安其昌，張景旭，楊 飛，趙宏超*，曹海峰

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039)

1 引 言

瑞利判據(jù)指出一定波長下望遠(yuǎn)鏡的分辨能力與口徑成正比。為了獲得更強(qiáng)的集光能力，實(shí)現(xiàn)對更深、更遠(yuǎn)、更暗宇宙目標(biāo)的探索，天文望遠(yuǎn)鏡的口徑也隨之增加。借助于主動(dòng)光學(xué)與自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)，不論是空間望遠(yuǎn)鏡還是地基望遠(yuǎn)鏡，其觀測能力都得到了空前增長。目前單鏡口徑已達(dá)到8 m量級(jí)，由于材料制備，加工工藝以及檢測手段的限制，利用整塊主鏡已經(jīng)無法更進(jìn)一步地增加集光能力。在此背景下，拼接鏡與合成孔徑望遠(yuǎn)鏡成為了目前提高集光能力的兩種主要方法[1-3]。

Giant Magellan Telescope(GMT)是由哈佛大學(xué)、麻省理工、亞利桑那大學(xué)、密歇根大學(xué)以及澳大利亞國家大學(xué)等單位聯(lián)合發(fā)起的下一代地基大口徑望遠(yuǎn)鏡項(xiàng)目，其設(shè)計(jì)階段由2003年開始，目前處于實(shí)際建設(shè)階段。GMT的工作波段覆蓋了極紫外到近紅外的廣闊區(qū)間；其主要科學(xué)目標(biāo)包括了探索類地行星、觀測宇宙起源等目前科學(xué)界亟需解決的問題。GMT的7塊主鏡由硼硅酸鹽鑄造而成，每一塊主鏡直徑均為8.4 m；其集光面積相當(dāng)于直徑為21.9 m的整鏡，在近紅外波段工作時(shí)，其衍射極限相當(dāng)于24.5 m口徑的望遠(yuǎn)鏡。目前我國的合成孔徑大口徑望遠(yuǎn)鏡尚處于起步階段，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)曾建造了等效口徑約為500 mm的原理樣機(jī)，國家天文臺(tái)與蘇州大學(xué)也對合成孔徑望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了有益的研究[4-8]。

大口徑地基望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和誤差分配是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，其涉及面廣、環(huán)節(jié)眾多、與實(shí)際應(yīng)用需求聯(lián)系極為緊密。誤差分析、分配準(zhǔn)則的研究，本質(zhì)上是建立大口徑望遠(yuǎn)鏡科學(xué)目標(biāo)與望遠(yuǎn)鏡實(shí)際性能指標(biāo)之間的關(guān)系。不僅如此，性能評(píng)價(jià)和誤差分配實(shí)際上是相互關(guān)聯(lián)的，即誤差分配本身是一個(gè)平衡過程：在既定的性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，需要綜合考慮系統(tǒng)誤差的敏感性和實(shí)際加工、生產(chǎn)能力以及成本等因素，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)誤差的分配。合成孔徑望遠(yuǎn)鏡的初衷在于提高建設(shè)的集成化與模塊化，降低建設(shè)成本，為了達(dá)到此目標(biāo)合理的誤差分析分配指標(biāo)與流程都有著至關(guān)重要的作用[9-13]。

在此，本文引入標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)源敏感性(normalized Point Source Sensitivity,PSSn)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對大口徑合成孔徑望遠(yuǎn)鏡的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行了分析。與此同時(shí)，針對合成孔徑望遠(yuǎn)鏡子鏡間的相對位置誤差存在封閉性的特點(diǎn)，提出了基于“Brownian Bridge”過程的PSSn誤差模型。

2 標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)源敏感性與誤差分析

PSSn是利用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)所有區(qū)域的積分平均，同時(shí)充分考慮了背景對光學(xué)能量傳遞所帶來的影響，故可以全面評(píng)價(jià)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。PSSn的定義與計(jì)算方法如式(1)所示：

(1)

其中，PSFe、PSFt+a為誤差的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，以及理想望遠(yuǎn)鏡在視寧度影響下的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)OTFe,OTFt+a為誤差的光學(xué)傳遞函數(shù)，以及理想望遠(yuǎn)鏡在視寧度影響下的光學(xué)傳遞函數(shù)。利用該基本性質(zhì)，可以選擇合適的方式來計(jì)算PSSn。

離散孔徑的PSSn定義如式(2)所示：

(2)

根據(jù)式(2)可得，合成孔徑PSF復(fù)振幅包絡(luò)線與單一口徑相同，但其內(nèi)部存在更多的起伏。這導(dǎo)致合成孔徑的PSSn相對下降，同時(shí)，隨著入瞳形狀的變化，系統(tǒng)PSSn也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化(在沒有光線通過的極限情況下， PSSn下降為0)。同時(shí)，由于通光口徑形狀的影響，利用離散孔徑測量所得到的PSSn也存在上限。

粗糙度是光學(xué)表面精拋光階段的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其相關(guān)理論一般只能適用于較小的評(píng)價(jià)范圍。但對于極大口徑望遠(yuǎn)鏡而言，根據(jù)Jerry Nelson的研究，由主鏡局部低階像差所引起的波前誤差對系統(tǒng)出瞳處的影響與小口徑元件表面粗糙度類似。因此，可將小口徑鏡面粗糙度的評(píng)價(jià)方法應(yīng)用于大口徑光學(xué)元件低階面形分析。

斜率均方根定義為波前斜率的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。由于斜率均方根和諸多光學(xué)指標(biāo)均有關(guān)聯(lián)，通過斜率均方根，可分析評(píng)價(jià)尺度與評(píng)價(jià)結(jié)果之間的關(guān)系。大口徑光學(xué)元件在重力印透作用下的面形RMS如式(3)所示:

(3)

其中，ξ為系數(shù)，q為單位面積上的壓力，M為支撐點(diǎn)數(shù)，D=Eh3/12(1-ν)2為剛度模量，E為彈性模量，h為鏡面厚度，ν為泊松比，S為面積。

為了適應(yīng)不同的孔徑形狀，在此使用總?cè)狱c(diǎn)數(shù)N代替取樣間隔T，代入式(3)。利用基本的幾何關(guān)系NT2=S，可得斜率均方根的量綱表達(dá)如式(4)所示：

σSlo=σRMS/T=

(4)

由式(2)～(3)可以看出，不同的評(píng)價(jià)尺度下獲得的評(píng)價(jià)結(jié)果也不盡相同，下面通過評(píng)價(jià)指標(biāo)與評(píng)價(jià)尺度之間的解析關(guān)系，進(jìn)一步研究誤差的分析與分配。

根據(jù)Beckmann 與 Spizzichino 對粗糙度的研究，實(shí)際的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與理想點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)之間存在如下關(guān)系，如式(5)所示：

|PSFt+a+e|2=e-ξ|PSFt+a|2+

(5)

(6)

對式(2)～(5)進(jìn)行分部積分，可得式(7)：

(7)

(8)

(9)

根據(jù)Born的研究，結(jié)合傅立葉光學(xué)相關(guān)理論可得衍射極限下的PSF如式(10)所示：

(10)

其中，u,v為衍射空間的坐標(biāo)，x,y為物空間的坐標(biāo)。對于圓形的孔徑，其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如式(11) 所示：

(11)

其中，Q為孔徑數(shù)量，對于最簡化的情況，PSSn如式(12)所示：

PSSnΘ,T=(1-ξ)+

(12)

圖1 PSSn與評(píng)價(jià)尺度T以及積分范圍θ的關(guān)系Fig.1 Relationship between PSSn and evaluation scale T and integral range θ

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差主要來源于系統(tǒng)內(nèi)部以及外部的振動(dòng)。由于振動(dòng)引起的圖像模糊所造成的光學(xué)傳遞函數(shù)OTF為0階貝塞爾函數(shù)，如式(13)所示：

OTFvib=J0(Aω) ,

(13)

其中，A為抖動(dòng)的幅值。ω為外界振動(dòng)的頻率，J0為0階貝塞爾函數(shù)。根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)可得式(14)：

(14)

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(15)

另一方面，結(jié)合貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)可得式(16)：

(16)

根據(jù)式(16)可得動(dòng)態(tài)誤差影響下的PSSn如式(17)所示：

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(17)

由于

2AΘ2J0(AΘ)+2Θ2J0(AΘ)J1(AΘ)>0，

可見PSSn對于A是減函數(shù)，PSSn與振幅的解析關(guān)系如圖2所示。根據(jù)PSSn隨振動(dòng)的線性衰減特性，可以內(nèi)插得到任意振動(dòng)條件下的PSSn。

根據(jù)之前的推導(dǎo)，針對已有面形數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。首先，將波前切割為圓形離散式樣，之后，根據(jù)式(17)，利用傳遞函數(shù)可以獲得在不同振動(dòng)載荷下的PSSn，如圖3所示。PSSn隨振動(dòng)的衰減基本呈線性。據(jù)此可以內(nèi)插得到任意振動(dòng)條

圖2 PSSn與評(píng)價(jià)尺度T、積分范圍θ以及振幅的關(guān)系Fig.2 Relationship between PSSn and evaluation scale T, integral range θ and amplitude

件下的PSSn。通過上述方法，可預(yù)測系統(tǒng)在不同振動(dòng)水平下的PSSn。

圖3 PSSn與振幅的關(guān)系Fig.3 Relationship between PSSn and amplitude

根據(jù)之前的分析，使用PSSn作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)以概率的標(biāo)準(zhǔn)考慮所有潛在的狀態(tài)，即可全面分析分配系統(tǒng)的誤差。PSSn 是光學(xué)傳遞函數(shù)在全部區(qū)域的廣義平均，充分地考慮了背景對光學(xué)能量傳遞所帶來的影響，故可以全面評(píng)價(jià)系統(tǒng)的成像質(zhì)量；同時(shí)，PSSn具有良好的線性合成特性，可以通過各部分PSSn的乘積，簡單、準(zhǔn)確地獲得多因素影響下的綜合誤差。

圖4 PSSn與子鏡剛體位移的關(guān)系Fig.4 Relationship between PSSn and rigid body motion of sub-mirror

由于每個(gè)合成孔徑為大口徑波前的一部分，在較小的局部范圍內(nèi)，低階像差主要表現(xiàn)為Piston 、Tip/Tilt或者凹陷。另一方面，由于測量誤差的存在，導(dǎo)致合成孔徑之間也存在著一定的相對Piston 與Tip/Tilt 誤差。如果保留這些分量會(huì)極大影響結(jié)果精度。在此，以PSSn為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，使用優(yōu)化方法，可去除子孔徑內(nèi)的剛體位移。測量誤差引起的子孔徑tip/tilt誤差如式(18)與式(19)所示。由于在每次測量中，Piston，Tip/Tilt 會(huì)被去除，故會(huì)對結(jié)果的不確定度產(chǎn)生影響[14-15]。

(18)

(19)

(20)

其中，λ為以微米為單位的波長，取0.5 μm。斜率均方根的單位為微弧度。

3 基于Brownian Bridge的誤差建模

誤差分析、分配本身就是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的過程。對于誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)而言，不僅需要擁有全面的性能表征能力，同時(shí)也必須兼顧誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度研究PSSn，可以更好地將PSSn作為誤差分析分配準(zhǔn)則。根據(jù)隨機(jī)過程的觀點(diǎn)，如果一個(gè)過程在若干步轉(zhuǎn)移之后，以概率1達(dá)到某個(gè)狀態(tài)，該過程被稱為“Brownian Bridge” 過程，記為B(t)。將不同子系統(tǒng)的PSSn作為隨機(jī)變量，可以從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)對誤差的生成、積累以及傳遞等一系列過程進(jìn)行詮釋。在不同的邊界條件下，利用轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以有效利用已獲得的誤差信息，并對系統(tǒng)的行為進(jìn)行有效預(yù)測。與此同時(shí)，在計(jì)算系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)矩時(shí)，不可避免地需要考慮系統(tǒng)誤差的概率分布情況。對于大口徑系統(tǒng)，傳統(tǒng)上假設(shè)誤差服從高斯分布的獨(dú)立變量方法，由于沒有考慮到誤差在傳遞過程中的邊界條件(如封閉誤差鏈)，會(huì)造成明顯的過估計(jì)情況。

首先，對B(t)的定義進(jìn)行說明，與Wiener過程類似，“Brownian Bridge”過程的相關(guān)函數(shù)滿足式(21)。

(21)

其中，T為以概率1達(dá)到某個(gè)狀態(tài)的時(shí)間。利用求解隨機(jī)過程特征值的定義，可得式(22)：

(22)

其中，Ψ(t)為“Brownian Bridge” 過程特征函數(shù)，滿足式(23),λ為“Brownian Bridge”過程特征值，

(23)

令λ=k2，Ψ(t)=sinkt，在連續(xù)時(shí)間下定義“Brownian Bridge”如式(24)所示:

(24)

將“Brownian Bridge” 表達(dá)為離散過程，即將以概率1達(dá)到某個(gè)狀態(tài)的時(shí)間T，替換為轉(zhuǎn)移步數(shù)N，如式(25)所示:

(25)

(26)

4 結(jié) 論

通過引入PSSn提高合成精度，可以更加合理地分配現(xiàn)有誤差，減少主觀色彩很濃的安全系數(shù)；另一方面，由于PSSn評(píng)價(jià)的全面性，可以適當(dāng)放寬某些頻段的誤差限，通過以上兩點(diǎn)可以有效地減少誤差分析中的”過估計(jì)”現(xiàn)象。在不同的頻段考慮誤差，既符合科學(xué)規(guī)律又符合經(jīng)濟(jì)原則。利用PSSn的合成性質(zhì)，可將重力印透、大氣視寧、抖動(dòng)以及其他的誤差源所引入的PSSn進(jìn)行合成，進(jìn)而建立系統(tǒng)的誤差模型。從3個(gè)方面結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)源敏感性進(jìn)行了分析。首先，將非離面誤差轉(zhuǎn)化為傾斜，并與標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)源敏感性建立聯(lián)系。之后分析了熱載荷下，鏡面球差與標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)源敏感性之間的關(guān)系。最后，利用厚板振動(dòng)理論，對于非離面風(fēng)載的影響進(jìn)行了分析。對于口徑較小的元件，使用RMS結(jié)合PSSn進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，可以為PSSn評(píng)價(jià)方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用積累經(jīng)驗(yàn)，但是對于大口徑系統(tǒng)，使用RMS則難以合理地表現(xiàn)各個(gè)誤差源對集成后系統(tǒng)性能的影響。本文的工作對大型合成孔徑望遠(yuǎn)鏡建設(shè)有著重要意義，同時(shí)對于類似的大口徑系統(tǒng)的誤差分析與檢測也有著一定指導(dǎo)意義。