張?jiān)獏俏那嗵茟?yīng)輝

(1.西南科技大學(xué)理學(xué)院,四川 綿陽621010; 2.可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都610068; 3.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院,四川 成都610068)

1.引言

在日常生活中存在著大量服務(wù)和被服務(wù)的現(xiàn)象,當(dāng)?shù)竭_(dá)的顧客不能立即得到服務(wù)的情況下就出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象.比如在超市購(gòu)物的顧客等待收銀臺(tái)人員對(duì)其進(jìn)行結(jié)賬服務(wù)、銀行取款時(shí)的顧客等待柜臺(tái)人員對(duì)其辦理相關(guān)業(yè)務(wù)、出現(xiàn)故障的機(jī)器等待修理工來修理、電話咨詢服務(wù)中電話占線的問題.然而,當(dāng)排隊(duì)等待的隊(duì)列過長(zhǎng),有些顧客可能會(huì)不進(jìn)入系統(tǒng),有些顧客可能會(huì)選擇插隊(duì).例如,當(dāng)處于下課高峰期時(shí),來食堂打飯的同學(xué)總是試圖找到隊(duì)列前面他認(rèn)識(shí)的同學(xué)來完成插隊(duì),從而以較短時(shí)間完成服務(wù)離開排隊(duì)系統(tǒng).然而有些同學(xué)會(huì)直接放棄食堂吃飯選擇其他方式就餐.當(dāng)醫(yī)院出現(xiàn)較多排隊(duì)掛號(hào)的病人時(shí),一些掛號(hào)者會(huì)試圖插隊(duì)盡快完成掛號(hào),從而達(dá)到以相對(duì)更早的時(shí)間就診的目的,或直接選擇其他醫(yī)院.

1987年,Larson[1]從社會(huì)公正現(xiàn)象以及社會(huì)心理學(xué)的角度將插隊(duì)行為引入到排隊(duì)系統(tǒng)中,并使用“slips” 和“skips”來具體描述具有插隊(duì)行為的排隊(duì)系統(tǒng).Kleinrock[2],Afeche和Mendelson[3],以及Lui[4]分析隊(duì)列中的顧客其具體的位置由顧客支付金錢多少來決定的排隊(duì)模型.通過引入費(fèi)用函數(shù),作者推導(dǎo)出顧客需支付多少的最優(yōu)取值.另外,Yechiali等人[5?7]根據(jù)實(shí)際情況,提出了多隊(duì)列輪詢的以色列排隊(duì)模型.該模型中的顧客可以根據(jù)每次服務(wù)員服務(wù)完某個(gè)顧客后,選擇一個(gè)對(duì)其有利的隊(duì)列進(jìn)行排隊(duì)等待服務(wù).2012 年,余玄少妙[8]從顧客是否履行社會(huì)公德的角度考慮了M/M/C排隊(duì)模型.利用Laplace-Stielties、負(fù)指數(shù)分布理論討論了系統(tǒng)中顧客的等待時(shí)間問題,并給出了顧客等待時(shí)間上界的一個(gè)近似公式.HE和Chavoushi[9]應(yīng)用矩陣分析法分析并討論了具有插隊(duì)行為的排隊(duì)模型.作者將到達(dá)隊(duì)列的顧客分成兩類:常規(guī)顧客(normal customer)和插隊(duì)顧客(interjecting customer),其中常規(guī)顧客按照到達(dá)次序進(jìn)行服務(wù).若隊(duì)列中顧客數(shù)不為0,顧客到隊(duì)列末尾排隊(duì)等待服務(wù).插隊(duì)顧客是指新到顧客為減少個(gè)人等待時(shí)間,總是試圖插隊(duì)到隊(duì)列的前面部分,從而以較短時(shí)間完成服務(wù).在此基礎(chǔ)上,作者利用矩陣分析方法給出了常規(guī)顧客和插隊(duì)顧客在該排隊(duì)系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間的數(shù)值表達(dá)式與理論結(jié)果.

本文考慮了具有插隊(duì)和止步行為的M/M/1/m+1排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的等待時(shí)間問題.利用負(fù)指數(shù)分布、Laplace-Stieltjes變換、全概率公式,給出了處于等待隊(duì)列位置n的顧客,任意一個(gè)常規(guī)顧客和任意一個(gè)插隊(duì)顧客的等待時(shí)間的表達(dá)式和數(shù)值結(jié)果,并在此基礎(chǔ)上,討論了相關(guān)指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化情況.與文[9-10]不同的是: 當(dāng)系統(tǒng)中服務(wù)員空閑時(shí),顧客直接進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù); 當(dāng)系統(tǒng)中服務(wù)員繁忙時(shí),到達(dá)顧客考慮到插隊(duì)情形的發(fā)生,其將以概率b決定進(jìn)入隊(duì)列等候服務(wù),或者以概率1?b止步系統(tǒng).

2.模型描述

本文研究具有插隊(duì)和止步行為的M/M/1/m+1排隊(duì)系統(tǒng)具體描述如下

1) 顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為λ的Poisson流,系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)員,當(dāng)?shù)竭_(dá)顧客遇到系統(tǒng)空閑,則立即接受服務(wù),其服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ(0<μ<∞)的負(fù)指數(shù)分布.

4) 插隊(duì)顧客決定插隊(duì)時(shí),其插隊(duì)位置取決于等待的隊(duì)列中顧客數(shù)和顧客的位置.若等待隊(duì)列中的顧客數(shù)為k,并且假設(shè)等待位置上的顧客拒絕其插隊(duì)行為的概率為ri.因此,插隊(duì)顧客成功插隊(duì)于位置i的概率為隊(duì)列中k個(gè)顧客均拒絕其插隊(duì)行為,插隊(duì)顧客處于位置k+1上的概率為

5) 系統(tǒng)的最大容量為m+1,當(dāng)m+1個(gè)位置均被顧客占領(lǐng)時(shí),新到的顧客自動(dòng)離開系統(tǒng).

3.具有止步行為的M/M/1/m+1排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)指標(biāo)

現(xiàn)考慮以概率b止步的M/M/1/m+1排隊(duì)系統(tǒng),其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖3.1所示.

圖3.1 止步策略的M/M/1/m+1排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移

為了便于后面研究,記

? pn(n=0,1,...,m+1)為平穩(wěn)條件下任意時(shí)刻隊(duì)長(zhǎng)為n的概率;

? qn(n=0,1,...,m)為到達(dá)且能進(jìn)入系統(tǒng)的顧客看到有n個(gè)顧客的概率;

?為顧客在隊(duì)列中的平均等待時(shí)間.根據(jù)文[10-11],可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)狀態(tài)概率的方程為

解得

4.插隊(duì)行為下顧客的等待時(shí)間分析

雖然插隊(duì)行為對(duì)該排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)沒有影響,但在該隊(duì)列中顧客等待時(shí)間將會(huì)受到此插隊(duì)行為的干擾.在本節(jié)中,我們對(duì)位置n的顧客、常規(guī)顧客與插隊(duì)顧客的等待時(shí)間進(jìn)行詳細(xì)的討論,同時(shí)求解出各個(gè)顧客的平均等待時(shí)間的具體表達(dá)式.在討論之前,先給出幾個(gè)需要用到的符號(hào),記

? Wn(n=1,2,...,m): 等待位置n的顧客所需等待時(shí)間,Wn(t)=P {Wn≤t},t>0.

? W[N]: 任意一個(gè)常規(guī)顧客所需等待時(shí)間,W[N](t)=P{W[N]≤t},t>0.

進(jìn)一步,定義

處于等待隊(duì)列位置n(n=1,2,...,m)的顧客的等待時(shí)間長(zhǎng)短與其位置的變化密切相關(guān).而這種位置變化又取決于其自身所處位置和插隊(duì)顧客剩余到達(dá)時(shí)間和顧客的剩余服務(wù)時(shí)間之間的關(guān)系.因此,對(duì)處于位置n顧客的隊(duì)列序號(hào)變化做如下討論:

情形1n=1,2,...,m ?1,即顧客所處位置并非排隊(duì)系統(tǒng)的末尾位置,可分為下面兩種:

a)n →n+1: 當(dāng)前繁忙的服務(wù)員服務(wù)一個(gè)顧客的剩余時(shí)間大于插隊(duì)顧客的剩余到達(dá)時(shí)間;

b)n →n ?1: 當(dāng)前繁忙的服務(wù)員服務(wù)一個(gè)顧客的剩余時(shí)間小于下一個(gè)插隊(duì)顧客的剩余到達(dá)時(shí)間.

情形2n=m,即顧客所處位置為隊(duì)列末尾,這表明系統(tǒng)中的總顧客數(shù)已經(jīng)為m+1 (一位顧客正在服務(wù),m位顧客處于等待狀態(tài)).此時(shí)新到的顧客由于容量的限制不得不直接離開系統(tǒng).因此,位置m顧客的隊(duì)列序號(hào)變化只能是向前移動(dòng)一位.注意這里的離開不同于止步行為: 止步行為是到達(dá)顧客自己以一定的概率決定是否進(jìn)入系統(tǒng),而此時(shí)的離開是必然事件.

Research on corresponding views in Qingdao modern urban construction

用T1表示插隊(duì)顧客在前n個(gè)位置插隊(duì)成功的剩余到達(dá)時(shí)間,T2表示服務(wù)員服務(wù)一個(gè)顧客的剩余時(shí)間.記Zn=min(T1,T2)為當(dāng)前位置n顧客的位置序號(hào)改變時(shí)間.于是有如下表達(dá)式:

利用負(fù)指數(shù)分布的的無記憶性,可得

進(jìn)一步,得

下面分3種情況討論E[Wn]的表達(dá)式.

1)當(dāng)n=1時(shí),由全概率公式得

2)當(dāng)n=2,3,...,m ?1時(shí),由全概率公式得

3)當(dāng)n=m時(shí)

對(duì)式(4.6)-(4.8)進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)處理得

將式(4.10)反復(fù)迭代可得,

注意到w0(s)=E[e?sw0]=E[1]=1,將式(4.9)和(4.12)合并為

常規(guī)顧客在其所在排隊(duì)系統(tǒng)中遵從先到先服務(wù)(FCFS)的規(guī)則,即當(dāng)其到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)總是在隊(duì)列的末尾排隊(duì)等待服務(wù).則平均等待時(shí)間為

結(jié)合(4.16)和(4.17)式,(4.18)轉(zhuǎn)化為

當(dāng)?shù)絹淼牟尻?duì)顧客看見服務(wù)員處于忙碌狀態(tài)并且隊(duì)列中等待人數(shù)為n(n ≥1)時(shí),那么它將以概率處于隊(duì)列中的第k(1≤k ≤n)個(gè)位置,以概率插隊(duì)不成功而排隊(duì)于隊(duì)列末尾.

由w[I](s)的定義和全概率公式可得

由等待位置n顧客的等待時(shí)間的相關(guān)結(jié)果,(4.20)轉(zhuǎn)化為

式(4.21)求導(dǎo)并令s=0得

5.算例分析

本節(jié)討論排隊(duì)系統(tǒng)中位置n顧客的平均等待時(shí)間E[Wn],n=1,2,...,m隨著位置n和顧客決定插隊(duì)的概率σ,顧客到來強(qiáng)度λ,服務(wù)時(shí)間參數(shù)μ的變化情況.進(jìn)一步,討論任意位置顧客平均等待時(shí)間E[W[N]]和插隊(duì)顧客平均等待時(shí)間E[W[I]]隨系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的變化趨勢(shì).所得結(jié)果見表5.1和圖5.1.

算例1討論M/M/1/45排隊(duì)系統(tǒng)中E[Wn],(n=1,2,...),m,E[W[N]],E[W[I]]的數(shù)值結(jié)果.取λ=5.6,b=0.5,μ=3.2,σ=0.5,ri=e?1/i.

利用MATLAB 軟件編寫數(shù)值計(jì)算程序,其計(jì)算結(jié)果如表5.1.從表5.1可看出,在等待隊(duì)列中的位置越靠后,其等待時(shí)間越長(zhǎng).由圖5.1知在該系統(tǒng)中,插隊(duì)顧客的等待時(shí)間期望比常規(guī)顧客的等待時(shí)間期望約小于2.7個(gè)單位.該結(jié)論不失一般性,即插隊(duì)顧客等待時(shí)間期望顯然小于常規(guī)顧客.

表5.1 γ 等待隊(duì)列位置n的顧客的平均等待時(shí)間

圖5.1 E[Wn],E[W[N]],E[W[I]]隨n變化結(jié)果

算例2討論M/M/1/42排隊(duì)系統(tǒng)中,客流量強(qiáng)度和顧客插隊(duì)概率σ對(duì)常規(guī)顧客的平均等待時(shí)間E和插隊(duì)顧客的平均等待時(shí)間的影響情況.取μ=4.0,m=42,b=0.5,ri=e?1/i,λ從1.5變化到3.8,σ從0.32變化到0.8.利用MATLAB軟件編寫數(shù)值計(jì)算程序,相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果見圖5.2和圖5.3.

圖5.2 E[W[I]]隨λ和σ的變化圖

圖5.3 E[W[N]]隨λ和σ的變化圖

從圖5.2和圖5.3中,可以看出當(dāng)顧客到達(dá)率λ較小時(shí),即在M/M/1/42排隊(duì)系統(tǒng)中,顧客到來強(qiáng)度比較小的時(shí)候,顧客插隊(duì)概率σ對(duì)E[W[N]]和E[W[I]]兩者的影響就不太明顯.但當(dāng)顧客到達(dá)率λ增大時(shí),顧客插隊(duì)概率σ對(duì)E[W[N]]和E[W[I]]兩者的影響就較為明顯.與此同時(shí),將圖5.2和圖5.3作比較,可以發(fā)現(xiàn)插隊(duì)顧客的平均等待時(shí)間明顯比常規(guī)顧客的平均等待時(shí)間減少了約8倍左右.