文/西安交通大學(xué) 張文龍

1 緒論

（一）課題研究背景及目的

在人類進入太空的歷程中，火箭發(fā)射技術(shù)目前已經(jīng)非常成熟，由最早的V2火箭發(fā)展到今天，已有較著名的長征系列（中國）、質(zhì)子系列（前蘇聯(lián)）、德爾塔系列（美國）、阿麗亞娜系列（歐洲）等等。探究火箭發(fā)射技術(shù)的原理及相關(guān)問題，將有機會節(jié)省成本，還能大幅提高運載能力、運載效率。從而探索未來發(fā)展方向，幫助人們早日走向深空。

（二）研究方法

建立合理模型，利用物理學(xué)中動量定理（密舍爾斯基方程）、能量定理、狹義相對論下的速度質(zhì)量變換及數(shù)學(xué)技巧進行求解。

（三）研究內(nèi)容

火箭原理、火箭級數(shù)的取舍、實際火箭的分析、火箭效率問題。

2 火箭原理分析

我們將通過合理的建模和公式的推導(dǎo)來進行分析。

為簡化運算，在中學(xué)能力范圍內(nèi)進行研究，特進行以下運算,解決此問題需要運用動量的有關(guān)知識。設(shè)在t時刻主體質(zhì)量為m，速度為v，質(zhì)量變化為dm（數(shù)值為負值），速度為u，系統(tǒng)動量為mv+dmu，在dt后有主體質(zhì)量m+dm，速度為v+dv，系統(tǒng)合外力F，根據(jù)動量定理有：

（m+dm）（v+dv）-（mv+dmu）=Fdt

設(shè)一只簡單火箭總質(zhì)量為m總,空火箭m空，為噴出氣體相對火箭的速度，即上式中的-(u-v)，不受外力，經(jīng)歷的時間為t。

此式只涉及到火箭本身的物理量，最早推導(dǎo)出此公式的是俄國天才的物理學(xué)家、航天領(lǐng)域的先驅(qū)和火箭理論專家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基，所以它又叫齊奧爾科夫斯基公式。

下面考慮重力場的影響，有：

觀察這個式子，發(fā)現(xiàn)要想提高噴射性火箭的末速度，一是要減少在引力場中被減速的時間(并非在引力場中的時間，如衛(wèi)星一直存在于引力場中，但重力只能改變它的方向而不是大小，不會對其減速)，即更短的發(fā)射時間；二是增大噴氣速度，對應(yīng)的是比沖；三是增大燃料比值，減少不必要的重量。

可能有的同學(xué)要較真，這是牛頓力學(xué)體系下推導(dǎo)出的公式，在高速條件下不正確，那索性也推導(dǎo)一下相對論下的火箭方程。

以上的計算直接從基本的變換出發(fā)，簡潔明了，而許多書籍中采取了小量求和的方法，繁瑣復(fù)雜而且讓人難以理解，還是本文給出的解答比較明白曉暢。

可以看出，火箭速度不可能超過光速，這是與相對論體系相容的。

那如果v遠遠小于c：

利用ln（x+1）≈ x

可見在速度較小的情況下，結(jié)果與非相對論下的結(jié)果是相同的。

3 火箭級數(shù)的取舍分析

如果采用一級火箭飛入太空，即上世紀(jì)60年代興起過得所謂的單級入軌，假設(shè)有噴射速度到達3km/s的發(fā)動機（已經(jīng)很高了），讓每級火箭燃料和其它質(zhì)量的比值達到5:1設(shè)計兩級火箭，比值為10且不計空氣阻力及重力。

設(shè)第一段火箭本身的質(zhì)量為m，第一級火箭有5 m的燃料，總質(zhì)量6m，下一級火箭質(zhì)量10m，燃料質(zhì)量50m，載荷（上一級總質(zhì)量）6m，總質(zhì)量66m。

可以計算出速度V1為9626.5 m/s，已遠超過第一宇宙速度。

假設(shè)一只裝有55m燃料，本身重11m的火箭，這支火箭的總質(zhì)量與燃料與上一只一樣，但只有一級，相當(dāng)于不拋去10m的箭體：

速度為5375.3m/s，還不到第一宇宙速度。

由此可見單級入軌方案的運載能力還是太差，事實上，所有的單級入軌方案都僅僅停留在了概念圖和PPT層面。

多級入軌也存在問題，由于各級分離的過程是火箭故障多發(fā)過程，如果每一次分離都是一次獨立事件，一次分離成功率90%，那二級火箭不在分離時失誤的概率為90%，三級火箭81%，而四級火箭為72.9%，差距很大。

事實上故障發(fā)生還不僅是獨立事件，因為級數(shù)越多越復(fù)雜，導(dǎo)致每級故障的概率也會變大（如上文四級火箭每級故障率會大于10%），太多級數(shù)的火箭會變得很不可靠。質(zhì)子火箭設(shè)計時加到四級然而在絕大多數(shù)的發(fā)射中還是采用了三級，較新設(shè)計的火箭如Falcon 9、長征五號等都采用了兩級設(shè)計或所謂的一級半設(shè)計，在可預(yù)見一段時間里，兼顧運載能力和可靠性的二級火箭都會是運載火箭的主流設(shè)計。

4 火箭運載能力實例分析

下面的研究將以SpaceX的當(dāng)家花旦，最近航天界很火爆的Falcon 9為例。

現(xiàn)假設(shè)一支Falcon 9火箭（一種兩級火箭）發(fā)射質(zhì)量為M0，第一級火箭的質(zhì)量為M1，燃料質(zhì)量為m1，第二級火箭質(zhì)量（包括整流罩m）為M2，燃料質(zhì)量為m2，衛(wèi)星質(zhì)量m0。將衛(wèi)星送上LEO軌道，t1是一級火箭工作的時間。

由于Falcon 9經(jīng)過多次改進，有很多不同時期的數(shù)據(jù)，這里選取較近期比較全面且可靠的一組數(shù)據(jù)，以下數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)引自表中大部分參數(shù)來自“Falcon 9 Overview, Launch Cost ” 與“Space Launch Report:SpaceX Falcon Data Sheet ”（http://zhidao.baidu.com/question/691280372416559604.html）。

一級火箭海平面比沖255 sec(2.6 kN/kg)，真空比沖304 sec(3.0 kN/kg)，取平均值換算為噴射速度：2739.1m/s。

二級火箭比沖342 sec（3.45 kN/kg）換算噴射速度：3351.6m/s。

火箭發(fā)射質(zhì)量M0500噸。

第一級火箭空重M126噸。

芯一級燃料質(zhì)量為m1380噸 燃燒時間170s。

第二級火箭空重（包括整流罩m5.5噸）M210噸。

芯二級燃料質(zhì)量m270噸。

衛(wèi)星質(zhì)量m0最大13噸（LEO近地軌道）。

為簡化運算，可以先算出：

一級燃燒完后有120噸(一、二級未分離)。

二級燃燒完后有23噸，減去整流罩有17.5噸（二級和載荷未分離）。

根據(jù)SpaceX公布的以往的發(fā)射時間軸，第二級火箭在第二級點火41s后拋去整流罩，整個二級燃燒時間349s，認為均勻消耗燃料：

計算出mx=8.22噸。

考慮到空氣阻力的影響，這和許多因素都有關(guān)系，不同高度下的阻力也不相同，在底層大氣中飛行時空氣阻力甚至能達到數(shù)倍自身的重力，平流層以上又很小，處理起來很不方便，但可以把空氣阻力近似成它自身重力，并持續(xù)作用到二級火箭點火，此后過少的空氣阻力就不再考慮。

下面一級一級進行計算

經(jīng)過一段時間，拋去整流罩,此時應(yīng)有:

考慮到卡納維拉爾角（SpaceX的租下的火箭發(fā)射場、美國航天圣地）的緯度為28.3°，可以算出初始速度：

Falcon 9的LEO軌道是指火箭在卡角往正東方向發(fā)射，發(fā)射傾角在28度，軌道高度為185km，這是美國LEO軌道的標(biāo)準(zhǔn)軌道高度。

由機械能守恒求軌道上的速度：

誤差大約僅有0.0156%，這說明假設(shè)十分合理，進行的簡化計算沒有理論性的問題。

在最近SpaceX公布的數(shù)據(jù)中Falcon 9的LEO運載能力達到了驚人的22.8噸，這已經(jīng)接近重型運載火箭的能力了，但SpaceX官網(wǎng)并沒有給出改進后關(guān)鍵的其他參數(shù)，就不再討論了。

綜上所述可以看到，得出的結(jié)論和SpaceX給出的數(shù)據(jù)符合的十分得完美。利用已經(jīng)得到的公式對于一款真實型號的火箭進行計算并且得出的數(shù)據(jù)與官方數(shù)據(jù)符合的很好，這說明之前得到的關(guān)于火箭發(fā)射利用到的公式是完全正確的。

5 火箭效率問題

下面來研究火箭的效率問題。

由于化學(xué)燃料燃燒時不是都轉(zhuǎn)化了動能而是有部分變?yōu)楣饽艿绕渌芰?，效率問題涉及到很多領(lǐng)域，如推進劑性能的提高依靠化學(xué)工業(yè)技術(shù)的提高，還受化學(xué)反應(yīng)焓變的制約；霍爾推力器中電子的完全非彈性碰撞會產(chǎn)生能量損失；噴管形狀可以直接影響比沖從而影響效率；甚至不同的發(fā)射傾角都會產(chǎn)生影響。而這里要研究的是不再考慮其他能量的影響，從機械能的角度出發(fā)，考慮的是高度理想化的理論層面的效率問題。

為了得到更普遍的結(jié)論，下面的推導(dǎo)將不再考慮重力和其他外力的影響。

設(shè)火箭主體質(zhì)量為M0，攜帶的燃料質(zhì)量M0，總質(zhì)量M0，單位時間里燃料燃燒的質(zhì)量為m0，噴射速度為u。

先求總功率，運動的火箭求解比較麻煩，可以利用一個巧妙的辦法求解。

一個設(shè)備的功率或者說它的做功能力是它本身的性質(zhì)。只要這個設(shè)備的工作狀態(tài)是一定的，如噴氣的發(fā)動機性能是不變的，那么它的功率就應(yīng)該不變。同樣兩支火箭，一只固定，一只自由運動，盡管兩個的運動狀態(tài)不一樣，但具有同樣的發(fā)動機，做功的能力應(yīng)該是一樣的，即功率是一樣的。

這里研究一支固定火箭的功率以代替運動火箭的功率。

取一小段時間，有

也可以在運動的火箭中研究，來驗證其正確性。

在一個小的時間段里，總質(zhì)量由M變?yōu)榱薓+dM和-dM兩項，總的動能增量為

忽略掉二級小量

由于動量守恒可得Mdv+udM=0

得到的結(jié)論完全一樣，說明等效的方法是正確的，而且相比于在運動的火箭中或是換參考系的方法求解，十分的簡便。

飛船獲得的最終動能為

燃料釋放的動能為

這是一個超越方程，得到它的近似解為μ=4.92155

對應(yīng)的最大效率為64.761%

這是一個非常有趣的結(jié)論，可以看出噴射型火箭存在著它效率的極限！而且這是理論的極限，無論怎樣改進推進劑或是結(jié)構(gòu)，效率不是更接近于100%而是不會超過64.761%，此時總質(zhì)量為箭身質(zhì)量的特定倍數(shù)。

再來看看Falcon 9的質(zhì)量比：

火箭發(fā)射質(zhì)量M0500噸，芯一級燃料質(zhì)量為m1380噸。

第二級火箭空重（包括整流罩m5.5噸）M210噸。

芯二級燃料質(zhì)量m270噸，衛(wèi)星質(zhì)量m0最大13噸（LEO軌道）。

第一級比值，對應(yīng)效率64.3%；第二級比值，對應(yīng)極限效率63.9%?？梢姽こ處熢谠O(shè)計時的總體控制能力很好。