成慶林,馬妍欣,楊金威,馮 云,甘亦凡,黃作男
(東北石油大學提高油氣采收率教育部重點實驗室,黑龍江大慶163318)
在工程建設中,為確定離心泵的開泵方案,一般需要知道離心泵的特性曲線方程。離心泵的特性曲線或有關(guān)設計材料都是以參數(shù)或圖形的形式給出的,并沒有明確的表達式,難以得到具體的泵性能參數(shù)。如何選擇合適的數(shù)學擬合模型,數(shù)學擬合模型參數(shù)的確定及將離心泵的性能曲線轉(zhuǎn)換為計算機語言下的圖形是擬合的關(guān)鍵問題[1]。為此,對離心泵的H-Q曲線進行冪函數(shù)、多項式以及指數(shù)擬合,并對其進行誤差分析,選出最優(yōu)擬合方程[2]。
由于設備廠家提供的泵性能曲線H-Q與實際運行存在一定偏差,造成模擬計算結(jié)果與實際不符,影響運行方案的制定,因此要對擬合后的離心泵H-Q性能曲線進行校正。
在實際工程中,大部分通過人為觀測的數(shù)據(jù)都有誤差,此時若要求一條曲線經(jīng)過所有已知點是不合理的。因此為解決離心泵性能曲線擬合問題,盡可能全面地反映實際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,必然要求每個離散點上的計算值與實際值的絕對值之差盡可能小,通常要求誤差平方和最小即可。擬合過程中采集的實際數(shù)據(jù)越多,則擬合效果越好,函數(shù)曲線越精確[3]。
若假設變量為X1,X2,…,Xn,y1,y2,…,yt(t≥n),通過下面的算式計算得到:
假如Xa為真實值,利用上述公式可求出真實的ya,假如測量值為y*a,則計算的誤差為:
則最小二乘法可表示為:
若進行測量的精度不等,則應在上述的計算基礎上加上各個測量值的權(quán)重因子Pa,則式(3)改寫為:
研究的最小二乘法是建立在隨機誤差呈現(xiàn)正態(tài)分布時,利用最大似然理論所推導出的結(jié)果。
采用VB語言對H-Q曲線進行冪函數(shù)形式的擬合。
(1)擬合方程式建立
對于固定轉(zhuǎn)速下的離心泵,可通過實測不少于5組的H-Q數(shù)據(jù)來對其性能曲線進行最小二乘法擬合,得到如下的函數(shù)表達式:
式中,Q為離心泵流量,m3/h;H為離心泵揚程,m;a、b為待定系數(shù),由實測或泵特性曲線上得到的n組(Q,H)數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法回歸得到;m為流態(tài)指數(shù),層流m=1,水力光滑區(qū)m=0.250,混合摩擦區(qū)m=0.123,粗糙區(qū) m=0。
(2)待定系數(shù)確定
根據(jù)最小二乘法定義,最小二乘法如式(6)所示:
假如式(2)成立,則式(7)成立:
求解式(3)得:
式中,n為泵樣本所測試的Q、H數(shù)據(jù)組數(shù)。
(3)編程
①打開VB6.0,創(chuàng)建一個標準工程文件[4]。按設計要求對新建的工程文件進行可視化設計(見圖1),主要滿足7個功能:查看數(shù)據(jù)、曲線擬合公式、擬合圖像、清除、誤差分析、保存以及幫助。窗口設計3個Text文本框和一個PictureBox。3個文本框分別用來表示輸出擬合點數(shù)據(jù)、輸出擬合公式、輸出誤差值。
②在設計完窗口后,需要根據(jù)事先選定好的數(shù)學模型進行編程求解。代碼應盡量不繁瑣,簡單易懂。盡量少地調(diào)用程序塊,以增加程序的運行速度。編程思路如下:
A.在VB6.0的代碼窗口中對所需要使用的各個變量進行定義。
B.將數(shù)據(jù)進行篩選,利用最小二乘法寫出對應方程組。
C.對方程組進行求解并將其結(jié)果輸出到窗口中。
③編程結(jié)束后,應對工程進行不斷調(diào)試,若發(fā)現(xiàn)問題應及時調(diào)整,直到符合要求。
(4)求解并檢驗擬合誤差
為了計算擬合誤差,采用如下方程式計算誤差。
式中,H為樣本值或?qū)崪y值,m;H0為擬合方程的計算值,m。
為了驗證冪函數(shù)擬合的H-Q性能曲線方程的可行性,若擬合后精確度大于等于95%,則認為擬合效果良好。
用VB語言編程對其實現(xiàn)多項式擬合[5-7]。
(1)擬合方程式建立
設擬合多項式的次數(shù)為m,則需擬合的方程形式可表示為:
式中,Xj為待定系數(shù),j=0,1,???,m。
將方程改寫為:
(2)待定系數(shù)確定
將式(12)改寫成如下矩陣形式[8?10]:
根據(jù)最小二乘法定義對式(13)進行求解,則式(13)應滿足如下關(guān)系式:
解方程求得X=(A'A)-1(A'B)。
由Runge現(xiàn)象可知,多項式擬合次數(shù)越高,擬合精度未必越高。為了同時滿足精度和運算速度的要求,本次離心泵的H-Q曲線采用2次多項式擬合[11]。
(3)編程
編程過程同冪函數(shù)擬合。
(4)求解并檢驗擬合誤差
用LOGEST函數(shù)來實現(xiàn)H-Q指數(shù)函數(shù)擬合[12?14]。
(1)擬合方程式建立
式中,b、m為待定系數(shù)。
(2)待定系數(shù)確定
在回歸分析中,LOGEST函數(shù)可以計算出最符合數(shù)據(jù)的指數(shù)回歸的擬合曲線。LOGEST函數(shù)語法形式為:
式中,數(shù)組known_y’s是揚程H的集合;數(shù)組known_x’s是數(shù)組流量Q的集合;const為一邏輯值,
TRUE表示指數(shù)模型中沒有常數(shù)量,FALSE表示指數(shù)模型中有常數(shù)量;stats也為一邏輯值,指定時刻返回附加回歸統(tǒng)計值,本文中將其設置為FALSE。
(3)求解并檢驗擬合誤差
下面為3組出廠性能曲線H-Q數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)是從文獻[15]的出廠性能曲線圖中進行取點并加以整理形成表1。
表1 出廠性能曲線數(shù)據(jù)Table 1 Factory performance curve data
根據(jù)實測數(shù)據(jù)及VB編程語言編制VB程序,以數(shù)據(jù)1的冪函數(shù)回歸為例,VB程序界面操作界面(見圖1)以及編寫程序代碼如下所示。
圖1 數(shù)據(jù)1冪函數(shù)擬合VB界面圖Fig.1 Power function fitting VB diagram of data 1
所編寫的程序代碼:
Private Sub Command5_Click()
Randomize
Dim x(100000)
Dim y(100000)
Dim M(100)
Dim n,j As Integer
n=InputBox('請輸入坐標個數(shù):')
For j=1 To n
x(j)=InputBox('請輸入第'&j&'個點的橫坐標')
sumx1=sumx1+x(j)^2
sumx2=sumx2+x(j)^4
y(j)=InputBox('請輸入第'&j&'個點的縱坐標')
sumy=Val(sumy+y(j))
sumxy=sumxy+x(j)^2*y(j)
Text1.Text=(Text1.Text+(x(j)&','&y(j)))&vbCrLf
Next j
Picture1.Scale(-10,52)-(300,-5)
Picture1.DrawWidth=3
Picture1.Line(0,0)-(5200,0),vbBlack
Picture1.Line(0,520)-(0,0),vbBlack
Picture1.Circle(0,0),0,vbRed
For i=0 To 500 Step 50
Picture1.Line(i,0.3)-(i,0)
Picture1.Print i
Next i
For j=1 To n
Picture1.PSet(x(j),y(j)),vbBlack
Next j
For i=0 To 500 Step 50
Picture1.Line(0,i)-(0.3,i)
Picture1.Print i
Next i
Picture1.Scale(-10,52)-(300,-5)
a=(sumx2*sumy-sumxy*sumx1)/((n*sumx2)-((sumx1)^2))
B=(sumx1*sumy-n*sumxy)/(n*sumx2-((sumx1)^2))
For Q=0 To 250
H=a-B*Q^2
Picture1.PSet(Q,H),RGB(255,0,0)
Next Q
Text4.Text=Format(a,'0.0000')
Text5.Text=Format(B,'0.0000')
Text2.Text=CStr(Text4.Text)&'-'&CStr(Text5.Text)+'*Q^2'
For j=1 To n
M(j)=Text4.Text-(Text5.Text*(x(j)^2))
Wucha=Wucha+(Abs(M(j)-y(j)))/y(j)
Text3.Text=Wucha/n
Text3.Text=Format(Text3.Text,'0.00000')
Next j
End Sub
Private Sub Command6_Click()
Picture1.Cls
End Sub
根據(jù)最小二乘法原理結(jié)合VB編程語言,得出冪函數(shù)及多項式擬合,運用LOGEST函數(shù)對泵的H-Q性能曲線進行指數(shù)形式擬合,結(jié)果如表2和圖2所示。
表2 擬合方程計算結(jié)果Table 2 Calculation results of fitting equation
根據(jù)表2擬合結(jié)果,多項式的擬合結(jié)果更精確,誤差更小。因此用多項式的數(shù)學模型更能準確地表示離心泵H—Q性能曲線,為下一步出廠性能曲線校正提供基礎。
在進行泵的出廠性能曲線擬合之后,由于離心泵在實際運行中會出現(xiàn)與設備廠家提供的性能曲線有一定偏差的現(xiàn)象,又因為泵的運行數(shù)據(jù)可能非常少且較密集,因此我們可以對出廠性能曲線進行上下左右移動來進行出廠性能曲線的校正。校正的方法也是最小二乘法。以多項式形式的出廠數(shù)據(jù)1得出的方程為例進行說明。
圖2 各種函數(shù)擬合結(jié)果Fig.2 Different function fitting result
通過計算,得到泵的H-Q的出廠性能曲線為:
通過對(17)沿兩個坐標軸正方向分別移動x與y單位,使揚程曲線盡量吻合實際運行數(shù)據(jù)所體現(xiàn)出的揚程特性。移動后的揚程曲線為:
通過最小二乘法計算,求出移動量x和y,使式(19)成立。
根據(jù)表1的工程實測數(shù)據(jù),泵流量分別為12、60、86 m3/h,對應揚程分別為65、59、86 m。
通過運用VB對最小二乘法進行編程求解,如圖3所示。
圖3 校正擬合結(jié)果Fig.3 Correction fit result graph
由圖3可得,校正后曲線方程為:
分析可得,校正后的曲線較之前向右平移了38.25個單位,向上平移了16.43個單位。校正之后的曲線方程與工程實測數(shù)據(jù)誤差為2.2%。校正后曲線更加準確地擬合工程實際泵的性能,為后續(xù)開泵方案提供參考。
(1)能耗計算[16?17]
泵機組能耗分析指的是泵機組提供的揚程所消耗的電量。主要是為了補充管輸原油流動過程的摩阻損失,泵機組t h的耗電量計算公式如下:
式中,Sp為耗電量,kW ?h;ρ為原油密度,kg/m3;Qv為管道的體積流量,m3/s;H為泵站總揚程,m;η1為電動機效率;η2為泵效率。
泵所需提供揚程為:
式中,H1為管道所需揚程,m;H為泵所需提供揚程,m。
加熱爐能耗分析是指加熱原油所損耗的油量,熱力能耗主要是為了補充油品與環(huán)境大氣所進行的散熱。加熱爐工作t h所消耗的油量計算公式如下:
式中,So為耗油量,kg;G為原油質(zhì)量流量,kg/s;Cp為原油比熱容,kJ/(kg ?°C);TR為熱油出加熱爐的溫度,℃;Tz為熱油進加熱爐的溫度,℃;E為燃料油低位發(fā)熱值,kJ/kg;η為加熱爐系統(tǒng)效率。
(2)能耗影響因素[13?14]
結(jié)合上述耗電量和耗油量的公式進行分析,能耗的影響因素為油品基本物性、管道運行工況以及泵或者加熱爐的設備參數(shù)。
①油品基本物性。輸送油品的密度、比熱等參數(shù)均屬于其基本物性參數(shù),由于輸送過程中油溫對能耗影響相對較小,可取三分之一起點溫度加上三分之二終點溫度作為計算溫度來計算能耗。
②管道運行參數(shù)。管道運行參數(shù)包括原油流量、進出站壓力等參數(shù)。通過式(21)和式(23)可看出,流量越大,耗電量和耗油量越大。此外油品輸量的變化也會對進出站油溫有影響,主要是因為溫度對油品黏度有較大影響,而黏度會對管道摩阻造成影響,因而造成耗電量和耗油量的不同。
③離心泵、加熱爐參數(shù)。離心泵以及加熱爐的參數(shù)對能耗有著直接的影響,比如泵效率、加熱效率、泵揚程等參數(shù),且泵效率或者加熱效率越高,其能耗越低。離心泵中主要的參數(shù)就是離心泵的性能曲線,因此離心泵的性能曲線一定要準確,才能準確計算出后期能耗或者對未來能耗進行預測。
(3)實例分析
某工程由于沿線地溫較高,油品溫度均高于凝點,因此輸送過程中無需開加熱爐。通過上述分析可以看出,泵揚程、泵效率以及電動機的效率直接影響耗電量,且泵效率和電動機效率越大,耗電量越小。因此通過正確的擬合公式進行出廠特性曲線擬合并通過工程實際數(shù)據(jù)進行校正可以得出較為準確的耗電量,否則可能會多開泵,從而造成能源的浪費。
以上述數(shù)據(jù)1為例說明泵出廠特性曲線擬合公式校正對于能耗的影響。流量為82 m3/h,原油密度為845 kg/m3。
選用多項式函數(shù)進行泵出廠曲線擬合:當Q=82 m3/h時,根據(jù)上文的多項式擬合公式。H1=37 m,η1=72.8%,η2=85%。
當Q=82 m3/h時,根據(jù)校正后的多項式擬合公式。H1=58.2 m,η1=73%,η2=85%。
假設一臺泵能提供60 m的揚程,通過對校正前后所需揚程進行計算,沒有校正時計算揚程為60 m,校正后為94 m。若采用沒有校正時開泵方案設計,很有可能只開一臺泵即可,但實際上一臺泵遠遠達不到要求。由此可以看出,對泵進行出廠性能曲線校核是十分重要的。
(1)對離心泵進行測試的結(jié)果表明,在摩擦區(qū)時,H-Q曲線的冪函數(shù)擬合,多項式擬合差均在5%以內(nèi),但多項式的擬合誤差更小,結(jié)果與曲線數(shù)據(jù)更接近。
(2)多項式擬合的方法可以推廣到離心泵的流量-效率、流量-功率等曲線的擬合,經(jīng)過反復試驗,其擬合誤差均較小。
(3)雖然只進行離心泵的數(shù)學模型擬合,但本方法同樣適用于容積泵的特性曲線擬合,經(jīng)過多次測試,擬合誤差均較小。
(4)由于離心泵在實際運行中會與設備廠家提供的性能曲線有一定偏差,又因為泵的運行數(shù)據(jù)可能非常少且較密集,因此我們可以對出廠性能曲線上下左右移動來進行出廠性能曲線的校正。通過實例可以看出,對泵進行出廠性能曲線校核是十分必要的。