林光勇

如何利用復(fù)數(shù)幾何意義求有關(guān)點的軌跡等問題呢？首先要理解復(fù)數(shù)的定義z=a+bi，理解i2=-1，然后理解復(fù)平面，知道復(fù)數(shù)

有序?qū)崝?shù)對（a，b）

點Z（a，b）的關(guān)系.這為討論復(fù)數(shù)建立了數(shù)學(xué)模型，也為用數(shù)形結(jié)合求解有關(guān)復(fù)數(shù)問題提供了依據(jù);最后，要理解復(fù)數(shù)模的意義，因為復(fù)數(shù)的幾何圖形基本都是由模聯(lián)系起來的.

一、一一對應(yīng)要厘清

例1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i，-2+3i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_____.

解析利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點間的一對應(yīng)關(guān)系，可知點A（6，5），B（-2，3），于是可以設(shè)AB中點C（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中由中點坐標(biāo)公式得，x=6-2/2=2，y=5+3/2=4即C（2，4），所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.

解題感悟看到復(fù)平面要想到初中已學(xué)習(xí)過的平面直角坐標(biāo)系，理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一對應(yīng)的關(guān)系.具體怎么對應(yīng)法？復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點坐標(biāo)為（a，b），要注意，比如復(fù)數(shù)2-3i對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)為（2，-3），而不是（2，3）.先將復(fù)數(shù)對應(yīng)到平面上的點，利用解析幾何有關(guān)知識求解，然后再將求得的點坐標(biāo)返回對應(yīng)到復(fù)數(shù).

二、軌跡問題實數(shù)化

例2復(fù)數(shù)滿足|z-1|2-|z+i|2=4，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所表示的曲線.

解析設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則|x-1+yi|2-|x+（y+1）i|2=4.

即（√x-1）+y）2-（√x+（y+1）2=4，化簡得x+y+2=0.

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所表示的軌跡為直線x+y+2=0.

解題感悟首先要將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，設(shè)z=x+yi（x，y∈R）代人化簡是最扎實可靠的方法;其次，“取?！笔前褟?fù)數(shù)問題實數(shù)化的一種重要手段.

例3滿足|z|2-2|z|-3=0的復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點的軌跡是_____.

解析按常理設(shè)z=x+yi（x，y∈R）代入化簡，效果不理想.

回頭再看看，復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0，若是把|z|看成一個整體，那么這便是一個關(guān)于|z|的一元二次方程.

分解因式得（|z|-3）（|z|+1）=0，解得|z|=3或|z|=-1（舍）.

它表示以原點為中心，半徑為3的圓.

解題感悟復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì).

三、數(shù)形結(jié)合是工具

例4已知z∈C，且|z-（4-5i）|=1，求|z+i|的最大值和最小值.

解通過觀察發(fā)現(xiàn)：其實|z-（4-5i）|=1表示Z對應(yīng)的點表示的曲線是以Z。（4，-5）為圓心，1為半徑的圓，|z十i|表示Z與Z：（0，一1）兩點的距離.

因為Z0Z1=4√2，所以|z+i|max=4√2+1，|z+i|min=4√2-1.

解題感悟本例解法采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，直觀簡單，但要特別注意|z+i|的意義，容易被誤認(rèn)為是Z與Z1（0，1）兩點的距離.此類問題一般類型是：設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足|z-z0|=r，求d=|z-z|的最值.連結(jié)過Z0，Z'兩點的直線交圓|z-zo|=r于兩點，兩點的距離即為所求的d，其中dmax=|z0-z'|+r，dmin=|Z0-z|-r.

四、向量問題聯(lián)系緊

例5如圖2所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3+2i，-2+4i，試求：

（1）AO，BC所表示的復(fù)數(shù);

（2）對角線CA所表示的復(fù)數(shù);

（3）求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

解（1）AO=-OA，所以AO所表示的復(fù)數(shù)為—3—2i.因為BC=AO，所以BC所表示的復(fù)數(shù)為—3—2i.

（2）CA=OA-OC，所以CA所表示的復(fù)數(shù)為（3+2i）-（-2+4i）=5-2i.

（3）OB=OA+AB=OA+OC，所以O(shè)B所表示的復(fù)數(shù)為（3+2i）+（-2+4i）=1+6i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6i.

解題感悟復(fù)數(shù)加減法的幾何意義即為向量的合成與分解;應(yīng)用其解決與復(fù)數(shù)有關(guān)的軌跡問題來幫助討論代數(shù)問題，也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的思想方法.本題中要注意恰當(dāng)運用向量的方法，即用共起點表示.

五、解析幾何顯神威

例6已知z∈C，且|z+4|+|z-4|=10，求z的軌跡.

突破點|z-z1|+|z-z2|=2a（a>0且2a>|z1-z2|）表示以Z1，Z2為焦點，2a為長軸長的橢圓方程.

解設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點為Z，由于|z+4|可看作點Z到定點Z1（-4，0）的距離，而|z-4|可看作點Z到Z2（4，0）的距離，故|z+4|+|z-4|=10表示點Z到兩定點間的距離之和為定值10，由解析幾何知識得知，z的軌跡是橢圓.

不妨設(shè)z=x+yi，因為2a=10，2c=8，由a2十b2=c2，所以b=3，因此橢圓方程為x2/25+y2/9=1.

本題若用解析幾何方法，則必須設(shè)z=x+yi，原式轉(zhuǎn)化為√（x+4）2+y2+√（x-4）2+y2=10，將左邊任一項移項到右邊，通過兩次兩邊平方化簡，轉(zhuǎn)化為x2/25+y2/9=1，從而得到橢圓方程.顯然這種方法太繁瑣，且這就是學(xué)習(xí)解析幾何時化簡橢圓的步驟.將復(fù)數(shù)問題與已學(xué)習(xí)的知識聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而將未知轉(zhuǎn)化為已知，化繁為簡.

本題需要特別注意當(dāng)2a=|z1-z2|時，是線段，2a<|z1-z2|時，為空集.所以解題時一.定要注意條件的變化.

解題感悟

1.解決復(fù)平面上軌跡問題與平面解析幾何中的求軌跡問題實質(zhì)，上運用的是相同的方法.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法.解決，幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決.如：若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在直線x=1上，則z=1+bi（b∈R）;若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在直線y=x上，則z=a+ai（a∈R），這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡化作用.

3.運用復(fù)數(shù)的幾何定義求軌跡，需要理解復(fù)數(shù)的幾何意義，特別是模的意義，要數(shù)形結(jié)合，學(xué)會和相關(guān)的圖形意義聯(lián)系起來，如圓、橢圓、雙曲線等.

4.軌跡問題的易錯點為軌跡所求的圖形有時會不符合題意，要根據(jù)條件的要求進行取舍.

如：設(shè)動點Z，定點Z1，Z2分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)z，z1，z2，a>0，那么雙曲線可以表示為：|z-z1|-|z-zz|=±2a（2a<|z1-z2|），其中z1，z2為對應(yīng)雙曲線的焦點，2a為實軸長（當(dāng)2a=|z1-z2|時，表示兩條射線，即線段Z1Z2的延長線及其反向延長線;當(dāng)2a>|z1-z2|時，不表示任何圖形）.