徐 靜

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000)

非線性微分系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性在現(xiàn)代物理、工程技術(shù)和生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域有著重要意義，處理非線性微分系統(tǒng)穩(wěn)定性這一問題的重要方法之一就是Liapunov直接方法(類比法),這一方法一直吸引著眾多學(xué)者們的關(guān)注與興趣,并得到了極為廣泛的應(yīng)用,三階及以下的非線性系統(tǒng)的平凡解的全局穩(wěn)定性也取得豐碩結(jié)果[1-8]。本文在文獻(xiàn)[1-5]的基礎(chǔ)上研究了多個三階非線性系統(tǒng)的Liapunov函數(shù)，并得到了各自零解全局漸近穩(wěn)定性的若干充分條件。

1 主要結(jié)果

考慮系統(tǒng)

(1)

約定函數(shù)h(0)=0,f(0)=0，φ(0)=0,f(x)、g(x)、φ(x)是連續(xù)可微的，且能保證系統(tǒng)解的唯一性。

退化為線性系統(tǒng)

對其退化線性系統(tǒng)取Liapunov函數(shù)V1=V1(x,y,z)如下:

由類比法給出系統(tǒng)

取其Liapunov函數(shù)V2=V2(x,y,z)如下:

(2)

對于系統(tǒng)

(3)

其退化系統(tǒng)取Liapunov函數(shù)V=V(x,y,z)如下:

由類比法給出系統(tǒng)(3)Liapunov函數(shù)V3=V3(x,y,z)如下:

(4)

結(jié)合式(2)和(4),系統(tǒng)(1)有Liapunov函數(shù)：

(5)

于是得到如下結(jié)果：

(*)

由定理假設(shè)并注意到：

故V(x,y,z)為正定函數(shù)，

下證系統(tǒng)(1)的所有正半軌線是有界的。取如此大的正數(shù)l和N使得任一點P0位于由不等式V(x,y,z)0時不離開這個區(qū)域。

事實上,由式(*)知在D中當(dāng)y≠0時有

(**)

2 討 論

這里取b=1/A>0,推論3結(jié)論成立。