【摘要】本文從教學(xué)的角度對量子力學(xué)的幾率的含義做了深刻的探討，旨在加深學(xué)生對量子力學(xué)疊加原理、波粒二象性、測不準(zhǔn)原理等重要概念的理解。

【關(guān)鍵詞】幾率? 幾率幅? 波粒二象性? 量子干涉

【基金項(xiàng)目】貴州大學(xué)引進(jìn)人才科研項(xiàng)目，頒布時(shí)間：2015年11月，頒布單位：貴州大學(xué)，項(xiàng)目名稱：拓?fù)鋺B(tài)中準(zhǔn)粒子激發(fā)的分?jǐn)?shù)化研究，No： 201538。

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）19-0170-01

量子力學(xué)是描述原子與亞原子尺度下微觀粒子的力學(xué)規(guī)律，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律和我們的常規(guī)思維完全不同。量子理論表明，物理中某些實(shí)驗(yàn)的精確結(jié)果并不能獲得，但我們可以以一定的概率預(yù)言結(jié)果。在這種方式的支配下，我們期望計(jì)算每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率。在我們的慣用思維中，幾率的概念是針對大量樣本而言，對大量粒子的情況下，如大量的電子或者光子，量子力學(xué)基于幾率的預(yù)言是非常令人滿意的，其規(guī)律和數(shù)學(xué)中概率的疊加并無兩樣。但量子力學(xué)表明單個(gè)粒子就會出現(xiàn)幾率的行為，本文我們基于簡單的思想實(shí)驗(yàn)，基于粒子的概念討論量子力學(xué)中的幾率。

量子幾率的概念和經(jīng)典物理中是類似的，如粒子自旋向上的概率就是多次重復(fù)試驗(yàn)，向上的次數(shù)和總次數(shù)的比值?？紤]單個(gè)電子通過狹縫1和狹縫2，然后再狹縫后放置一個(gè)電子探測器屏來探測電子的出現(xiàn)，這里單個(gè)電子理論上可以由非常弱的電子發(fā)射源實(shí)現(xiàn)。電子探測器屏非常靈敏，電子到達(dá)探測器屏的某處，某處探測器就給出一個(gè)脈沖信號。在探測器做出響應(yīng)之前，我們假設(shè)不會有第二個(gè)電子到達(dá)探測器墻。對于不同位置x處的探測器，我們可以得到幾率隨x變化的函數(shù)，我們稱為相對幾率函數(shù)p（x）。幾率函數(shù)p（x）表示電子通過狹縫后到達(dá)x處概率分布，實(shí)驗(yàn)上得到的分布恰好是發(fā)射源處的波源通過兩個(gè)小孔的干涉強(qiáng)度圖像。如圖，發(fā)射源處的電子必須通過狹縫1或狹縫2才能到達(dá)探測器屏，從粒子的角度來看，通過狹縫1有一個(gè)概率分布p1（x），通過狹縫2有一個(gè)概率分布p2（x），這兩個(gè)概率分布可以分別遮住狹縫1和狹縫2得到。我們期望總的概率分布是從狹縫1和狹縫2通過的概率的疊加（如圖1c），即

但如圖1a所示，這個(gè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全矛盾p（x）≠p1（x）+p2（x）。兩孔都開啟時(shí)，得到的幾率分布并不是單孔分別開啟時(shí)概率的代數(shù)疊加。在波動(dòng)光學(xué)中，疊加原理是通過波幅實(shí)現(xiàn)的，我們假定粒子分布的波幅可以由復(fù)函數(shù)？覬（x）描述，且滿足：

這一結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果高度吻合。說明通過狹縫1和狹縫2的電子的概率疊加是不對的。

圖1：a為電子通過雙縫的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。若僅有狹縫1，則電子通過狹縫后的分布為b上半部分，若僅有狹縫2則電子通過狹縫后的分布為b下半部分。若雙縫同時(shí)打開應(yīng)得到c所示曲線。

從粒子的角度理解，當(dāng)電子發(fā)射源強(qiáng)度非常弱，即每一時(shí)刻只有一個(gè)電子通過狹縫（要么狹縫1，要么狹縫2）。當(dāng)兩個(gè)狹縫同時(shí)打開時(shí)，電子既通過狹縫1又通過狹縫2的表述是不完全的，因?yàn)榱Ｗ颖旧肀仨毻ㄟ^狹縫，從經(jīng)典概念我們可以區(qū)分為1和2兩類粒子，到達(dá)空間x的次數(shù)一定是通過狹縫1和狹縫2的次數(shù)之和，即滿足：

怎么得到自洽的理解呢？ 我們暫時(shí)可以通過重新定義粒子的概念，粒子以自己的方式散開同時(shí)通過兩個(gè)狹縫，這里散開就是粒子以波的方式通過了狹縫?；蛘哒谧×似渲幸粋€(gè)狹縫會影響通過另一個(gè)狹縫的概率分布，粒子通過狹縫時(shí)有干涉效應(yīng)，單個(gè)粒子具有波動(dòng)的特征。實(shí)驗(yàn)上，我們可以通過光和電子的相互作用來探測電子通過了狹縫1還是狹縫2。若我們的光敏探測器在狹縫1探測到信號，我們就說電子通過了狹縫1，反對狹縫2也如此。但是實(shí)驗(yàn)上確實(shí)探測到了粒子通過了狹縫1和狹縫2，概率分布也符合我們的預(yù)期，疊加后的效果滿足p（x）=p1（x）+p2（x）。

怎樣協(xié)調(diào)上面的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)?？一個(gè)解釋辦法就是測量影響了結(jié)果的分布。在探測電子的過程中，我們使用了光和電子的相互作用，改變了電子到達(dá)探測屏的分布結(jié)果。能否以一個(gè)弱的光來實(shí)現(xiàn)電子的探測而不改變電子的分布呢？設(shè)想我們的光源足夠弱，光子一個(gè)個(gè)和電子相互作用，光以能量E=hv和電子相互作用。當(dāng)光合電子散射后，電子獲得動(dòng)量p=？姿/h，這里？姿是由光子頻率v決定的波長。一個(gè)個(gè)的光子和電子相互作用可能會遺漏部分電子的信息，這樣我們得到的電子分布其實(shí)是圖a的一部分。若想精確的探測通過狹縫的電子，我們就需要高頻率的光子，這樣光子對電子的影響就很大。若我們用低能量的光子，這樣光子的波長就很長，在狹縫的空間范圍內(nèi)，我們不能區(qū)分通過狹縫1和狹縫2的電子。為了探測電子，任何實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)都會影響電子的分布，這一規(guī)律在量子力學(xué)中概括為測不準(zhǔn)原理。當(dāng)一個(gè)物理過程有兩種途徑可以實(shí)現(xiàn)時(shí)，一旦采用了其中某種途徑，就破壞了各種途徑間的干涉效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)手段會影響量子系統(tǒng)本身的性質(zhì)。

波粒二象性和測不準(zhǔn)原理是量子力學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容和含義，通過本文的討論，量子力學(xué)的干涉效應(yīng)也體現(xiàn)了量子效應(yīng)的內(nèi)涵，任何保持量子效應(yīng)的理論都不能破壞量子干涉效應(yīng)，費(fèi)曼的路徑積分就是抓住了不同路徑間的干涉這一本質(zhì)的概念可以正確表述微觀系統(tǒng)規(guī)律。理論表明，在一些多體系統(tǒng)中，干涉效應(yīng)也起著決定性的作用，如超導(dǎo)，阿哈羅諾夫-玻姆效應(yīng)等，若一個(gè)現(xiàn)象是量子規(guī)律支配的結(jié)果，則必須考慮量子干涉效應(yīng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Feynman，PP Hibbs著，張邦固，韋秀清 譯.量子力學(xué)與路徑積分[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]瓦爾特·顧來納著，王德民等譯.量子力學(xué)導(dǎo)論.北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

作者簡介：

周江（1986-）男，漢族，貴州甕安人，博士研究生， 貴州大學(xué)物理學(xué)院講師， 研究方向：凝聚態(tài)物理。