張新邦,陳德祥,王東盛

(北京控制工程研究所,北京100190)

0 引言

磁學中磁矩的模型有偶極子模型和電流環(huán)模型[1]，各模型有自已經典的計算周圍磁場強度的方法，但計算復雜，不易使用和推廣，所以推導一個統(tǒng)一簡單有效的由磁矩計算磁場強度的解析表達式是有意義的。

通過對磁矩的2種模型進行推導可得到簡單的磁場強度計算公式，這有利于對磁矩周圍磁場強度的分析理解和計算。同時如果已知磁矩位置、測點位置和測點的磁場強度，根據(jù)表達式可以反推出磁矩的值。

1 由磁矩計算磁場強度公式

物體磁性能的大小可用磁矩來描述，由磁矩可計算出空間某點Q的磁場強度，當物體(磁矩載體)的尺寸相對到點Q的距離是小量，則Q點的磁場強度可以用簡單的公式來表達。

圖1 由磁矩求磁場強度示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculatingmagnetic field intensity bymagnetic moment

設磁矩m位于坐標系原點O，方向與x軸相同。點Q在xy平面內，用R代表矢量m與R之間的夾角為θ。在Q點由m貢獻的磁場強度為H，H的徑向分量為Hr，切向分量為Ht，如圖1所示。R與m分別為R與m的模。

當磁矩的物理尺寸相對于R是一個小量時，即如果由通電螺旋線圈或磁棒產生的磁矩，要求螺旋線圈或磁棒的長度相對于R是小量；如果由電流環(huán)產生的磁矩，電流環(huán)的直徑相對于R是小量，則有：

式中：Hr和Ht是磁場強度H的徑向和切向分量，A·m-1；m為磁矩，A·m2；R為距離，m。 當介質為空氣時，Q點的磁感應強度為

式中：μ0為真空磁導率，μ0=4π ×10-7H/m；B 為磁感應強度，T。如取B的單位為nT，則有

當θ=0時有

上面公式說明磁場強度反比于距離的立方，所以可簡稱為反立方公式。

2 公式推導

2.1 由偶極子組成磁矩

偶極子中心位于坐標原點O，磁極強度為p，極間距離AB為l，如圖2所示，則磁矩m=pl，方向與x軸相同。在xy平面內有Q點，坐標為(x，y，0)，若Q點不在xy平面內，則適當轉動x軸即可。

圖2 由偶極子組成磁矩Fig.2 Magnetic moment com posed by dipole

根據(jù)由磁極計算磁場的公式，Q點的磁場強度H為

設R=OQ，R與x軸的夾角為θ，根據(jù)三角公式有

設圖2所示的坐標系是r坐標系，將r坐標系繞z軸(即繞O點順時針)轉角度θ，得到新的s坐標系，轉換矩陣為A，有

在s坐標系內，Q點磁場強度表示為H(s)，有

s坐標系內x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以式(4)和式(1)是相同的。

2.2 由電流環(huán)組成磁矩

在坐標系O-XYZ內，有正方形電流環(huán)ABCD在yz平面內。(由于磁矩正比于電流環(huán)面積，與環(huán)的形狀無關，為計算方便，設電流環(huán)為正方形。)電流環(huán)中心在坐標系原點O(見圖3)，電流環(huán)的電流強度為i，電流環(huán)邊長l，則磁矩m=il2，磁矩方向與x軸相同。Q點在xy平面內，坐標為(x，y，0)。

若Q點不在xy平面內，則適當轉動x軸后即可。E、F、G、H分別為正方形四個邊長的中心。

圖3 由電流環(huán)組成磁矩Fig.3 Magnetic moment com posed by current loop

先分析導線AB在Q點產生的場強HAB。

在導線AB上取一導線元dl，其矢量為dl，設此導線元到Q點的矢量為r，模為r，設矢量RE與r的夾角為α，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律在Q點由dl貢獻的磁場強度dHAB為

為討論方便，將圖3內導線AB和Q點等單獨顯示如圖4所示，有，于是有

式中β是RE與直線BQ的夾角。

圖4 載流導線AB產生的磁場Fig.4 Magnetic field generated by current carrying Wire AB

根據(jù)式(5)可以得到下面方程，并為方便對電流環(huán)其他邊的討論，方程寫成如下形式：

于是Q點的磁場強度H為

H=HAB+HBC+HCD+HDA

設H的3個分量為Hx、Hy、Hz，于是

設圖3所示是r坐標系，將r坐標系繞z軸轉θ角，得到新的s坐標系，轉換矩陣為A，在s坐標系內Q點的磁場強度值表示為H(s)，則有

s坐標系內的x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以公式(6)和公式(1)的內容是一樣的。

應當指出，上面的推導方法不佳，十分繁雜。許多教科書內有相似內容[2-3]，其推導過程簡潔而優(yōu)美，但需要有場論知識。但教科書內推導結果的表達方式不佳，其推導的目的只是證明在遠距離情況下，偶極子和電流環(huán)的貢獻完全一樣。本文將2個結果綜合，提出了由磁矩計算磁場的表達式，這是由物體的與磁有關物理量直接計算磁場的第3個公式，前2個分別是畢奧-薩伐爾定律和磁極公式。

3 公式應用分析

前面提到應用公式的條件是物體(磁矩載體)的尺寸相對于到測點的距離是小量，下面對此作進一步分析。

3.1 公式應用條件

下面分析這小量的具體概念。

圖5 公式應用的條件分析Fig.5 Conditional analysis of formula application

以圖5為例，有通電螺旋線圈AB的中心位于坐標原點，線圈的磁矩為m，線圈長度為l，有Q點位于y軸，坐標為(0，y，0)。

當m=20 A·m2，l=1 m，y取不同數(shù)值，分別應用反立方公式和偶極子公式得到Q點的磁感應強度數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)的y、z分量都為0，所以只選用x軸分量，見表1。

由表1看出：當距離是磁棒長度2倍時誤差在10%以內，3倍時誤差在5%以內，6倍時誤差約為1%，所以可按照實際情況，當距離是磁棒長度的3～6倍時可以應用反立方公式。

表1 反立方公式和偶極子公式數(shù)據(jù)比較Table 1 Data com parison of inverse cubic formula and dipole formula

3.2 近距離時如何應用公式

設物體是均勻磁化，物體磁矩為m，體積為V，單位體積的磁矩為M，(M又稱為磁化強度，M=m/V)，將物體劃分成眾多的小單元，每個單元的體積d V，每個單元的磁矩為d m=M d V。由于每個單元的尺寸比較小，相比于測點的距離是小量，可以應用反立方公式，將所有單元的計算結果求和即得到需要的結果。這種將物體劃分成眾多小單元磁矩的方法稱為磁矩陳列模型法。

以上面的圖5為例，當y=0.5 m時，由于距離太近不合適使用反立方公式。參考磁矩陣列模型法，將螺旋線圈沿長度方向分成多個(如100個)等長的小單元，則每單元的長度d l=0.01 m，每單元的磁矩d m=0.2 A·m2，對于每一單元可以應用反立方公式，再將結果相加可以得到Q點的磁場強度。計算結果發(fā)現(xiàn)和應用偶極子模型的計算結果幾乎完全一樣(誤差小于0.001%)。所以正確應用磁矩陳列法，結果是足夠精確的。

3.3 公式應用分析

文獻[4-5]論述了艦船磁場的特性、磁場測量、磁場推算等內容。文獻[6-8]重點對潛艇磁場數(shù)學模型和磁場測量方法進行論述。以上的論述分析中都沒有用到磁矩作為研究工具。本文提出了由磁矩計算磁場強度的反立方公式，以及近距離應用所需要的磁矩陣列法，這樣就產生了新的基于磁矩的艦船磁場計算分析方法，對海洋中艦船磁場的研究有重要的意義。

4 結束語

1)傳統(tǒng)的應用偶極子和電流環(huán)模型計算磁場強度的方法不便于實際應用，提出應用磁矩計算磁場強度的反立方公式，有利于磁場的分析和計算。

2)以反立方公式為基礎，提出磁矩陣列模型法，滿足了近距離計算的要求。

3)公式說明磁場強度與距離的立方成反比，隨著距離的增加，場強快速衰減，物體磁性的細微特征很快消失，即使如長度l遠遠大于寬度d這樣的粗大特征，在距離大于3l～6l時可以忽略，僅剩下磁矩是主角。這對于估計計算艦船潛艇等周圍的場強分布是有意義的。