徐望明

（武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，武漢430081）

0 引言

在通信技術(shù)、電子技術(shù)、儀器儀表和工業(yè)控制等領(lǐng)域的信號處理系統(tǒng)中，會(huì)經(jīng)常使用到正弦波信號、三角波信號、方波信號等信號源。隨著數(shù)字器件如單片機(jī)、DSP（Digital Signal Processor）技術(shù)的發(fā)展，已有多種數(shù)字化方法可用于產(chǎn)生應(yīng)用所需的信號源[1-2]。其中，數(shù)字正弦波發(fā)生器是《單片機(jī)原理與應(yīng)用》、《DSP 原理與應(yīng)用》等課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一個(gè)典型實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，要求學(xué)生在規(guī)定的實(shí)驗(yàn)課時(shí)內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號發(fā)生器，產(chǎn)生指定參數(shù)（如頻率、幅度等）的正弦波信號。

通常所用的方法是查表法和泰勒級數(shù)展開法[3]。前者輸出響應(yīng)快，但精度依賴于存儲空間，一般只適用于對精度要求不高的場合；后者所占存儲單元少，但精度依賴于展開項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)越多則精度越高，但相應(yīng)運(yùn)算量會(huì)越大、效率越低，實(shí)用性不強(qiáng)。

本文以數(shù)字正弦波發(fā)生器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)為案例，介紹一種運(yùn)算速度快、精度高而且使用的存儲空間少的方法——差分方程迭代法來產(chǎn)生正弦序列，靈活且實(shí)用。本文結(jié)合數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)公式推導(dǎo)了產(chǎn)生正弦序列的差分方程，繼而緊密結(jié)合專業(yè)基礎(chǔ)理論知識，從信號與系統(tǒng)分析的角度推導(dǎo)出了相同差分方程，并進(jìn)一步探討了以產(chǎn)生的正弦波為基礎(chǔ)，通過函數(shù)轉(zhuǎn)換的方法來產(chǎn)生三角波、方波等波形的方法，以及可通過一定參數(shù)設(shè)置來實(shí)現(xiàn)輸出波形幅度和頻率可調(diào)的方法。

1 產(chǎn)生正弦序列的差分方程迭代法

1.1 從數(shù)學(xué)分析的角度進(jìn)行推導(dǎo)

在信號處理系統(tǒng)中，如果想要產(chǎn)生輸出精度可調(diào)的正弦波，可使用差分方程迭代法[4]，其基本原理為建立產(chǎn)生正弦序列的差分方程，這樣就可從給定的初始值推導(dǎo)出后面的正弦序列。差分方程的一種推導(dǎo)方法是利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)公式：

令α=nω,β=(n-2)ω，則：

記y(n)=sin nω，則:當(dāng)n=0 時(shí)，y(0)=0；當(dāng)n=1時(shí)，y(1)=sin ω；當(dāng)n ≥2 時(shí)，y(n)=2 cos ω y( n-1)-y( n-2)，即為差分方程：

其中A=2 cos ω,B=-1。

設(shè)希望輸出頻率為fd的正弦信號sin(2πfdt)，用數(shù)字器件（如單片機(jī)、DSP 等）來實(shí)現(xiàn)，實(shí)際得到的是一個(gè)正弦序列，可認(rèn)為是sin(2πfdt)經(jīng)大小為fs的采樣頻率采樣后而得到，即sin(2πfdnT)，其中n 為自然數(shù)為采樣周期。令則采樣后的正弦序列為sin(nω)。

若fd=0.4kHz，fs=16kHz，則差分方程系數(shù)為：A=2×0.98768834，B=-1，且 初 始 值y(0)=0,y(1)=0.15643447。

根據(jù)差分方程迭代法原理不難編寫出C 語言程序，實(shí)現(xiàn)生成指定參數(shù)的正弦波信號。

1.2 從信號與系統(tǒng)分析的角度進(jìn)行推導(dǎo)

上面的原理推到基于純數(shù)學(xué)公式，結(jié)合專業(yè)基礎(chǔ)理論知識，也可從信號與系統(tǒng)分析的角度推導(dǎo)出差分方程，與專業(yè)緊密聯(lián)系，更易于理解。

把輸出正弦序列看做系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)序列，即h(n)=sin(nω)。對該序列作Z 變換得：

其中a=2 cos(ω),b=-1,c=sin(ω)。

對式（1）求逆Z 變換得差分方程[2]：

根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)指標(biāo)，可計(jì)算出系數(shù)a、b、c。當(dāng)fd=0.4kHz，fs=16kHz，則a=1.97537668，b=-1，c=0.15643447。

可見，數(shù)字正弦信號發(fā)生器可表示為一個(gè)二階離散系統(tǒng)，h(n)=sin(nω)為其單位序列響應(yīng)。由初始狀態(tài)為零，即h(-1)=0，h(-2)=0，由式（5）易得：h(0)=0，h(1)=c=sin(ω)，當(dāng)n≥2 時(shí)：

該差分方程實(shí)際上與式（3）所示的差分方程是一樣的。

2 從正弦波發(fā)生器到多功能波形發(fā)生器

正弦波的前半個(gè)周期的正弦波值都是大于零（在橫坐標(biāo)軸以上），而正弦波的后半個(gè)周期的正弦波值都是小于零（在橫坐標(biāo)軸以下），利用此特點(diǎn)，三角波、方波等波形也都可用函數(shù)變換的方法生成。

（1）將正弦波前半個(gè)周期（即波形值大于零的部分）用線性函數(shù)（N 為一周期的采樣點(diǎn)數(shù)）來轉(zhuǎn)換，可實(shí)現(xiàn)了在原前半個(gè)周期正弦波的基礎(chǔ)上成功輸出三角波前半個(gè)周期的波形；將正弦波后半個(gè)周期（即波形值小于零的部分）用線性函數(shù)來轉(zhuǎn)換，可實(shí)現(xiàn)了在原后半個(gè)周期正弦波的基礎(chǔ)上成功輸出三角波后半個(gè)周期的波形，由此實(shí)現(xiàn)了三角波的輸出。

（2）方波在一個(gè)周期內(nèi)，其波形值只有兩種取值，例如上半周期取1，下半周期取-1 或0?；诖颂攸c(diǎn)，很容易在正弦的基礎(chǔ)上產(chǎn)生所需的方波信號，具體做法是：對正弦信號設(shè)定一個(gè)判決門限，大于此門限取一個(gè)值，小于此門限取另外一個(gè)值。以幅度為1 和0 的方波信號為例，只需將正弦波前半個(gè)周期波形值大于零的部分（判決門限為0）用函數(shù)Y=1 來轉(zhuǎn)換；將正弦波后半個(gè)周期（即波形值小于零的部分）用函數(shù)Y=0 來轉(zhuǎn)換，從而實(shí)現(xiàn)了占空比為50%的方波信號產(chǎn)生。

3 實(shí)現(xiàn)波形幅度和頻率可調(diào)的方法

對于以上各種波形，為了實(shí)現(xiàn)輸出幅度可調(diào)，在程序中設(shè)置幅度參數(shù)即可。

為了實(shí)現(xiàn)輸出波形的頻率可調(diào)，先來看采樣率和波形頻率之間的關(guān)系為：

其中：fs為采樣率，N 為一周期的采樣點(diǎn)數(shù)，m 為步長，fd為波形頻率。

可見，通過適當(dāng)改變步長m、改變一周期的采樣點(diǎn)數(shù)N 或可通過定時(shí)器設(shè)置改變采樣率fs來改變輸出波形的頻率，從而達(dá)到實(shí)現(xiàn)輸出波形的頻率可調(diào)性。

4 結(jié)語

以數(shù)字正弦波發(fā)生器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)為案例，本文利用差分方程迭代法給出了一種快速、靈活且實(shí)用的實(shí)現(xiàn)方案，從純數(shù)學(xué)分析的角度和信號與系統(tǒng)分析的角度分別進(jìn)行了差分方程的推導(dǎo)，得到了一致的結(jié)果，進(jìn)而以正弦波發(fā)生器為基礎(chǔ)，探討了產(chǎn)生三角波、方波等波形的方法，以及如何實(shí)現(xiàn)波形幅度和頻率可調(diào)。