸下降，而螺旋槳質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻比較大。后艉軸承的位置比較特殊，起著支撐艉軸和螺旋槳的作用，其承受著來自螺旋槳?jiǎng)×业膭?dòng)載荷作用，工作條件惡劣，潤滑狀態(tài)不穩(wěn)定，載荷呈邊緣效應(yīng)，甚至導(dǎo)致干摩擦，這些都會(huì)引起總支承剛度的變化[2]。因此對于大型低速船舶，為了保證軸系運(yùn)轉(zhuǎn)正常和船舶航行安全，進(jìn)行尾軸承剛度各向異性下的軸系回旋振動(dòng)研究是有必要的。

目前對于軸系回旋振動(dòng)的研究，由于資料的缺乏，以及軸承剛度的難測性，大多是建立在剛性軸承、或者軸承剛度各向同性的基礎(chǔ)之上的，而未將軸與軸承作為“柔性軸-柔性支撐”來進(jìn)行研究；還有學(xué)者將其退化為橫向振動(dòng)進(jìn)行研究，而忽略了螺旋槳在轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)[3]。

陳之炎等[4]對回旋振動(dòng)的機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)的研究，并從理論上討論了支承剛度各向異性的情況。王磊等[5]借助有限元軟件，分析了螺旋槳陀螺效應(yīng)、應(yīng)力剛化效應(yīng)和旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)等對回旋振動(dòng)的影響。

本文以某TEU集裝箱船的推進(jìn)軸系為研究對象，借助于有限元軟件ANSYS，計(jì)入螺旋槳的陀螺效應(yīng)，分析船舶推進(jìn)軸系后艉軸承各向異性時(shí)回旋振動(dòng)的特性，包括其固有頻率、坎貝爾圖臨界轉(zhuǎn)速和回旋振動(dòng)響應(yīng)。

1 考慮陀螺效應(yīng)的軸系振動(dòng)方程

根據(jù)彈性力學(xué)，對于軸系這樣的多自由度彈性系統(tǒng)，其通用動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：［M］、 ［C］和 ［K］分別代表質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；｛u¨｝、 ｛u˙｝和 ｛u｝分別代表加速度向量、速度向量和位移向量；｛F｝代表廣義外力。

由于船舶螺旋槳的質(zhì)量和慣量都比較大，會(huì)對軸系回旋振動(dòng)產(chǎn)生較大影響，因此在軸系回旋振動(dòng)的計(jì)算中需要考慮螺旋槳的陀螺效應(yīng)。

當(dāng)軸承各向同性時(shí)，螺旋槳的陀螺力矩：

式中：Jp為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jd為徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，j0為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比為頻率比可知，陀螺力矩包含2項(xiàng)為哥氏慣性力矩為牽連慣性力矩。陀螺力矩為正值時(shí)，其方向與轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)方向相反，減少了軸系的彎曲變形量，相當(dāng)于軸的彎曲剛度變大了，軸系的固有頻率因此增加；反之，則使軸系的固有頻率下降。

當(dāng)軸承支承剛度各向異性時(shí)，其陀螺力矩為：

式中：x方向?yàn)檩S線方向?yàn)閦方向的轉(zhuǎn)角速度為z方向的轉(zhuǎn)角加速度；同理為y方向的轉(zhuǎn)角速度為y方向的轉(zhuǎn)角加速度。

式中：［Ggyr］為陀螺效應(yīng)矩陣，主要取決于自轉(zhuǎn)角速度ω，與公轉(zhuǎn)角速度Ω無關(guān)[6]。［］B為旋轉(zhuǎn)阻尼矩陣，在低轉(zhuǎn)速下影響較小，在本文中不計(jì)入。

在有限元軟件ANSYS的固定坐標(biāo)系中，計(jì)入螺旋槳陀螺效應(yīng)后的轉(zhuǎn)子的動(dòng)力方程為：

2 分析模型

2.1 軸系主要參數(shù)

本文采用的研究對象是某TEU船推進(jìn)軸系，軸系從主機(jī)至螺旋槳全長47.763 m，中間軸軸徑為795 mm，艉軸外徑975 mm，內(nèi)徑330 mm，含三個(gè)中間軸承和一個(gè)前艉軸承、一個(gè)后艉軸承。螺旋槳為6葉定距槳，根據(jù)Jasper給出的計(jì)算公式，螺旋槳附連水的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系數(shù)分別取1.1、1.25和1.5，得螺旋槳附水質(zhì)量為120 353 kg，附水極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為454 250 kg·m2，附水徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 272 550 kg·m2。

2.2 模型建立與簡化

（1）建模時(shí)為了盡可能模擬船舶推進(jìn)軸系的狀態(tài)，同時(shí)考慮螺旋槳的陀螺效應(yīng)，選用beam188單元對軸段進(jìn)行模擬，對于軸段上的聯(lián)軸器，通過設(shè)置梁的截面來模擬。

（2）螺旋槳的槳轂部分，通過適當(dāng)延長尾軸長度來模擬。螺旋槳及附連水的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，采用mass21質(zhì)量單元，施加在螺旋槳的幾何中心位置。

（3）對于徑向軸承，采用combine14彈簧單元進(jìn)行模擬，在每個(gè)支撐位置的垂直和水平方向分別設(shè)置一個(gè)彈簧單元。彈簧的一端與軸系上的軸承對應(yīng)節(jié)點(diǎn)相連，另一端設(shè)置為固定端。

（4）由于進(jìn)行回旋振動(dòng)分析，因此對彈簧單元的固定端施加全約束，對主機(jī)端的節(jié)點(diǎn)約束其全部自由度，約束軸系在UZ和ROTZ上的自由度[7]。

簡化后的軸系模型如圖1和圖2所示。

圖1 軸系有限元模型（顯示單元） Fig.1 Finite element model of shafting (unit displayed)

圖2 軸系有限元模型（顯示約束）Fig.2 Finite element model of shafting(constraints displayed)

3 計(jì)算結(jié)果分析與討論

徑向軸承的支承剛度是軸系回旋振動(dòng)的重要影響之一，它是由若干因素決定的，例如軸承結(jié)構(gòu)、軸承材料、軸承間隙、油膜等，所以精確測量支承剛度是很困難的。

在船舶軸系實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)中，滑動(dòng)軸承垂直方向上的剛度要比水平方向上的剛度值大，軸的中心環(huán)繞著的旋轉(zhuǎn)中心的軌跡是一個(gè)橢圓而不是一個(gè)圓形，因此在回旋振動(dòng)時(shí)可能出現(xiàn)水平和垂直方向上兩個(gè)臨界轉(zhuǎn)速[7]。但是其差距并不大，為研究后尾軸承水平方向剛度值單獨(dú)變化對回旋振動(dòng)影響，在本文中將兩個(gè)方向上的剛度差距放大至一個(gè)數(shù)量級(jí)，以便觀察其對軸系振動(dòng)影響的變化規(guī)律。

由于篇幅有限，在本文以下的研究中，用剛度符號(hào)①代指后艉軸承剛度特性為水平剛度4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×108/N·m-1，用剛度符號(hào)②代指后艉軸承剛度為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1，用剛度符號(hào)③代指后艉軸承剛度為水平剛度 4.6×109/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1。其他軸承各方向上的剛度為定值，均保持水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1。

3.1 固有頻率計(jì)算

由于引入了螺旋槳的陀螺效應(yīng)，采用QR阻尼法，所得的特征值為復(fù)數(shù)，其虛部為進(jìn)動(dòng)（回旋）頻率，實(shí)部為衰減系數(shù)，且特征值成對出現(xiàn)，對應(yīng)正回旋和逆回旋的固有頻率。按照上面的代指規(guī)則，依次改變后艉軸承剛度，分別在計(jì)入陀螺效應(yīng)和不計(jì)入陀螺效應(yīng)這兩種情況下進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前三階正逆回旋固有頻率，如表1和表2所示。

表1不計(jì)陀螺效應(yīng)時(shí)正逆回旋固有頻率Tab.1 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration without considering the gyroscopic effect

表2計(jì)入陀螺效應(yīng)時(shí)正逆回旋固有頻率Tab.2 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration considering the gyroscopic effect

得到不同剛度下各階回旋振動(dòng)在計(jì)入（不計(jì)入）螺旋槳陀螺效應(yīng)時(shí)的相對變化量，如表3所示。

對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，采用以下公式：

表3相對變化量Tab.3 The relative change amount

由表1-3可知，不計(jì)入陀螺效應(yīng)時(shí)，回旋振動(dòng)便退化為橫向振動(dòng)。當(dāng)后尾軸承垂直方向的剛度與水平方向剛度相同時(shí)，軸系會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)成對（共軛方向）的回旋振動(dòng)固有頻率，其值大小相同；當(dāng)后尾軸承垂直方向的剛度與水平方向剛度不相同時(shí)，例如保持垂直方向剛度不變，當(dāng)水平方向的剛度單獨(dú)降低，則水平方向上對應(yīng)的回旋振動(dòng)固有頻率降低，即相應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速降低，而垂直方向上的回旋振動(dòng)固有頻率不變化。這說明，不計(jì)陀螺效應(yīng)時(shí)，軸承某一方向上的剛度變化只會(huì)影響到該方向上橫向振動(dòng)固有頻率（臨界轉(zhuǎn)速），而不會(huì)影響其他方向。

計(jì)入螺旋槳陀螺效應(yīng)時(shí)，相較于不計(jì)入螺旋槳陀螺效應(yīng)（橫向振動(dòng)）而言，當(dāng)水平方向剛度降低時(shí)，逆回旋固有頻率會(huì)在水平橫向振動(dòng)固有頻率的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低；正回旋各階固有頻率會(huì)略微提高，但是其相對變化量與逆回旋各階固有頻率的相對變化量大小相近。這說明螺旋槳的陀螺力矩在正回旋（正進(jìn)動(dòng)）時(shí)提高了臨界轉(zhuǎn)速，在逆回旋（反進(jìn)動(dòng)）時(shí)降低了臨界轉(zhuǎn)速，且其對正逆回旋的影響相當(dāng)。

比較上面后艉軸承剛度各向同性與各向異性兩種情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)后艉軸承剛度各向異性時(shí)，計(jì)入陀螺效應(yīng)與不計(jì)入陀螺效應(yīng)的相對變化量很小，即此時(shí)螺旋槳的陀螺效應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有各向同性時(shí)顯著。再分析公式（2）和公式（3），推斷這可能是由以下兩個(gè)因素造成的：

（1）根據(jù)公式（2），支承各向同性時(shí)陀螺效應(yīng)包含科氏力矩（由自轉(zhuǎn)角速度決定）和慣性力矩JdΩωθ（由公轉(zhuǎn)角速度和自轉(zhuǎn)角速度決定）。ANSYS中陀螺效應(yīng)是建立在高速軸的基礎(chǔ)上，即假定轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于公轉(zhuǎn)角速度，因此其陀螺力矩主要是由轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度決定的。而本文中研究對象為大型低速集裝箱船，其軸系轉(zhuǎn)速較低，而公轉(zhuǎn)角速度有可能與自轉(zhuǎn)角速度處于同一數(shù)量級(jí)，甚至更大，因此其牽連慣性力矩在陀螺效應(yīng)中所作貢獻(xiàn)不可以忽略。根據(jù)可以判斷ANSYS在軸承各向同性時(shí)所計(jì)算的陀螺效應(yīng)要比實(shí)際的陀螺效應(yīng)大。

（2）根據(jù)公式（3），當(dāng)軸承剛度各向異性時(shí)，其相互垂直兩個(gè)方向的陀螺力矩主要取決于軸系自轉(zhuǎn)角速度 ω、轉(zhuǎn)角速度和轉(zhuǎn)角加速度而本文中軸系自轉(zhuǎn)角速度很低，因此陀螺效應(yīng)影響不大。

3.2 坎貝爾圖計(jì)算

通常在船舶軸系回旋振動(dòng)計(jì)算中，由于伴流場的激勵(lì)特性，一般只需要求出軸頻、葉頻和倍葉頻的正逆回旋振動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速就可以了[8]。改變軸系的自轉(zhuǎn)角速度，分別畫出剛度①、剛度②和剛度③的坎貝爾圖，如圖3-5所示。

圖3剛度①的坎貝爾圖 Fig.3 Campbell diagram of stiffness①

圖4剛度②的坎貝爾圖Fig.4 Campbell diagram of stiffness②

由圖3-5可知，隨著轉(zhuǎn)速的提高，在陀螺效應(yīng)的作用下，軸系各階正回旋臨界轉(zhuǎn)速逐漸提高，逆回旋臨界轉(zhuǎn)速逐漸降低，這與理論相符。

當(dāng)后艉軸承剛度由水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1變化為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×108/N·m-1時(shí)，其正逆回旋各階臨界轉(zhuǎn)速均降低，但是此時(shí)其正逆回旋線仍在零轉(zhuǎn)速（橫向振動(dòng)）處重合；當(dāng)后艉軸承剛度由水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1變化為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1（即水平方向剛度單獨(dú)變化），其逆回旋線降低，而正回旋線變化不大，此時(shí)其正逆回旋臨界轉(zhuǎn)速線在零轉(zhuǎn)速（橫向振動(dòng)）處不重合。

圖5剛度③的坎貝爾圖Fig.5 Campbell diagram of stiffness③

3.3 臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算

由于該船軸系的額定轉(zhuǎn)速為104 r/min，即10.888 5 rad/s，在軸系啟動(dòng)到額定轉(zhuǎn)速這段范圍內(nèi)，有可能出現(xiàn)葉頻和倍葉頻的臨界轉(zhuǎn)速，通過坎貝爾圖計(jì)算得到其前三階正逆回旋的軸頻、葉頻和倍葉頻的臨界轉(zhuǎn)速，如表4所示。

表4 前三階正逆回旋臨界轉(zhuǎn)速（rad/s）Tab.4 Critical speed of first three forward and inverse whirling vibration(rad/s)

由表4可知，上面三種剛度下，在該船額定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，均不會(huì)經(jīng)過軸頻所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速，但是會(huì)經(jīng)過葉頻和倍葉頻所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速。不管是葉頻還是倍葉頻，當(dāng)軸承水平方向上的剛度單獨(dú)從K1降低到K2時(shí)，逆回旋的臨界轉(zhuǎn)速也隨之降低，介于K1和K2對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速ω1和ω2之間，接近ω2；正回旋的臨界轉(zhuǎn)速略微降低，也是介于K1和K2對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速ω1和ω2之間，接近ω1。

3.4 振動(dòng)響應(yīng)評估

螺旋槳在船尾不均勻伴流場中運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，螺旋槳受水動(dòng)力以葉頻為基頻的激振力和激振力矩作用，通過軸承傳遞給船體，這是軸系振動(dòng)的主要原因。在該節(jié)中，采用的正弦激振力為8.45 kN，橫向施加在螺旋槳對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。

通過上一節(jié)的分析發(fā)現(xiàn)，這三種剛度下的軸系一階固有頻率均在10 Hz以下，選定強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率范圍為0~10 Hz，仍然選取與上節(jié)相同的三種剛度，進(jìn)行諧響應(yīng)分析。選取螺旋槳、后尾軸承、前尾軸承這幾個(gè)具有代表性的位置，分析其受力方向的最大振動(dòng)響應(yīng)位移，其結(jié)果如表5所示，幅頻曲線如圖6-8所示。

表5軸系各關(guān)鍵位置最大位移（mm）Tab.5 Maximum displacement of the key positions(mm)

從表5和圖6-8可以看出，在一定軸承剛度下，軸系的振動(dòng)響應(yīng)位移大致從螺旋槳至推力軸承呈遞減趨勢，即螺旋槳處振動(dòng)位移響應(yīng)最大。一般情況下，軸承某方向上的剛度越大，則該方向的振動(dòng)響應(yīng)位移越小。

軸承剛度各向異性時(shí)，例如當(dāng)軸承水平方向上的剛度從K1降低到K2時(shí)，在水平方向的激勵(lì)下，該方向上的最大響應(yīng)位移ζ也隨之增大；而在其相互垂直的方向上產(chǎn)生的位移相對來說較小，可忽略不計(jì)。當(dāng)在垂直方向施加同樣的激勵(lì)時(shí)，垂直方向上最大位移響應(yīng)略小于K1對應(yīng)的最大位移響應(yīng)ζ1，這需要進(jìn)一步探討。

圖6剛度①的幅頻曲線Fig.6 The Amplitude-Frequency curve of stiffness①

圖7剛度②的幅頻曲線Fig.7 The Amplitude-Frequency curve of stiffness②

圖8剛度③的幅頻曲線Fig.8 The Amplitude-Frequency curve of stiffness③

4 結(jié) 論

本文以轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，分析了公式法與ANSYS有限元法在計(jì)算陀螺效應(yīng)時(shí)的異同，建立了某船舶推進(jìn)軸系的有限元模型，并在后艉軸承剛度各向同性和各向異性的情況下，分析了其在額定轉(zhuǎn)速下的回旋振動(dòng)固有頻率，得到軸頻、葉頻和倍葉頻的臨界轉(zhuǎn)速，以及對振動(dòng)響應(yīng)做出了分析與評估。其結(jié)論如下：

（1）不計(jì)陀螺效應(yīng)時(shí)，軸承某一方向上的剛度變化只會(huì)影響到該方向上橫向振動(dòng)固有頻率（臨界轉(zhuǎn)速），而不會(huì)影響其他方向。計(jì)入陀螺效應(yīng)時(shí)，螺旋槳的陀螺力矩在正回旋（正進(jìn)動(dòng)）時(shí)提高了臨界轉(zhuǎn)速，在逆回旋（反進(jìn)動(dòng)）時(shí)降低了臨界轉(zhuǎn)速，且其對正逆回旋的影響相當(dāng)。有限元軟件ANSYS在后艉軸承各向同性時(shí)計(jì)算陀螺效應(yīng)與實(shí)際有一定偏差。

（2）隨著轉(zhuǎn)速的提高，在陀螺效應(yīng)的作用下，軸系各階正回旋臨界轉(zhuǎn)速逐漸提高，逆回旋臨界轉(zhuǎn)速逐漸降低。在坎貝爾圖中，后艉軸承剛度各向同性時(shí)，其正逆回旋曲線在零轉(zhuǎn)速（橫向振動(dòng)）處重合；后艉軸承剛度各向異性時(shí)，其正逆回旋曲線在零轉(zhuǎn)速（橫向振動(dòng)）處不重合。

（3）在一定軸承剛度下，軸系的振動(dòng)響應(yīng)位移大致從螺旋槳至推力軸承呈遞減趨勢。一般情況下，軸承某方向上的剛度越大，則該方向的振動(dòng)響應(yīng)位移越小。