姚 波, 谷美萱, 王福忠, 何 新

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034;2. 沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽 110136)

0 引 言

魯棒控制研究的主要內(nèi)容是:為存在模型不確定性和外界干擾的系統(tǒng)設(shè)計控制器,使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的性能。H∞魯棒控制理論對外部擾動具有較強的抑制能力,區(qū)域內(nèi)的極點指標(biāo)具有實際工程意義,因此極點配置和H∞控制是設(shè)計控制器的重要方法,在實際應(yīng)用中有廣泛應(yīng)用。

為減少機器故障帶來的損失或提高安全性,可靠控制引起了眾多研究者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]研究了在扇形區(qū)域內(nèi)考慮執(zhí)行器故障情況下的狀態(tài)反饋控制問題。文獻(xiàn)[2]針對定常系統(tǒng),在不考慮輸出的情況下,以執(zhí)行器故障為前提,給出了扇形區(qū)域極點配置的可靠控制率。文獻(xiàn)[3]對幾類線性系統(tǒng)的H∞可靠控制和區(qū)域極點配置問題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[4-9]均是H∞控制方法在工業(yè)中的具體應(yīng)用,體現(xiàn)了魯棒控制的工程意義。文獻(xiàn)[4]針對復(fù)雜集總干擾下四旋翼姿態(tài)與位置的穩(wěn)定控制,提出了一種基于靜態(tài)輸出的反饋H∞控制算法。文獻(xiàn)[5]應(yīng)用H∞控制理論的靜態(tài)輸出反饋方法進(jìn)行了無人直升機飛行控制系統(tǒng)的研究。文獻(xiàn)[6]提出了基于H∞魯棒控制的光伏并網(wǎng)逆變器控制策略。文獻(xiàn)[7]針對具有不確定性的線性系統(tǒng),考慮執(zhí)行器故障下可靠跟蹤控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)[8]是針對靜態(tài)輸出,解決區(qū)域極點和方差約束的控制問題。文獻(xiàn)[9]是針對動態(tài)輸出,解決多指標(biāo)的滿意控制問題。文獻(xiàn)[10]給出了該系統(tǒng)H∞指標(biāo)穩(wěn)定以及該系統(tǒng)H∞靜態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定的充要條件。文獻(xiàn)[11]為現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)和概要。文獻(xiàn)[13]給出了將系統(tǒng)極點配置到指定區(qū)域內(nèi)的方法。文獻(xiàn)[14-15]給出了將閉環(huán)系統(tǒng)極點配置到扇形或圓形區(qū)域內(nèi)的可靠的控制方法。

本文主要研究在給定區(qū)域下,針對連續(xù)系統(tǒng),預(yù)想求解同時滿足H∞指標(biāo)和區(qū)域極點配置要求的靜態(tài)輸出反饋控制器。所得結(jié)論不僅使極點配置在給定區(qū)域內(nèi),而且能夠使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定且達(dá)到給定的H∞性能指標(biāo),保證了系統(tǒng)的性能,實現(xiàn)了期望的閉環(huán)極點。數(shù)值仿真驗證了本文結(jié)果的可行性。

1 問題描述

考慮線性定常系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;y(t)∈Rp為系統(tǒng)的測量輸出;z(t)∈Rr為控制輸出;u(t)∈Rm為控制輸出,ω(t)∈Rl為平方可積的外部有界干擾輸入;B1,B2,C1,C2,D11,D12為適維矩陣;C2為行滿秩矩陣。

對線性系統(tǒng)(1)引入靜態(tài)輸出反饋控制器:

u(t)=Ky(t)

(2)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng):

(3)

H∞控制器的設(shè)計目的是設(shè)計一個控制器u(t)=Ky(t)使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部是穩(wěn)定的,即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值均在左半開復(fù)平面中;對于給定的γ>0,使擾動輸入z的閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)Gωz(s)的H∞范數(shù)小于γ,且使得系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,從而約束了外部的有界干擾。

系統(tǒng)的H∞控制器可以分為次優(yōu)H∞控制器和最優(yōu)H∞控制器2類,次優(yōu)H∞控制器的含義為:給定γ>0,Gωz(s)∞<γ,尋求一個使系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器。最優(yōu)H∞控制器的含義為:尋求最小的γ>0,使Gωz(s)∞<γ且使系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器。這里考慮次優(yōu)H∞控制器問題。

引理1 若M,N均為行滿秩矩陣,則對任意的適維矩陣H有

rank(H)=rank(MH)=rank(HN′)=rank(MHN′)

證明 令Q=MH,則rank(Q)≤rank(H)

因為M為行滿秩矩陣

所以存在列滿秩Z, 使得MZ=I,ZQ=ZMH=IH=H, rank(H)=rank(Q)=rank(MH), rank(H)≤rank(Q)。

由此結(jié)論可知rank(M)

rank(HN′)=rank(NH′)=rank(H′)=rank(H)

故rank(MHN′)=rank(HN′)=rank(H)。

引理2(有界實引理) 設(shè)常數(shù)γ>0,則系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的且Gωz(s)∞<γ的充分必要條件是存在一個正定對稱矩陣P>0滿足

(4)

引理3[12]矩陣A的所有特征值均在夾角為2θ的扇形區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X,使得

(5)

2 主要結(jié)論

定理1 對于閉環(huán)系統(tǒng)(3),存在靜態(tài)輸出反饋控制器(2)使其滿足引理3的充分條件為對于正定對稱矩陣X1和矩陣U使得下列線性矩陣不等式:

(6)

存在可行解。如果可行解為(X1,U),則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器為K=UW-1。其中Π=AX1+B2UC2,W可以由WC2=C2X1求得。

證明 由引理3可知把閉環(huán)系統(tǒng)(3)的極點配置在規(guī)定的扇形區(qū)域內(nèi)必須滿足

令WC2=C2X1,整理可得

設(shè)U=KW,故有

即

其中Π=AX1+B2UC2,也就是不等式(6)。

定理得證。

馬來西亞森林樹種以龍腦香科為關(guān)鍵性種群，在海拔300 m左右的低地至海拔1 300 m左右的高地森林被稱為龍腦香林。其實高大的龍腦香喬木只是這個家族中的16個屬之一，已知的樹種就大約有695種，是世界木材貿(mào)易中最重要的樹種。如低地龍腦香林區(qū)，一公頃這樣的森林至少有240個不同的樹種。

定理2 對于閉環(huán)系統(tǒng)(3),存在靜態(tài)輸出反饋H∞控制器,當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對稱矩陣X2和矩陣U使得下列線性矩陣不等式:

X2>0

(7)

成立,如果可行解為(X2,U),則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器為K=UW-1,其中WC2=C2X1。

證明 根據(jù)有界實引理,閉環(huán)系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的,且滿足性能條件Gωz(s)∞<γ,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正定矩陣P,使

對上述不等式分別左乘右乘矩陣diag[P-1,I,I],可得等價的矩陣不等式:

設(shè)X2=P-1,WC2=C2X,U=KW,即可得到不等式:

由于式(6)～(7)對于變量不是凸的,所以可以令X=X1=X2,這樣含區(qū)域極點配置的H∞控制問題可以轉(zhuǎn)化為一組凸優(yōu)化問題:

X2>0

對于給定的γ>0,反饋控制率為K=UW-1。此時,閉環(huán)系統(tǒng)的極點在限制區(qū)域內(nèi),且滿足

Gωz∞=(C1+D12KC2)[sI-(A+B2KC2)]-1B1+D11∞

3 數(shù)值仿真

本文考慮線性系統(tǒng)在無故障的情況下,通過設(shè)計靜態(tài)輸出反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的極點在扇形區(qū)域內(nèi),且達(dá)到H∞性能指標(biāo),從而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

考慮如下系統(tǒng):

圖1表示的是正常的線性系統(tǒng)在無故障的情況下,設(shè)計一個靜態(tài)輸出反饋控制器,而開環(huán)極點無法配置在扇形區(qū)域內(nèi),此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

圖1 開環(huán)系統(tǒng)部分極點無法在扇形區(qū)域內(nèi)

圖2 所有極點均在扇形區(qū)域內(nèi)

通過求解符合定理1和定理2的矩陣不等式的數(shù)值仿真,極點配置在了給定的扇形內(nèi),且求得的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的γ值達(dá)到了性能指標(biāo)的要求,說明此系統(tǒng)的極點均配置在扇形內(nèi)且滿足H∞性能指標(biāo),驗證了本文定理的可行性。

4 結(jié) 論

本文研究了扇形區(qū)域下無故障的靜態(tài)輸出反饋H∞控制問題。通過設(shè)計控制器使所有極點穩(wěn)定且可以配置在扇形區(qū)域下,并滿足具有魯棒H∞性能水平的γ。數(shù)值仿真證明了可靠控制器的有效性。