蔡文豪 黃 玲 高 聰

（廣東省建筑科學(xué)研究院集團(tuán)股份有限公司，廣東 廣州 510500）

隨著大型城市的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長和科技高速發(fā)展，越來越多的人口流向了這些大型城市，擁擠的人口給城市交通帶了巨大的壓力和挑戰(zhàn)。城市軌道交通成為應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)的首選。城市軌道交通是特大型隱蔽性的系統(tǒng)工程，一項(xiàng)工程投資將達(dá)上百億，涉及十幾個(gè)專業(yè)，地鐵施工具有難度大、復(fù)雜程度高、項(xiàng)目周期長，周邊環(huán)境影響大、風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)高的特點(diǎn)。為了充分保障城市軌道交通完成每天安全運(yùn)送數(shù)百萬人次的任務(wù)，其質(zhì)量控制也是尤為嚴(yán)苛，這其中之一就是對(duì)地鐵隧道的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行檢測。

運(yùn)營期間的地鐵隧道關(guān)注重點(diǎn)之一在于其軌道的位移監(jiān)測。地鐵隧道的沉降控制值、沉降速率控制值均已在相關(guān)規(guī)范中作出規(guī)定。為了保障列車行駛安全，《上海市地鐵沿線建筑施工保護(hù)地鐵技術(shù)管理暫行規(guī)定》規(guī)定了地鐵軌道的最小曲率半徑不得小于15 000 m，這一限值在工程界被廣泛采用[1-3]。對(duì)于具體的隧道區(qū)間，通常只按照指定的間隔監(jiān)測其沉降值，如何根據(jù)這一系列離散的沉降監(jiān)測值求整個(gè)隧道的曲率值是一個(gè)重要的問題。文章將采用三次均勻B樣條曲線擬合的方法進(jìn)行求解。

1 三次均勻B樣條

在數(shù)值分析領(lǐng)域中，B樣條或基本樣條是這樣的樣條函數(shù)——其對(duì)給定的自由度、平滑度和域區(qū)劃分具有最小的支集（support）。給定自由度的任何樣條函數(shù)都可以表示為該自由度的B樣條的線性組合[4]?；綛樣條具有彼此等距的結(jié)點(diǎn)，可很好地應(yīng)用于曲線擬合和數(shù)值差分中。

本質(zhì)上，n階樣條是一個(gè)變量為x的n-1階分段多項(xiàng)式函數(shù)。各分段多項(xiàng)式“接頭”處的變量值稱之為節(jié)點(diǎn)，用…,t0, t1, t2, …表示，并且將這些節(jié)點(diǎn)在數(shù)值上按照非遞減順序排列。若上述節(jié)點(diǎn)各異時(shí)，多項(xiàng)式部分的前n-1個(gè)導(dǎo)數(shù)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)；若上述節(jié)點(diǎn)中有個(gè)節(jié)點(diǎn)重合，則只有樣條的前n-r個(gè)導(dǎo)數(shù)在該節(jié)點(diǎn)連續(xù)。此外，若上述節(jié)點(diǎn)各異并且等間距，稱之為均勻樣條，否則稱之為非均勻樣條。本研究是基于均勻樣條展開的。

或者，可以通過Cox-de Boor遞歸公式[5]來構(gòu)造B樣條。對(duì)于給定的結(jié)點(diǎn)序列…, t0, t1, t2, …，一階B樣條可以如此定義：

而更高階的B樣條通過如下遞歸公式定義：

2 曲率的求解

按照上述方式可根據(jù)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行三次均勻B樣條擬合，從而求出整個(gè)隧道區(qū)間的沉降曲線，理論上，該曲線是一條二階連續(xù)可導(dǎo)的平滑曲線。由于計(jì)算過程均采用計(jì)算機(jī)編程的方式完成，實(shí)際上最終的曲線由一系列間距很小的離散點(diǎn)表示。沉降后的軌道曲率正是基于這一系列離散的光滑散點(diǎn)，并采用數(shù)值計(jì)算的方式完成。筆者將介紹在曲率求解中遇到的問題，以啟發(fā)讀者。

曲線的曲率（curvature）就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度（如圖1所示），數(shù)學(xué)上表明曲線在某一點(diǎn)的彎曲程度的數(shù)值[6]。曲率的另一個(gè)定義是，在曲線任一點(diǎn)作一個(gè)與該曲線相切的圓（密切圓），該圓半徑的倒數(shù)即為該曲線在該點(diǎn)的曲率，而該圓的半徑則稱之為該點(diǎn)處的曲率半徑，如圖2所示。

圖1 曲率的數(shù)學(xué)定義

圖2 曲率與密切圓的關(guān)系

對(duì)于曲率的求解，最先想到的就是定義法。即對(duì)于任何一個(gè)光滑曲線 y=f(x)，其曲率可根據(jù)定義推導(dǎo)出如下公式：

上式中關(guān)于一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的求解，可以對(duì)曲線橫坐標(biāo)做盡可能小的細(xì)分，并采用差分近似微分的方法（即在圖像上表現(xiàn)出割線近似代替切線的方法）來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。即第j點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)可由如下差分格式求得：

課堂1：老師聲音清晰，但是緊張，后稍好。準(zhǔn)備教學(xué)材料充分，講故事學(xué)習(xí)單詞，較好，但是節(jié)奏緩慢。問題太難，提示較少，沒有介紹強(qiáng)調(diào)具體的事例或語言點(diǎn)，給學(xué)生做筆記。(2006年10月9日)

通常，在計(jì)算過程中取均勻步長，即h=x( j)-x( j-1)為一定值，則上式為：

同理，即第j點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)可由如下差分格式求得：

需要注意的是，對(duì)于討論的軌道曲率半徑的求解問題，由于所討論區(qū)間隧道的長度方向量級(jí)通常都在數(shù)十米至數(shù)百米之間，而隧道的沉降都是毫米量級(jí)，因此上述差分?jǐn)?shù)值都非常小，再加之差分格式穩(wěn)定性問題[7]，導(dǎo)致用曲率公式方法求解軌道曲率的結(jié)果很不理想，極易出現(xiàn)數(shù)值震蕩、發(fā)散、無法計(jì)算結(jié)果等問題。因此，對(duì)于軌道曲率的求解需要另辟蹊徑。

根據(jù)隧道沉降量相對(duì)于長度方向極小的特點(diǎn)以及數(shù)值計(jì)算過程對(duì)里程區(qū)間縱向充分劃分的前提條件，可采用三點(diǎn)定圓法近似求解軌道曲率[8]。其求解過程如下。

對(duì)于軌道曲線上的任意三點(diǎn)A，B，C，總能確定一個(gè)外接圓（若這三點(diǎn)在一條直線上，則可認(rèn)為該外接圓半徑無窮大），若這三點(diǎn)無限接近，則該外接圓與軌道曲線相切，此時(shí)外接圓的半徑的倒數(shù)即為曲線在該點(diǎn)的曲率，如圖3所示。正如前文所述，軌道沉降量相對(duì)于軌道縱向方向極小，且里程區(qū)間縱向充分劃分，即A，B，C三點(diǎn)充分接近彼此。這時(shí)可由A，B，C三點(diǎn)確定的外接圓來近似替代曲線的密切圓，換言之，該圓的半徑倒數(shù)即為要求的曲率。

圖3 三點(diǎn)定圓法求取率示意圖

上述三角形ABC的三邊長度分別為BC=a，CA=b，AB=c則根據(jù)正弦公式很容易推出三角形外接圓半徑的表達(dá)式，其倒數(shù)即為曲率：

注意到在求解軌道曲率過程中，上述三角形ABC實(shí)際上是一個(gè)“極狹長”的鈍角三角形，換言之，a+c-b≈0，甚至對(duì)于平直的軌道段有a+c-b=0。因此，曲率的求解變成了一個(gè)如何求“極狹長”的鈍角三角形面積的問題。

思路一：海倫公式法。記三角形的半周長為p=(a+b+c)/2，則三角形面積公式為：

思路二：行列式法。設(shè)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，則三角形面積可由頂點(diǎn)坐標(biāo)表示的行列式求得（式中雙豎線表示行列式求絕對(duì)值）：

由于海倫公式中p-b≈0，為了避免計(jì)算中出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的數(shù)值現(xiàn)象，因此用三頂點(diǎn)的坐標(biāo)建立行列式的方法求“極狹長”的鈍角三角形的面積。

綜上所述，一共提出了三種求解曲率的方法。由于軌道沉降值相對(duì)于其縱向里程量級(jí)特別小這一特殊原因，為了避免數(shù)值計(jì)算過程中的“大數(shù)吃小數(shù)”和其他數(shù)值發(fā)散現(xiàn)象，采用了三點(diǎn)定圓法結(jié)合坐標(biāo)頂點(diǎn)行列式求三角形面積方法求解軌道曲率。這種做法的最主要優(yōu)點(diǎn)是在數(shù)值計(jì)算過程中避免開根號(hào)的計(jì)算，從而有效避免數(shù)值發(fā)散。

3 應(yīng)用

案例一：某地鐵線路的某一區(qū)間為明挖段，隧道主要位于強(qiáng)風(fēng)化泥質(zhì)粉砂巖、中風(fēng)化泥質(zhì)粉砂巖、微風(fēng)化泥質(zhì)粉砂巖中。該區(qū)間位于珠江三角洲中西部，地形平坦，勘察期間測得鉆孔地下水位埋深一般0.7～2.9 m，地下水受季節(jié)暴雨和河水水位的影響。該區(qū)間左線約3.26 km，監(jiān)測點(diǎn)間距約40 m；右線約2.34 km，監(jiān)測點(diǎn)間距約60 m。其最后一次沉降監(jiān)測值如圖4中散點(diǎn)所示，根據(jù)散點(diǎn)進(jìn)行三次均勻B樣條擬合得到整個(gè)區(qū)間的沉降曲線，如圖4中實(shí)線所示。

圖4 案例一的監(jiān)測點(diǎn)沉降值和擬合曲線

采用前文所述的三點(diǎn)定圓法結(jié)合坐標(biāo)頂點(diǎn)行列式求三角形面積方法求解軌道曲率，如圖5所示。注意，為了清晰反映軌道沉降變形后的性質(zhì)，應(yīng)用實(shí)例中求解“極狹長”的鈍角三角形面積時(shí)并未取絕對(duì)值，導(dǎo)致曲率值有正有負(fù)。其中正值表示曲線是凹函數(shù)，即軌道在該微段下凹；負(fù)值則表示曲線是凸函數(shù)，即軌道在該微段上凸。下同。由圖可見，軌道的曲率均不超過6.67×10-5m-1，即軌道半徑均不小于15 000 m。由此表明該隧道的曲率滿足安全要求。

圖5 案例一的軌道曲率

案例二：某地鐵線路的某一區(qū)間為盾構(gòu)段，地勢平坦，地面建筑物眾多，洞身通過段巖性主要為全、強(qiáng)風(fēng)化花崗巖和硬塑狀花崗巖殘積土，洞頂主要為全風(fēng)化花崗巖和硬塑狀花崗巖殘積土，未見斷裂，巖土富水性弱。該區(qū)間左、右線均約3.6 km，監(jiān)測點(diǎn)間距均約30 m。其最后一次沉降監(jiān)測值如圖6中散點(diǎn)所示，根據(jù)散點(diǎn)進(jìn)行三次均勻B樣條擬合得到整個(gè)區(qū)間的沉降曲線如圖6中實(shí)線所示。

采用前文所述的三點(diǎn)定圓法結(jié)合坐標(biāo)頂點(diǎn)行列式求三角形面積方法求解軌道曲率，如圖7所示。同理，軌道的曲率均不超過6.67×10-5m-1，表明該隧道的曲率滿足安全要求。

圖6 案例二的監(jiān)測點(diǎn)沉降值和擬合曲線

圖7 案例二的軌道曲率

4 結(jié)語

文章采用的三次均勻B樣條曲線擬合的方法求得的軌道曲線光滑逼真，能夠真實(shí)反映發(fā)生沉降后的軌道特點(diǎn)。所述方法在求解軌道曲率方面具有很好的應(yīng)用空間。