孫宏浩，杜勁松，楊旭，褚云凱

(中國科學(xué)院沈陽自動化研究所 智能檢測與裝備研究室，沈陽 110016)

隨著機床主軸特性向高速、高精度、高剛性方向發(fā)展，主軸的動態(tài)特性在其設(shè)計過程中需加以考慮。角接觸球軸承作為機床主軸的核心零部件，其剛度特性直接影響主軸整體性能，故有必要對軸承剛度特性進(jìn)行分析。

國內(nèi)外專家學(xué)者對軸承剛度做了大量研究，文獻(xiàn)[1]基于Hertz理論分析了滾動軸承在簡單載荷下的變形及剛度計算；文獻(xiàn)[2]分析了角接觸球軸承的載荷分布，并在此基礎(chǔ)上計算了軸承的瞬時剛度；文獻(xiàn)[3]基于滾動軸承受力分析的擬靜力學(xué)模型，計算了電主軸軸承的動態(tài)剛度。

上述文獻(xiàn)對軸承剛度做了大量研究，但對軸承動剛度的影響因素未進(jìn)行分析，鑒于此，以某角接觸球軸承為研究對象，建立了軸承動剛度計算模型，并分析了轉(zhuǎn)速和球材料對軸承動剛度的影響。

1 角接觸球軸承擬靜力學(xué)分析

如圖1所示，以角接觸球軸承中心為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，軸承外載荷可表示為

FT=[Fx,Fy,Fz,Mx,My]，

(1)

式中：Fx,Fy,Fz分別為軸承在x，y，z方向的作用力；Mx，My分別為軸承繞x，y方向的力矩。

圖1 軸承受載示意圖

內(nèi)圈在外載荷作用下的位移為

δT=[δx,δy,δz,γx,γy]，

(2)

式中：δx，δy，δz分別為內(nèi)圈在x，y，z方向的位移；γx，γy分別為內(nèi)圈相對于x，y方向的角位移。

建立球圓柱坐標(biāo)系(圖2)，內(nèi)圈與球接觸點坐標(biāo)為(zp,rp,φ)，接觸力可表示為

QT=[Qr,Qz,T]，

(3)

接觸點(zp,rp,φ)位移可表示為

uT=[ur,uz,θ]，

(4)

接觸力與位移的關(guān)系可表示為

Q=Q(u)。

(5)

式中：Qr，Qz分別為球與內(nèi)圈接觸點在r，z方向的作用力；T為球與內(nèi)圈接觸點的作用力矩；ur，uz分別為球與內(nèi)圈接觸點在r，z方向的位移；θ為球與內(nèi)圈接觸點的角位移。

圖2 球圓柱坐標(biāo)系

位移u較小，可由軸承內(nèi)圈整體位移δ通過坐標(biāo)變換得到，即

u=Rφδ，

(6)

式中：φ為球的角位置(x正方向為0°位置)。

接觸力Q乘以坐標(biāo)變換矩陣，變換為作用于內(nèi)圈的等效力，即

(7)

式中：Fbx,Fby,Fbz分別為球作用于內(nèi)圈的等效力在x,y,z方向的分量;Mbx，Mby分別為球作用于內(nèi)圈的等效力矩在x,y方向的分量。

軸承整體受力平衡方程為[4]

(8)

式中：Z為球數(shù)；j代表第j個球。

由(7)，(8)式可得

(9)

(9)式為一組非線性方程，方程中未知參數(shù)δx,δy,δz,γx,γy通常采用數(shù)值法求解，采用Newton-Raphson法將(9)式轉(zhuǎn)化為一組線性方程，即

(10)

Δδ=δi+1-δi，

(11)

ΔδT=[Δδx,Δδy,Δδz,Δγx,Δγy]，

式中：Δδx，Δδy，Δδz分別為內(nèi)圈在x，y，z方向的位移變化量；Δγx，Δγy分別為內(nèi)圈在x，y方向的角位移變化量。

在軸承運轉(zhuǎn)過程中，球與內(nèi)、外圈溝道會發(fā)生接觸變形，球心由Ob移動到O′b，內(nèi)溝曲率中心由Oi移動到O′i，如圖3所示。

圖3 球與內(nèi)、外圈溝道相對位置示意圖

由圖3所示的幾何關(guān)系可得

(12)

(13)

li=[(l0icosα0+ur-vr)2+(l0isinα0+uz-vz)2]1/2,

(14)

le=[(l0ecosα0+vr)2+(l0esinα0+vz)2]1/2，

(15)

δi=li-l0i-Δi，

(16)

δe=le-l0e-Δe，

(17)

式中：α0為初始接觸角;αi,αe為球與內(nèi)、外圈溝道的接觸角；li，le分別為發(fā)生變形后球心與內(nèi)、外溝曲率中心的距離;l0i，l0e分別為發(fā)生變形前球心與內(nèi)、外溝曲率中心的距離;δi，δe分別為球與內(nèi)、外圈溝道的接觸變形；Δi，Δe分別表示球與內(nèi)、外圈溝道之間的初始間隙。

球受力平衡方程為

(18)

式中：Qi，Qe分別為球與內(nèi)、外圈的接觸載荷；ci，ce可參考文獻(xiàn)[5]計算。

球受到內(nèi)圈的接觸力為

(19)

未知參數(shù)球中心位移向量(vr,vz)采用Newton-Raphson法求解，定義(Δvr,Δvz)為下步迭代中未知量變化量，(18)式可轉(zhuǎn)化為

(20)

對(20)式求導(dǎo)可得

(22)

2 角接觸球軸承動剛度計算

(24)

為方便計算，定義接觸力向量Q-、內(nèi)溝曲率中心位移向量u-和球位移向量v-分別為[5]

(25)

(26)

(27)

其中w-=u--v-。

推導(dǎo)可得

(28)

定義

(29)

(30)

(31)

球受力平衡方程可表示為

(32)

(20)式中的Jacobian矩陣可表示為

(33)

即

JB=JBi+JBe。

(34)

(32)式對u-求導(dǎo)可得

(35)

(35)式可轉(zhuǎn)化為

(36)

w-對v-求導(dǎo)，可得

dw-=-dv-，

(37)

聯(lián)立(25)—(37)式可得

(38)

聯(lián)立(21)，(22)，(23)，(30)，(31)式可得

(39)

(40)

通過迭代求解可得接觸剛度矩陣為

(41)

3 實例分析

表1 角接觸球軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對軸承動剛度的影響

內(nèi)、外圈材料為GCr15Z，球材料為Si3N4,在不同預(yù)緊力Fz下軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的變化如圖4所示，由圖可知:隨轉(zhuǎn)速增大，軸承軸向和徑向剛度先減小后趨于穩(wěn)定；當(dāng)轉(zhuǎn)速小于1.7×104r/min時，預(yù)緊力對軸承軸向和徑向剛度的影響較大，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于1.7×104r/min時，預(yù)緊力對軸承徑向和軸向剛度的影響較小。

圖4 轉(zhuǎn)速對軸承剛度的影響

3.2 球材料對軸承剛度的影響

軸承套圈材料選用GCr15Z，球材料分別為Si3N4，GCr15Z，ZrO2及SiC時,軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的變化如圖5所示。由圖可知：1)球材料變化時，軸承軸向和徑向剛度隨轉(zhuǎn)速的變化曲線隨之改變，但總體變化趨勢相同；2)球材料為Si3N4，SiC時，軸向和徑向剛度隨轉(zhuǎn)速的變化曲線比較接近，球材料為GCr15Z，ZrO2時，軸向和徑向剛度隨轉(zhuǎn)速的變化曲線比較接近；3)當(dāng)轉(zhuǎn)速小于2.0×104r/min時，球材料為Si3N4，SiC時軸承的軸向和徑向剛度比球材料為GCr15Z，ZrO2時的要大，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于2.5×104r/min時，球材料為GCr15Z，ZrO2時軸承的軸向和徑向剛度比球材料為Si3N4和SiC時的大。這是由于材料密度會影響物體的慣性力矩及質(zhì)量，材料彈性模量和泊松比會影響兩物體接觸形變量，從而影響軸承剛度。

圖5 球材料對軸承剛度的影響

4 結(jié)論

1)隨轉(zhuǎn)速增大，軸承軸向和徑向剛度會先減小后趨于穩(wěn)定；

2)球材料的選擇會對軸承剛度產(chǎn)生影響，球材料為Si3N4，SiC時，軸承軸向和徑向剛度隨轉(zhuǎn)速的變化曲線比較接近，球材料為GCr15Z，ZrO2時，軸承軸向和徑向剛度隨轉(zhuǎn)速的變化曲線比較接近；

3)當(dāng)轉(zhuǎn)速小于2.0×104r/min時，球材料為Si3N4,SiC時軸承軸向和徑向剛度比球材料為GCr15Z,ZrO2時的要大，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于2.5×104r/min時，球材料為GCr15Z,ZrO2時軸承軸向和徑向剛度比球材料為Si3N4和SiC時的大。