張立川,王永召,屈俊琪

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安,710072)

0 引言

可靠的位置信息是自主水下航行器(autonomous undersea vehicle,AUV)完成水下各項(xiàng)工作的基礎(chǔ),在 AUV集群協(xié)同導(dǎo)航中,研究信息在AUV之間的傳遞規(guī)律,對(duì)于提高AUV的協(xié)同導(dǎo)航精度具有重要意義。在協(xié)同系統(tǒng)中,領(lǐng)航AUV通過(guò)高精度傳感器可較為精確地獲取自身的位置,而跟隨 AUV由于只裝備了低精度傳感器,所以必須依靠先驗(yàn)信息、自身量測(cè)信息以及和領(lǐng)航AUV或同伴跟隨AUV協(xié)作來(lái)估計(jì)自身的位置。

AUV集群的協(xié)同定位屬于網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航范疇,網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航主要指導(dǎo)航網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)單元通過(guò)獲取網(wǎng)絡(luò)內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)單元的信息后加以融合,根據(jù)自身的先驗(yàn)信息和量測(cè)來(lái)估計(jì)自身的位置。國(guó)內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者研究了單個(gè)領(lǐng)航艇和單個(gè)跟隨艇信息融合的定位誤差和導(dǎo)航算法。文獻(xiàn)[1]研究了無(wú)跡卡爾曼濾波的協(xié)同導(dǎo)航算法。文獻(xiàn)[2]研究了AUV集群編隊(duì)構(gòu)型對(duì)定位誤差的影響,但是分析模型具有一定的單一性,對(duì)于 AUV集群協(xié)同導(dǎo)航來(lái)說(shuō),不會(huì)只是局限于此,從信息論和網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航的角度出發(fā),AUV集群協(xié)同定位誤差模型應(yīng)具有更為精確的建立。文獻(xiàn)[3]研究了基于信念傳播的無(wú)人機(jī)協(xié)同網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航算法,無(wú)人機(jī)利用整個(gè)編隊(duì)信息的融合進(jìn)行協(xié)同定位,極大提高了定位精度,說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航在無(wú)人機(jī)的協(xié)同導(dǎo)航中已經(jīng)有所研究。文獻(xiàn)[4]從Fisher信息矩陣的角度出發(fā),論證了網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航系統(tǒng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的Fisher信息矩陣包含模型的先驗(yàn)信息、時(shí)間協(xié)同信息和空間協(xié)同信息。文獻(xiàn)[5]從Fisher信息矩陣的角度出發(fā),給出了網(wǎng)絡(luò)協(xié)同導(dǎo)航典型節(jié)點(diǎn)模型的空間協(xié)同、時(shí)間協(xié)同以及信息融合的定量分析,證明了當(dāng)信息量越多時(shí),節(jié)點(diǎn)的定位精度越高。

基于之前的研究,文中進(jìn)一步研究了 AUV集群的網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航方式,提出了4種典型的AUV集群網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型,并引入等價(jià)Fisher信息矩陣等相關(guān)理論,分別對(duì) 4種模型的定位誤差影響因素和定位誤差界進(jìn)行了分析和理論驗(yàn)證,通過(guò)理論和仿真試驗(yàn)證明:AUV集群在空間和時(shí)間上的相對(duì)位置關(guān)系是影響集群定位精度的重要因素,下文將對(duì)AUV集群的網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航精度做具體分析。

1 AUV集群網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型

AUV集群網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型如圖1所示。圖1(a)為單個(gè)跟隨 AUV在某個(gè)時(shí)刻tk根據(jù)水聲測(cè)距和通信從空間中若干個(gè)領(lǐng)航 AUV獲得定位信息,從而確定自身的位置,其中Na≥2 。圖 1(b)是以圖1 (a)為基礎(chǔ)的進(jìn)一步研究,圖1 (a)只研究了空間內(nèi)某個(gè)時(shí)刻跟隨AUV的定位誤差,而圖1 (b)既考慮了空間信息,同時(shí)又將時(shí)間上的位置轉(zhuǎn)換考慮在內(nèi)。圖1 (c)同樣研究跟隨AUV在某個(gè)時(shí)刻tk的定位誤差,與圖1 (a)不同的是,圖1 (c)增加了2個(gè)跟隨AUV之間的信息融合。圖1 (d)中將跟隨AUV設(shè)定為3個(gè),例如:跟隨AUV1不僅從領(lǐng)航AUV,相鄰跟隨AUV2、AUV3之間獲得信息,由于AUV2、AUV3之間也相互通信,AUV2、AUV3融合后的信息最終也會(huì)被跟隨AUV1獲得。

圖1 集群AUV網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型Fig.1 Network navigation models of AUV swarm

2 Fisher信息矩陣網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航分析

首先引入Fisher信息矩陣建立AUV集群網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航誤差模型,之后建立圖1中4種典型網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型的等價(jià) Fisher信息矩陣[6],并根據(jù)等價(jià)Fisher信息矩陣對(duì)相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型的定位精度進(jìn)行詳細(xì)分析。

2.1 理論基礎(chǔ)

假設(shè)在 AUV集群導(dǎo)航網(wǎng)絡(luò)中有一系列跟隨AUVi,用定義跟隨AUVi在tn時(shí)刻的狀態(tài),其中通過(guò) AUV之間的水聲量測(cè)量,信息傳遞以及 AUV的先驗(yàn)信息來(lái)估計(jì)AUVi的位置信息。

其中,?為克羅內(nèi)克積算子,所以S階矩陣的k×r階子矩陣可表示為

另Kij取決于AUV集群在狀態(tài)i和狀態(tài)j的先驗(yàn)信息和量測(cè)信息,且Kij=Kji,如果Kij=0,說(shuō)明AUV集群在狀態(tài)i和狀態(tài)j之間沒(méi)有先驗(yàn)信息和量測(cè)信息。如果i=j,則Kii只和AUV集群的狀態(tài)i有關(guān)。

2.2 信息融合模型

AUV集群信息融合的方式分為空間協(xié)同、時(shí)間協(xié)同和空時(shí)協(xié)同。文中只研究前 2種,跟隨AUV通過(guò)自身的先驗(yàn)信息、領(lǐng)航AUV及其他跟隨AUV的位置信息來(lái)估計(jì)自身的位置。

圖1(a)為空間域內(nèi) 1個(gè)跟隨AUV和若干領(lǐng)航AUV的信息融合圖,跟隨AUV從每一個(gè)領(lǐng)航AUV所獲得信息的Fisher矩陣為其中因此基于式(1)的 Fisher信息矩陣為

圖1(b)為時(shí)間域內(nèi)1個(gè)跟隨 AUV和若干領(lǐng)航AUV的信息融合圖,跟隨AUV在2個(gè)不同時(shí)刻t1和t2通過(guò)和領(lǐng)航 AUV信息交換以及自身傳感器測(cè)量來(lái)確定自身的位置狀態(tài)和,自身傳感器所獲得信息的 Fisher矩陣為其中因此基于式(1)的Fisher信息矩陣為

圖1(c)為空間域內(nèi)2個(gè)跟隨AUV和若干領(lǐng)航AUV在t1時(shí)刻的信息融合圖,且需要考慮2個(gè)跟隨AUV之間的信息融合。2個(gè)跟隨AUV的位置狀態(tài)為和,2個(gè)跟隨AUV通過(guò)水聲量測(cè)的 Fisher信息矩陣為因此基于式(1)的Fisher信息矩陣為

圖1(d)為3個(gè)跟隨AUV和若干領(lǐng)航AUV在空間上的信息融合圖。跟隨 AUV1不僅從領(lǐng)航AUV,相鄰跟隨 AUV2、AUV3之間獲得信息,由于AUV2、AUV3之間也相互通信,AUV2、AUV3融合后的信息最終也會(huì)獲得。跟隨 AUV的位置狀態(tài)為和,跟隨 AUV之間通過(guò)量測(cè)的信息矩陣為

2.3 定位誤差界

基于2.2節(jié)分析的結(jié)果,分別研究在網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航模型(a)～(d)的導(dǎo)航系統(tǒng)中,單個(gè) AUV通過(guò)信息融合后的定位誤差界。所以需要將第2.2節(jié)中AUV集群的 Fisher信息矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到單個(gè)AUV的等價(jià)Fisher信息矩陣和定位誤差界。

1)圖 1(a):由式(3)可以得到跟隨 AUV 的Fisher信息矩陣為

所以跟隨 AUV的平方位置誤差界(squared position error bound,SPEB)為

根據(jù)式(7)和式(8)對(duì)跟隨 AUV的定位誤差做出討論。

①η越大,即當(dāng)空間領(lǐng)航 AUV越多時(shí),tr(Ja)越大,此時(shí)跟隨AUV的定位誤差界越小。

② 當(dāng)η=2時(shí),此時(shí)空間內(nèi)有2條領(lǐng)航AUV,當(dāng)時(shí)SPEB最小,即2個(gè)領(lǐng)航AUV和跟隨AUV成90°(見(jiàn)圖2),定位誤差界最小。

圖2 雙領(lǐng)航AUV協(xié)同最優(yōu)編隊(duì)構(gòu)型Fig.2 Optimal cooperative AUV formation configuration with dual leader AUVs

③ 當(dāng)η=3,4,…,Nm時(shí),由式(8)可知,使各個(gè)領(lǐng)航AUV以跟隨AUV為坐標(biāo)原點(diǎn)成最多兩兩互成90°排布,如圖3所示,此時(shí)可以得到最小的SPEB。

圖3 多領(lǐng)航AUV協(xié)同最優(yōu)編隊(duì)構(gòu)型Fig.3 Optimal cooperative AUV formation configuration with multiple leader AUVs

2)圖 1(b):根據(jù)式(4)跟隨 AUV 在時(shí)刻tk+1的等價(jià)Fisher信息矩陣為

① 當(dāng)Jr(t)=0時(shí),說(shuō)明跟隨 AUV完全沒(méi)有從自身傳感器獲取量測(cè)信息,而是單純依靠領(lǐng)航AUV完成自身定位,此時(shí)

④ 若忽略跟隨AUV在航行時(shí)的航位推算誤差,則在t2時(shí)刻,跟隨AUV的Fisher信息矩陣為假設(shè)空間內(nèi)只有 1個(gè)領(lǐng)航AUV和 1個(gè)跟隨 AUV,分析系統(tǒng)在t2時(shí)刻跟隨 AUV的誤差情況,對(duì)應(yīng)的Fisher信息矩陣為

所以跟隨AUV平方位置誤差界為

圖4 平方位置誤差界Fig.4 Square position error bound(SPEB)

所對(duì)應(yīng)的編隊(duì)構(gòu)型如圖5所示。

3)圖 1(c):由式(5)可得,跟隨 AUV1的等價(jià)Fisher矩陣為

算例:假設(shè)跟隨AUV1,AUV2和領(lǐng)航AUV在空間的位置分別為(0,-2)、(2,0)和(0,2),假設(shè)跟隨 AUV1從領(lǐng)航 AUV處獲得的信息矩陣為量測(cè)方差σ2=1,由式(12)可以計(jì)算得到跟隨 AUV1的 Fisher矩陣,將其表示為信息橢圓[7]的形式,橢圓面積代表了在對(duì)參數(shù)估計(jì)的過(guò)程中信息量的大小和誤差范圍。跟隨 AUV信息融合前后的信息橢圓如圖 6所示,由信息橢圓面積可知,當(dāng)增加跟隨 AUV之間的信息融合時(shí),可以提高導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度。

圖6 信息融合前后信息橢圓對(duì)比Fig.6 Comparison between information ellipses before and after information fusion

4)圖1(d):為3個(gè)跟隨AUV在空間內(nèi)的信息融合,Fisher信息矩陣如式(6),由于等價(jià)Fisher信息矩陣形式十分復(fù)雜,文中不再詳述。

3 數(shù)值仿真與分析

下面通過(guò)數(shù)值算例分別對(duì)2.3節(jié)分析2)中的結(jié)論④和2.3節(jié)分析3)來(lái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1)算例1:假設(shè)空間有1個(gè)領(lǐng)航AUV從(0,0)處開(kāi)始航行,航速 2 m/s,1個(gè)跟隨 AUV同時(shí)從(-500,0)處航行,航速2 m/s。假設(shè)測(cè)距誤差0.1 m,跟隨 AUV速度傳感器的誤差 0.1 m/s,角度誤差0.1°,位置誤差 1 m,采樣周期 10 s。

試驗(yàn)組:領(lǐng)航AUV的航向?yàn)楸逼珫|30°,跟隨 AUV航向正北,之間產(chǎn)生相對(duì)觀測(cè)角度變化;對(duì)照組:領(lǐng)航AUV航向正北,跟隨AUV航向正北,之間未發(fā)生相對(duì)觀測(cè)的角度變化。2組試驗(yàn)均采用EKF協(xié)同定位算法計(jì)算2個(gè)AUV的軌跡及誤差,結(jié)果如圖7～圖10所示。

圖7 試驗(yàn)組AUV協(xié)同定位軌跡Fig.7 Tracks of AUV cooperative location for test group

圖8 試驗(yàn)組AUV協(xié)同定位誤差曲線Fig.8 Curves of AUV cooperative location error for test group

在試驗(yàn)組中,跟隨AUV和領(lǐng)航AUV之間有相對(duì)角度變化(見(jiàn)圖7),所以圖8中的定位誤差波動(dòng)小,且定位更加精準(zhǔn);而在對(duì)照組中由于跟隨AUV和領(lǐng)航AUV之間沒(méi)有發(fā)生相對(duì)角度的變化(見(jiàn)圖9),所以圖10中的定位誤差波動(dòng)較大。

圖9 對(duì)照組AUV協(xié)同定位軌跡Fig 9 Tracks of AUV cooperative location for contrast group

圖10 對(duì)照組AUV協(xié)同定位誤差曲線Fig 10 Curves of cooperative localization error of AUV of contrast group

2)算例2:假設(shè)空間有1個(gè)領(lǐng)航AUV從(0,0)處沿著正北方向航行,航速5 m/s,2個(gè)跟隨AUV分別從(-500,0)和(500,0)沿著正北方向航行,航速分別為1 m/s和2 m/s。假設(shè)測(cè)距誤差5 m,2個(gè)跟隨AUV的速度傳感器誤差為0.1 m/s,角度誤差0.1°,位置誤差1 m,采樣周期1 s。

試驗(yàn)組:2個(gè)跟隨AUV之間通過(guò)水聲通信進(jìn)行信息融合;對(duì)照組:2個(gè)跟隨AUV之間沒(méi)有信息融合。試驗(yàn)組采用基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)的信息融合算法對(duì)跟隨AUV2進(jìn)行定位,對(duì)照組采用EKF協(xié)同定位算法,跟隨AUV2的定位誤差如圖11所示。

圖11 跟隨AUV2協(xié)同定位誤差對(duì)比曲線Fig.11 Contrast curves of cooperative location error for follower AUV2

由圖11可知,與單純依靠領(lǐng)航AUV相比,增加跟隨AUV之間的信息融合可以極大地提高定位精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中提出了4種AUV集群協(xié)同定位的信息融合典型節(jié)點(diǎn)圖,并且引入等價(jià) Fisher信息矩陣等理論對(duì)影響誤差的因素進(jìn)行了分析,當(dāng)各領(lǐng)航AUV和跟隨AUV之間的方向向量最多兩兩互成90°時(shí),此時(shí)跟隨AUV的定位精度最高;當(dāng)跟隨AUV在相鄰觀測(cè)時(shí)刻和領(lǐng)航AUV的方向向量夾角越大,定位精度越高,且最高定位精度的夾角為90°;增加跟隨 AUV之間的信息融合,利用整個(gè)編隊(duì)的信息對(duì)跟隨 AUV進(jìn)行定位,可以提高定位精度。

為了使得網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航誤差模型更加完善,仍需要對(duì)增加更多跟隨 AUV的空間網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航誤差以及空時(shí)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航誤差進(jìn)行分析;需要將文中理論應(yīng)用到具體的網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航算法中分析 AUV集群的實(shí)時(shí)導(dǎo)航誤差。