顧新輝

等號對于理解算術或代數(shù)問題而言，是一種內涵豐富的符號概念，是學生理解的一個難點，這是原有的或固有的思維定式對學生造成的影響[1]。一年級各種版本教材中對等號的處理，以及《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》第二學段的目標要求，都表明等號扮演著極為重要的角色。因此，本文試圖探討一年級學生等號概念學習的易錯點，闡明等號概念的意義所在，并且給出教學對策。

一、學生等號概念理解錯誤的主要類型

1.等號表示等式左邊的答案

以2+4=□+3為例，學生認為□內的值是6，表示等號左邊對象計算所得答案，等號是執(zhí)行計算的指令，并未呈現(xiàn)兩邊數(shù)字的關系。這種情況在實踐中有大量表現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，學生對“9以內的加法正確率已經(jīng)高達90%，但是當他們遇到2+2=□+1、2=□-1這樣的題目時，錯誤率卻很高”[2]。

2.等號表示擴展的意義

如2+4=□+3，學生認為□的值是9，其實施如下計算：2+4=6+3=9，將等號視為進一步計算的結果。

3.等號表示式子中所有數(shù)字的運算結果

仍然以2+4=□+3為例，學生認為□的值是9，□表示需將等式中所有出現(xiàn)的數(shù)字進行運算從而得到結果。其思路如下，先計算2+4=6，然后再計算6+3=9，所以□應該是9。第三種錯誤類型與第二種錯誤類型的區(qū)別在于，后者認為2+4=6+3，而前者認為這不相等，能夠意識到這樣寫是不正確的。

4.認為等式兩邊存在語法錯誤

有學生認為等號左邊可以計算，但右邊應該呈現(xiàn)答案，因為“□”不是數(shù)字。主要原因在于學生缺乏等號概念的意義理解。等號的意義有二：其一，等號是數(shù)學運算的結果，如2+3=;其二，等號是一種關系符號，表示兩邊數(shù)量關系相等或地位相同，如天平平衡。

二、學生等號概念理解的錯誤原因分析

1.教材中知識呈現(xiàn)方式易造成學生對等號概念的刻板印象

一年級學生為何會對等號概念產(chǎn)生這些錯誤理解？審視現(xiàn)今小學數(shù)學教材，有關等號概念的安排與等式的表達，大都以A+B=□的方式呈現(xiàn)，這種等號左邊運算、右邊答案的模型，易造成一線教師對等號意義理解的弱化，給學生造成一種刻板印象，認為等號強調的是運算結果。雖然運算是發(fā)展等號概念的基礎，但過于強調單邊運算的等式呈現(xiàn)方式常誤導學生產(chǎn)生錯誤的等號概念。

教材中等號概念的呈現(xiàn)方式導致許多教師只強調最后執(zhí)行技巧和步驟的產(chǎn)出，而沒有強調為何以及如何與不同元素間的相互連結，忽略等號概念的意義建構，弱化了學生對等號的意義理解，進而影響學生數(shù)學化的表現(xiàn)。如列出不正確的算式、對模式無法進行推理、形成不正確的結論等弊端。在實踐中，許多“學生做不出1=□-□這樣的算式，甚至看不懂”，甚至出現(xiàn)了“一道□=3+6的口算題目，難倒了一大片家長和學生”[3]的情況。

2.教材中學習內容的安排沒有凸顯等號概念的意義

等號是小學數(shù)學學習中最常用、最基本的一種符號，從四則運算中的遞等式 到解決問題中的尋找等量關系，小學數(shù)學教育幾乎是“等號教育”。因此，等號概念在小學數(shù)學中應該給予足夠的重視以凸顯其重要性。

但教材中對這部分內容的安排明顯欠缺系統(tǒng)考量，以人教版和蘇教版小學數(shù)學教材中等號的出現(xiàn)方式為例。

從圖1和圖2可以看出，教材中的等號概念采用說明的方式呈現(xiàn)，要求學生會讀、能寫，而對等號意義的說明不夠充分。學生對等號概念的理解并非僅靠背誦練習即能獲得，若能在問題情境中對等號加以討論與辨析，讓自己與他人確信其解釋，那么，相等的關系概念就能確立。由于等號并非僅僅指向運算，需要由不同的情境誘發(fā)學生發(fā)現(xiàn)“相等”的概念，這就需要教材對此安排一定的篇幅，讓學生經(jīng)歷感知→體驗→思維→運用的過程，等號概念學習應有一套實用且符合學生認知需求的模型予以支撐。因此，等號概念的學習安排需要加強教材建設，重視等號概念學習的過程性和系統(tǒng)性。

3.前概念倒攝抑制一年級學生對等號概念的理解

Gelman 與Gallistel研究發(fā)現(xiàn)，幼兒判斷2個集合是否相等時，會依賴數(shù)數(shù)的結果或者加在一起計數(shù)比較，這種能力間接形成了運算的觀念[4]。當學生建立等號概念之后，遇到有關等號情境的問題時，大多數(shù)學生會堅持已建立的等號概念，將等號視為一種運算，而且這種觀念不會輕易改變。

另一方面，大多數(shù)教師很難特意向學生說明等號是表示關系的符號，教學中只強調學生能夠快速實施運算獲得正確答案即可。這就造成學生認為等號的意義就是運算，是處理運算的一種表征方式。這個前概念會對等號的意義理解產(chǎn)生深刻而久遠的倒攝抑制作用。由此可知，學生初始建立的等號概念對未來學習的影響重大，因此，一年級學生理解等號關系的困難受到早期算術經(jīng)驗所建構的知識的影響，而且學生對等號所持的觀點，會影響其計算的結果。如何培養(yǎng)一年級學生對等號的正確觀點是改善學生對等號概念的理解及應用等號解決問題的關鍵所在。

三、教學對策

事實上，學生在入學前就已具備計數(shù)、順序的知識，進入小學后，會教數(shù)字的分解、組合、加減可逆運算等方法，學生進行比較和運算的能力更加成熟，但仍須通過完成一系列連續(xù)的行動（如分別計數(shù)，然后再比較），才能說明“+”與“=”之間的意義，這些能力若能堅實地發(fā)展且彈性地運用，對等號概念的理解有莫大的幫助。

1.強調等號是對象相等的兩者間的鏈接

一年級學生的思維發(fā)展主要處在具體形象思維階段，在面對抽象的等量關系時常感覺困難。因此，在學生開始接觸等號時，就應該提供豐富的操作活動與經(jīng)驗。等號概念教學的最終目的在于使學生能理解等號兩端對象“相等”，教學中可以提供天平平衡的具體操作，學生在教師的適當引導下，鏈接其習得的數(shù)字分解、合成技巧，順利獲得等號相等的概念。

對不同程度的學生而言，不同的知識呈現(xiàn)方式，可促進其等號概念、模型計劃及執(zhí)行知識的運用。教師可以引導學生將教學情境所學的等號概念轉化至問題情境，正確地運用等號概念與程序性知識解題。然而，對能力不足的學生，則需在其既有的等號模型知識上，予以引導說明，幫助其建立更多元的等號概念，才有利于復雜命題的解答。倘若因學生數(shù)字分解合成能力不熟練，面對“雙邊運算”的命題時，仍以“單邊運算”知識為主，教師可幫助學生理解等號具有兩邊對象“相等”的概念，避免其無法同時比對兩邊運算的結果而導致錯誤解答。

2.通過變化的問題情境呈現(xiàn)等號意義

利用等號關系概念進行解題，學生并非僅靠等式左邊運算就能解決問題，尚需洞察問題的變化。如通過天平平衡現(xiàn)象的操作與觀察，可讓學生體會等號概念的“運算”“關系”與“反身性”等意義，并建立等號的多元意義，學生可通過情境的變化，將天平平衡與問題的操作鏈接，表達其對等號意義的理解。為此，可根據(jù)等號關系具有對象多元變化的特征，設計不同的問題情境，未知數(shù)的位置可在等號左、右兩邊，增加、消耗及取舍的加減法問題，進而簡化步驟，促使學生推理與思考。

由于天平平衡的情境可作為等號兩邊對象相等關系的隱喻，為學生提供理解等號不同意義的機會。因此，通過對天平平衡的操作與觀察，以激發(fā)學生思考問題情境中的對象特征及變化，將先前建立的天平“平衡”與等號“相等”的心智模型，投射在問題情境上。為建立等號概念的過程提供適切的經(jīng)驗。如理解平衡時，兩端的對象若具有相同的質量（反身性），或是天平兩端任意放兩個砝碼，如何操作才能保持天平平衡，只改變一端的砝碼數(shù)量（單邊運算），兩端的砝碼數(shù)量都改變（雙邊運算），幫助學生體會運算后的結果一樣，即可表示相等的概念。通過此類情境，配合推理與安排合適的策略才能順利解決問題，讓學生體驗等號是表示一種平衡關系。

3.通過多元表征來理解等號的意義

小學一年級學生處于具體思維階段，大部分學生仍須借助具體實物操作。例如畫圖、動作計數(shù)等表征，將解題的步驟與結果予以連結，才能順利解題。因此，要建立學生扎實的等號概念，應同時呈現(xiàn)對象表征與等號概念之間的聯(lián)結與轉換，讓學生選擇方法并驗證，才能促進學生對等號概念的理解。

教學實踐中可提供和激發(fā)學生學習運用具體表征的興趣。對認知能力較差的學生而言，具體圖像表征的指導更為重要，因為可協(xié)助其將抽象的等號算式的意義加以連結，作為理解的基礎。學生在等號單邊情境教學初始時，由于數(shù)字分解和合成能力掌握并不牢固，因此可采用“畫圓圈”的表征方式來幫助學生實施運算。而在接觸雙邊運算情境時，因無法將單邊運算的知識轉化至雙邊運算情境，教師可鼓勵學生通過天平實物操作的具體表征，配合運算步驟，以進行兩邊數(shù)量的比較。

總之，等號概念在數(shù)學教學中具有重要的關聯(lián)性，等號概念可鞏固學生的數(shù)學知識，提高計算的正確性，使代數(shù)推理更易進行。根據(jù)一年級學生在解決此類問題中易犯的錯誤，采取相應的措施改善學生對等號概念的掌握情況，教學中可安排具體的實物操作情境，呈現(xiàn)并配合情境意義的算式，耐心且詳盡地說明其間的關系，尤其是等號兩邊運算情境的安排，可幫助學生通過運算驗證而發(fā)展等號概念，盡早且“潤物細無聲”地為每一位學生提供代數(shù)學習的機會。

參考文獻

[1] 吳恢鑾，李春英，陳洪杰，等.一年級滲透代數(shù)思維的教學探索——從兩節(jié)以豐富等號意義為目標的研究課辯起[J].小學數(shù)學教師，2015（10）.

[2] 葛再曉. 基于學生思維軌跡下的“關系符號”[J].小學教學研究，2016（25）.

[3] 朱清婷.小學低段數(shù)學運算符號的教學片段與思考[J].數(shù)學教學通訊，2018（31）.

[4] Gelman， R.， & Gallistel， C. R. The childs understanding of number[M].Cambridge， CA：Harvard University Press，1978.

[責任編輯：陳國慶]