王成鋼 孔斌 張彩露

摘 要：為解決一部分紋理數(shù)據(jù)在運用加權(quán)核范數(shù)最小化處理低秩矩陣逼近時出現(xiàn)丟失的問題，提出一種基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化的圖像去噪算法。稀疏表示用于輔助重構(gòu)清晰圖像，加權(quán)核范數(shù)最小化用于圖像塊樣本的低秩矩陣逼近。通過分析紋理數(shù)據(jù)找出熵較大的非平滑塊，運用一種奇異值維納濾波，從其差異矩陣中找出丟失的部分紋理信息，并將其與低秩去噪結(jié)果融合。實驗結(jié)果表明，該算法能夠保持圖像的細小紋理，去噪效果更好，具有良好的魯棒性與泛化性。

關(guān)鍵詞：稀疏表示;加權(quán)核范數(shù)最小化;圖像去噪;圖像特征;維納濾波

DOI：10. 11907/rjdk. 182239

中圖分類號：TP312

文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1672-7800（2019）006-0075-05

Abstract：To solve the problem that some texture structures will be lost when weighted nuclear norm minimization is used to deal with low rank approximation， an image denoising algorithm based on sparse representation and weighted nuclear norm minimization is proposed. Sparse representation is used to reconstruct the clear image. Weighted nuclear norm minimization is used to low rank matrix approximation of image. Smooth patches which have larger entropy can be found by analyzing texture of patches. Missing texture of the image was obtained by using the proposed Wiener filter based singular value from the difference matrix of non-smooth patches to have the integration and result of low rank denoising. Experimental results show that the proposed algorithm can maintain the fine texture of the image and have better effect of denoising and robustness and generalization performances.

Key Words：sparse representation; weighted nuclear norm minimization; image denoising; image feature; Wiener filter

0 引言

圖像去噪是計算機視覺中的一個經(jīng)典問題，其目的是改善存在噪聲干擾的圖像質(zhì)量。圖像去噪是一個去除噪聲并保留原始信息的過程，因此如何既能夠平滑處理圖像中的噪聲，又能盡可能多地保留圖像細節(jié)信息，是圖像去噪過程中面臨的主要問題。

目前大多數(shù)去噪算法都是針對灰度圖像設(shè)計的，旨在從含有噪聲的樣本圖像[Y=X+N]（[X]表示圖像原始矩陣，[N]表示均值為0、方差為[σ2n]的高斯噪聲）中恢復(fù)出干凈的原始圖像[X]。目前已有的圖像去噪算法主要分為兩種：空域濾波和變換域濾波。前者主要針對圖像像素灰度值，常見的有均值濾波（Average Filter，AF）[1]、基于稀疏表示與字典學(xué)習(xí)的KSVD[2-3]方法、基于塊的局部最優(yōu)維納濾波PLOW[4-5]等;后者將圖像從空域轉(zhuǎn)換到變換域，處理完變換域中的變換系數(shù)后，再逆變換回空域中以達到去噪效果。常見的變換域濾波方法包括小波變換方法[6-8]、三維塊匹配濾波BM3D[9]等。近年來，非局部均值與稀疏模型在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。由于圖像結(jié)構(gòu)的自相似性，非局部均值采用對圖像塊加權(quán)平均的方法達到去噪目的[10]，而稀疏模型是利用一組基函數(shù)或字典中的少量原子線性組合表示信號[2]，但忽視了圖像塊的非局部信息，其核心在于設(shè)計出模型字典以稀疏表示樣本。隨著稀疏模型的發(fā)展，如主成份分析法（PCA）和加權(quán)核范數(shù)最小化算法（WNNM）等一系列新算法應(yīng)運而生。PCA[11-12]采用低維空間特征描述高維空間特征，對圖像進行降維以達到去噪目的，雖然可以保留圖像細節(jié)，但在高噪聲條件下，去噪效果逐漸下降;WNNM[13-14]是一種約束矩陣奇異值稀疏性的低秩算法，在NNM理論基礎(chǔ)上增加了核范數(shù)權(quán)重，有效利用了自然圖像的先驗信息并提高了核范數(shù)的靈活性。

雖然WNNM算法在一定程度上具有較好的圖像去噪效果，但其仍有不足之處。在自然圖像統(tǒng)計中，會有很多圖像塊之間表現(xiàn)出較強的相關(guān)性，也即在圖像中某個圖像塊總是能找到若干相似圖像塊，稱為圖像非局部自相似性（Nonlocal Self-similarity，NSS）[10，15-16]。當(dāng)噪聲較大時，可能對相似塊的獲得產(chǎn)生影響，使相似塊之間存在較大差異。如果僅考慮將相似塊間的低秩部分作為去噪結(jié)果而忽視了差異部分，會影響算法在強噪聲下的去噪結(jié)果。

因此，為克服上述缺陷，本文提出一種基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化（WNNM）的圖像去噪算法。稀疏表示用于輔助重構(gòu)清晰圖像，加權(quán)核范數(shù)最小化用于圖像塊樣本的低秩矩陣逼近;通過分析紋理數(shù)據(jù)找出熵較大的非平滑塊，運用一種奇異值維納濾波從其差異矩陣中找出丟失的部分紋理信息，并將其與低秩去噪結(jié)果融合，以彌補用WNNM算法解決低秩矩陣逼近問題時易丟失部分紋理結(jié)構(gòu)信息的缺點，使其在去噪的同時可有效保留細節(jié)信息、提高去噪質(zhì)量，使其具有很好的魯棒性和泛化能力。

1 相似塊在強噪聲下的差異

3 基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化的去噪算法

為了解決傳統(tǒng)加權(quán)核范數(shù)最小化算法在用于低秩矩陣逼近時丟失部分紋理結(jié)構(gòu)信息的問題，本文提出一種基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化的圖像去噪算法。稀疏表示用于輔助重構(gòu)清晰圖像，加權(quán)核范數(shù)最小化用于圖像塊樣本的低秩矩陣逼近。通過分析紋理數(shù)據(jù)找出熵較大的非平滑塊，運用提出的一種奇異值維納濾波從其差異矩陣中找出丟失的部分紋理信息，并將其與低秩去噪結(jié)果融合，從而進一步提高了圖像去噪質(zhì)量。

3.1 圖像塊模式分類

通過實驗分析圖像塊結(jié)構(gòu)信息，發(fā)現(xiàn)相似圖像塊多出現(xiàn)在平滑區(qū)域，因此在進行圖像塊低秩矩陣逼近時，由于相似矩陣的秩很小，因而得到的誤差很小，而在非平滑區(qū)域的圖像塊中找到的相似塊差異較大。這是由于平滑區(qū)域的圖像塊結(jié)構(gòu)簡單，在圖像中可相對容易地找到相似塊，而非平滑區(qū)域的圖像塊結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且歐式距離不考慮圖像塊結(jié)構(gòu)信息，因此有必要分析圖像塊結(jié)構(gòu)特征。

由于奇異值分解相當(dāng)耗時，一般可以用特征值代替奇異值。本文進行非局部塊匹配，在搜索窗內(nèi)尋找[yni]k個最相似的圖像塊，即得到集合[ynij，j=1，？，k]，建立相似性矩陣[Si]。將相似性矩陣[Si]分解成3部分：[Si=Ai+][Mi+Ni]，其中[Ai]是低秩公共部分，[Mi]是稀疏差異部分，[Ni]是對應(yīng)噪聲。當(dāng)圖像塊為非平滑塊時，利用WNNM算法提取最平滑的公共低秩部分[Ai]，然后將獲得的具有結(jié)構(gòu)信息的殘差矩陣[Si-Ai]進行PCA變換，得到系數(shù)集合[anij，j=1，？，k]，之后對PCA系數(shù)進行式（25）所示的閾值收縮，得到逼近真實信息的PCA系數(shù)，并對獲得的稀疏系數(shù)進行逆變換，得到逼近差異矩陣[Mi]的組估計，即得到不含噪聲的相似集合數(shù)據(jù)的差異信息，最后將低秩去噪結(jié)果與差異信息融合，得到非平滑塊的去噪結(jié)果。

4 實驗測試

為了驗證本文提出的基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化的圖像去噪算法的有效性，選擇10幅標(biāo)準(zhǔn)測試圖像，使用KSVD、維納濾波（Wiener Filtering）與WNNM作為對比算法，并分別計算使用各方法去噪后圖像的PSNR與SSIM評分。其中PSNR為峰值信噪比，用于評估去噪后圖像與原圖像質(zhì)量，其值越高，表示圖像去噪后的失真度越小;SSIM為結(jié)構(gòu)相似度，用于評估去噪后圖像與原圖像相似度，其值越高，表示結(jié)構(gòu)越相似。本文所有實驗都是在Windows 7系統(tǒng)下進行的，開發(fā)環(huán)境為Matlab 7.0。

實驗中對所有圖像人工施加5種濃度級別的噪聲，噪聲濃度[σ]分別為10、20、30、40和50，仿真結(jié)果見表1、表2。為了更加直觀地表現(xiàn)算法去噪效果，使用上文所述的3種對比去噪方法與本文提出的去噪方法分別對噪聲濃度為30的Lena和peppers圖像進行去噪處理，去噪結(jié)果如圖1、圖2所示，并給出不同去噪方法對不同濃度級別Lena噪聲圖像的PSNR和SSIM評分，通過將主觀視覺評價與客觀量化指標(biāo)相結(jié)合，分析本文提出算法的去噪性能。

5 結(jié)語

本文提出一種基于稀疏表示與加權(quán)核范數(shù)最小化的圖像去噪算法。稀疏表示用于輔助重構(gòu)清晰圖像，加權(quán)核范數(shù)最小化用于圖像塊樣本的低秩矩陣逼近。通過分析紋理數(shù)據(jù)找出熵較大的非平滑塊，運用提出的一種奇異值維納濾波從其差異矩陣中找出丟失的部分紋理信息，并將其與低秩去噪結(jié)果融合，以彌補采用WNNM算法解決低秩矩陣逼近問題時會丟失部分紋理結(jié)構(gòu)信息的缺點，從而提高圖像去噪質(zhì)量。實驗結(jié)果表明，本文算法得到的去噪圖像具有更高的結(jié)構(gòu)相似度與峰值信噪比，并能夠保持圖像的細小紋理，去噪效果更好，具有良好的魯棒性和泛化性。然而，該算法也存在一些不足，本文主要針對相似塊的相似矩陣進行研究，但若遇到相似塊很少的情況將直接影響低秩逼近效果。通過基于不變量技術(shù)的特征檢測，考慮對某些變換保持不變的局部特征描述算子，如旋轉(zhuǎn)、縮放等，并通過一些變換得到原圖像中不存在的相似塊，將是下一步的研究方向。

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