陳俐宏

橢圓與雙曲線都屬于圓錐曲線，它們在性質(zhì)上體現(xiàn)出統(tǒng)一性與相似性，此類性質(zhì)成為近年來高考的熱點(diǎn)之一.下面筆者探究了橢圓與雙曲線的一類對偶性質(zhì)，與讀者共賞，

性質(zhì)1

F2，A，B分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)和左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AP，PF1和PE，且直線AP與x=a相交于點(diǎn)D，則以BD為直徑的圓與直線PF，PF都相切. 證明設(shè)直線IAP：y=k（x+a），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，2ka），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，ka）.

下證以BD為直徑的圓與直線PF相切，同理可證與直線PF2相切.

證法1

∵以BD為直徑的圓的半徑為|BE=|ka|，則d=|BE|，故以BD為直徑的圓與直線PF1相切.

證法2.

∵直線BF1與以BD為直徑的圓相切，

∴與直線BF1所成角為2∠BF1E的直線PF1也與以BD為直徑的圓相切.

注∠BF1P和∠BF1E的取值范圍為[-900，900].

我們將性質(zhì)l類比到雙曲線，從而得到一個對偶性質(zhì)，限于篇幅，以下證明從略.

性質(zhì)2 已知雙曲線c：

點(diǎn)F1，F(xiàn)2，A，B分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)和左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于AB兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AP， PF1和PF2，且直線A與x=a交于點(diǎn)D，則以BD為直徑的圓與直線PF1，PF2都相切.

推論3 已知雙曲線c：

點(diǎn)E，F(xiàn)，A，B分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)和左、右頂點(diǎn)，過雙曲線C上右支異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)P作直線AP，P和PF2，且直線AP與x=a相交于點(diǎn)D，則△PFIF2的內(nèi)切圓是以BD為直徑的圓.